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Centre de symétrie Si la fonction f vérifie: pour tout x de Df tel que a – x et a + x Df , f( a – x) + f(a + x) = 2b, alors le point de coordonnées (a; b) est un centre de symétrie de la courbe représentative de f

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5° Montrer que la courbe C admet un centre de symétrie de 6° Construire la courbe C ainsi que ses asymptotes et ∆1 et ∆2 Page 2 Exercice 1 Soit les fonctions

Fonction paire

On dit que la fonction f est paire si l'ensemble Df est centré en 0 (c'est-à-dire que si x Df , alors - x Df ) et si pour tout x de Df , f(- x) = f(x). Dans ce cas, la courbe représentative de la fonction f admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Exemple

: f(x) = x² - 3. Son ensemble de définition est centré en 0; et pour tout x de , f(- x) = (- x)² - 3 = x² - 3 = f(x).

Donc cette fonction f est paire.

La courbe ci-contre est sa représentation graphique et admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

Fonction impaire

On dit que la fonction f est impaire si l'ensemble Df est centré en 0 (c'est-à-dire que si x Df , alors - x Df ) et si pour tout x de Df , f(- x) = - f(x). Dans ce cas, la courbe représentative de la fonction f admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

Exemple

: f(x) = x

21x. Son ensemble de définition est \{0} centré

en 0; et pour tout x de \{0}, f(- x) = x

21x = x

21x = - f(x).

Donc cette fonction f est impaire.

La courbe ci-contre est sa représentation graphique et admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

Exemples importants:

Des fonctions paires: La fonction carrée, la fonction cosinus, x 1 x21,

Des fonctions impaires: La fonction inverse, la fonction cube, la fonction sinus, les fonctions linéaires (x ax),

Axe de symétrie

Si la fonction f vérifie: pour tout x de Df tel que a - x et a + x Df , f( a - x) = f(a + x), alors la droite d'équation x = a est un axe de symétrie de la courbe représentative de f.

Exemple

: f(x) = x² - 2x - 3. Son ensemble de définition est . Pour tout x de , 1 - x et 1 + x Df , f(1 - x) = (1 - x)² - 2(1 - x) - 3 = x² - 4 , et f(1 + x) = (1 + x)² - 2(1 + x) - 3 = x² - 4; f(1 - x) = f(1 + x), donc la droite d'équation x = 1 est un axe de symétrie de la courbe représentative de f. La courbe ci-contre est sa représentation graphique et admet la droite d'équation x = 1 comme axe de symétrie.

Centre de symétrie

Si la fonction f vérifie: pour tout x de Df tel que a - x et a + x Df , f( a - x) + f(a + x) = 2b, alors le point de coordonnées (a; b) est un centre de symétrie de la courbe représentative de f.

Exemple

: f(x) = 2x1 x3. Son ensemble de définition est \{3}; de plus la fonction f peut s'écrire f(x) = 2 + 5 x3.

Pour tout x de \{3}, tel que 3 - x et 3 + x Df ,

f(3 - x) + f(3 + x) = 2 + 5

3x3+ 2 +5

3x3 =

4 = 2× 2, alors le point de coordonnées (3; 2) est un

centre de symétrie de la courbe représentative de f. La courbe ci-contre est sa représentation graphique. f est paire si l'ensemble Df est centré en 0 et si pour tout x de Df , f(- x) = f(x). f est impaire si l'ensemble Df est centré en 0 et si pour tout x de Df , f(- x) = - f(x). Si pour tout x de Df tel que a - x et a + x Df , f( a - x) = f(a + x), alors la droite d'équation x = a est un axe de symétrie de Cf. Si pour tout x de Df tel que a - x et a + x Df , f( a - x) + f(a + x) =

2b, alors (a; b) est un centre de symétrie

de Cf.

Résumé

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