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. DM02.B : La formule d"Al-Kashi. Al Kashi doit son nom à sa ville natale, Kashan en Iran. Il gran- dit dans la pauvreté durant une période trouble où la région subit les conquêtes militaires de l"émir Tîmur Lang, dit Tamerlan (1370;
1405). Après la mort de Tîmur, les conditions s"améliorent grande-
ment. Son fils et successeur, le Shah Rokh soutient fortement les in- térêts artistiques et intellectuels et très tôt, Al Kashi se consacre aux mathématiques et à l"astronomie. Le 2 juin 1406 marque par une éclipse de lune une de ses premières observations notables. A cette époque, les scientifiques effectuent leurs recherches à la cour de rois ou de princes. A Samarkand, al Kashi vit sous la protection du prince Ulugh-Beg (1394; 1449) qui a fondé une Université comprenant une soixantaine de scientifiques qui étudient la théologie et les sciences. Il devient Premier Directeur du nouvel observatoire de Samarkand et besoin.FIGURE2.2 - Al-KashiDe nombreux ouvrages d"Al Kashi ainsi que certaines lettres écrites à son père ont survécu.
Dans le traité d"astronomie Khaqani Zij (1413-1414), il donne des tables trigonométriques qui proposent des valeurs
à quatre chiffres (en notation sexagésimale) de la fonction sinus. On y trouve aussi une correspondance entre
différents systèmes de coordonnées sur la sphère céleste. Al Kashi donne également des tables des éclipses et des tables de visibilité de la lune.Ses nombreux travaux en astronomie lui vaudront d"être surnommé plus tard le deuxième Ptolémée.
Dans son Traité sur le cercle (juillet 1424), Al Kashi calcule le rapport de la circonférence à son rayon pour obtenir
une valeur approchée de 2Pi avec une précision jamais atteinte : 2Pi'6,283 185 307 179 586 5C"est dans son principal traité Miftah al hisab (Clé de l"arithmétique, 2 mars 1427) qu"Al Kashi explique l"usage des
nombres sexagésimaux (système de numération en base 60) hérités des astronomes babyloniens. Cet imposant
ouvrage est destiné aux chercheurs de Samarkand étudiant l"astronomie, l"architecture, la comptabilité ou le
commerce.Al Kashi y décrit également des calculs d"aires et de volumes comme ceux du dôme en forme de coquille d"un qubba
(monument funéraire destiné aux nobles).Al Kashi effectue des calculs de racines n-ième par un algorithme qui est un cas particulier d"une méthode donnée
400 ans plus tard par Paolo Ruffini (1765; 1822) et William Horner (1787; 1837).
Il propose aussi des calculs approchés de racines n-ième d"un nombre et expose une technique déjà connue d"Omar
Khayyam (1048; 1123?) et appelée aujourd"hui le triangle de Pascal pour effectuer des calculs du type (aÅb)n.
Il laisse par ailleurs son nom à un théorème qui généralise le théorème de Pythagore pour un triangle quelconque et
qui s"exprime aujourd"hui de la façon suivante : Dans un triangle ABC de côtés de longueurs a, b, c :a2AEb2Åc2¡2bccosbA L"objet de ce DM est de démontrer cette formule. 1. P ouru ntr iangleABCrectangle enA, comment peut-on calculerBC en fonction deABetAC? triangles.On supposera dans la suite que le triangleABCa ses trois angles aigus. On note¢la différence¢AEAB2ÅAC2¡BC2et onnommeHle projeté orthogonal deCsur la droite (AB).2.(a) J ustifierqu eBC2AEHB2ÅHC2etAC2AEHA2ÅHC2
(b) E ndédui req ue¢AEAB2Å(HAÅHB)£(HA¡HB) puis que¢AEAB£(ABÅHA¡HB). 3. formule d"Al-Kashi. 4.A pplications
(a) (b) (c)J ustifierque ,si on con naîtdeu xc ôtésd "untr iangleet l "anglef ormépar c esdeu xc ôtés,o npeut t rouverle
3° coté puis les autres angles.
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