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Comment montrer qu"une courbe admet un axe de

symétrie ou un centre de symétrie ?

La courbe admet un axe de symétrie

Si la courbe possède un axe de symétrie, celui-ci est obligatoirement vertical

Cet axe est l"axe des ordonnées

du repère, dans ce cas il faudra montrer que la fonction est paire : pour tout x de D f, f (- x) = f (x)

Cet axe n"est pas l"axe des ordonnées

, équation du type x = a, a réel non nul, dans ce cas il faudra montrer

que : pour tout t , f (a - t) = f (a + t)

On peut remarquer que si on remplace a par zéro, on obtient la même égalité

La courbe admet un centre de symétrie

Si la courbe possède un centre de symétrie

Ce centre est l"origine du repère, dans ce cas il faudra montrer que la fonction est impaire pour tout x de D f, f (- x) = - f (x)

Ce centre n"est pas l"origine du repère

, soit I de coordonnées (a ; b), a et b non nul ensemble, dans ce cas il faudra montrer que : pour tout t , f (a - t) + f (a + t) 2 = b

On peut remarquer que si on remplace a par zéro et b par zéro, on obtient la même égalité

Exemple : Dans chaque cas f est définie sur J et C sa courbe représentative a) f est définie sur IR* par f (x) = x² - 10 x²

On montre que f est paire

Pour tout réel x non nul, f (- x) = (-x)² - 10 (-x)² = x² - 10 x² = f (x) b) f est définie sur IR par f (x) = x² + 4x x² + 4x +9 Il semblerait que C admette la droite d"équation x = - 2 comme axe de symétrie Dans ce cas montrons que pour tout réel t, f (-2 -t) = f (-2 + t) f (-2 -t) = (-2 -t)² + 4(-2 -t) (-2 -t)² +4(-2 -t) +9 = t² - 4 t² +5 et f (-2 +t) = t² - 4 t² +5 CQFD c) f est définie sur IR* par f (x) = 1 x - ( x

10 ) 3

On montre que f est impaire

Pour tout réel x non nul, f (-x) = 1

-x - (-x

10 )3 = - 1

x + (x

10 ) 3 = - f (x)

d) f est définie sur IR \ {3} par f (x) = x² - 7x +17 x - 3 Il semblerait que la courbe admette le point I de coordonnées (3 ; -1) comme centre de symétrie Montrons dans ce cas que pour tout réel t non nul, f (3-t) + f (3+t) 2 = -1 f (3-t) = (3-t)² -7 (3-t) + 17 3-t+3 = t² + t + 5 -t = - t² - t - 5 t f (3+t) = t² - t + 5 t

Par conséquent, après simplification :

f (3-t) + f (3+t) 2 = -2t t2 = -1 CQFDquotesdbs_dbs47.pdfusesText_47

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