Une fonction f : R → R est dite convexe sur [a, b], si la corde prise entre a et b est Montrer que gα(x1) < gα(x2) revient `a montrer que la pente rouge est plus
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[PDF] Fonctions convexes
Cependant, la proposition suivante va montrer que si une fonction est convexe sur I alors f est continue et dérivable `a droite et `a gauche sur l'intérieur de I Page
[PDF] Fonctions convexes - IRIF
Une fonction f : R → R est dite convexe sur [a, b], si la corde prise entre a et b est Montrer que gα(x1) < gα(x2) revient `a montrer que la pente rouge est plus
[PDF] Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques de
Ainsi, une fonction est convexe si et seulement si la courbe Cf est située On fixe donc a ∈ I et on veut montrer que ga est croissante sur chacun des deux
[PDF] Fonctions convexes 1 Définitions et premi`eres propriétés
f est convexe si et seulement si la fonction f/ est croissante Exercice 1 Montrer les inégalités suivantes en utilisant les résultats ci-dessus a) ex ⩾ 1 + x pour
[PDF] Chapitre 1 : Fonctions convexes
f est une fonction de I dans R, et C est sa courbe représentative dans le repère ),,, ( kjiO La traduction rigoureuse de la condition (2) va nous montrer que )1( )
[PDF] Devoir maison sur la convexité
Soit f une fonction convexe de I dans R On veut montrer qu'en tout point intérieur `a I, f est continue, dérivable `a gauche et dérivable `a droite
[PDF] Dérivabilité et convexité
Les théorèmes de cette section permettent de démontrer la dérivabilité de toutes Si une fonction f est convexe sur un intervalle ouvert I, alors elle est dérivable
[PDF] Fonctions convexes - Inria
étant convexes et fermées, la fonction d'appui est convexe et fermée (proposition 3 33) L'homogénéité positive est immédiate 2) ⇒ Il suffit de montrer que P1
[PDF] Fonctions convexes et conjuguées
Exercice : Montrer le résultat suivant : Si f est deux fois différentiable et fortement convexe (de paramètre α), alors la matrice ∇2f(x) − αI est
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Atelier Maths JPS - 10 Janvier 2011etienne.miquey[at]ens-lyon.fr
Fonctions convexes
Prendera due piccioni con una fava :
L"objectif cet ´episode est double
1. D"une part, on cherchera `a se familiariser avec la notion de fonction (r´eelle)
convexe, et `a en d´ecouvrir tout un tas de propri´et´es hautement sympathiques. C"est pourquoi cet ´episode pourra
sembler un peu plus d´ecousu que les pr´ec´edents, et se pr´esente plus sous la forme d"un listing de propri´et´es que
d"une randonn´ee logiquement articul´ee autour d"un beau fil rouge. D"autre part, on constatera tout au long
de ce qui suit que parfois (mais en fait, c"est tr`es souvent vrai (pour ne pas dire tout le temps)), tout est
dans le dessin : intuition, raisonnement, preuve. Les meilleures armes sont souvent des crayons ou des craies de
couleurs...1 D´efinition
D´efinition 1.Une fonctionf:R→Rest diteconvexesur [a,b], si la corde prise entreaetbest au-dessus du
graphe defsur tout l"intervalle [a,b]Puisque l"on va s"appuyer essentiellement sur le dessin, autant commencer tout de suite, une fonction convexe,
c"est donc un truc de cette tˆete l`a : f a c bFigure1 - D´efinition visuelle
On peut retrouver une d´efinition formelle et calculatoire `a partir de cela. Quelque soitc?[a,b], il existe
t?[0,1] tel quec=ta+ (1-t)b(cest vu comme un barycentre deaetb). L"´equation de la corde prise entre
aetbest : y=f(b)-f(a) b-a(x-a) +f(a)Soit, enc:
y=f(b)-f(a) b-a(ta+ (1-t)b-a) +f(a) =f(b)-f(a)b-a(1-t)(b-a) +f(a) =tf(a) + (1-t)f(b)On en d´eduit la propri´et´e suivante
2: ssi l"image du barycentre est plus petite que le barycentre des images.1.Litt´eralement, la superbe phrase en italien juste au-dessus signifie "Prendre deux oiseaux avec une graine". C"´etaitjuste
histoire de la caser.2.propri´et´e qui, `a vrai dire, est la d´efinition usuelle de la convexit´e.
1ExempleLa fonctionx?→x2est convexe surR. On peut le prouver par le calcul (vous en profiterez au
passage pour constater comme la chose est p´enible et peu tr´epidante). Soita,b?Rett?[0,1], on a :
Sit= 0 out= 1, c"est clair, et sit?]0,1[, on at(t-1)<0, donc c"est encore vrai.Une question usuelle en maths, lorsque l"on s"int´eresse `a des objets qui correspondent `a un sous-ensemble
particulier d"un plus gros ensemble (ici l"ensemble des fonctions r´eelles), est de savoir par quel(s) op´erateur(s)
ce sous-ensemble est stable. Dans notre cas pr´ecis, on peut regarder pour l"addition et la composition, qui sont
les op´erations naturelles sur les fonctions. Propri´et´e 3.Sifetgsont deux fonctions convexes, alorsf+gest une fonction convexeD´emonstration.Il suffit de s"appuyer sur la d´efinition calculatoire, et de sommer les deux in´egalit´es...
Propri´et´e 4.Sifetgsont deux fonctions convexes sur[a,b], alorsf◦g:x?→f(g(x))n"est pas n´ecessairement
convexe. Une condition n´ecessaire est quefsoit croissante.D´emonstration.Un bon contre-exemple estf:x?→ -xetg:x?→x2qui sont facilement convexes, alors que
f◦g:x?→ -x2ne l"est clairement pas. f◦gconvexe.C"´etait ici la derni`ere fois que l"on montrait quelque chose par le calcul. Pour ˆetre rigoureux, il faudrait le
faire `a chaque fois, mais on va consid´erer d´esormais que si l"on voit bien l"id´ee sur le dessin, la seule difficult´e
restante est de ne pas s"embrouiller en les diff´erents points, les diff´erentst, mais que la surmonter est plus une
question de technicit´e que d"intelligence `a proprement parler.2 Premi`eres propri´et´es
Propri´et´e 5.Soitf:I→Rconvexe etα?I. Alorsgα:?I\{α} →R x?→f(x)-f(α) x-αest croissante. ?f a x1x2Figure2 - Croissance des pentes
D´emonstration.La preuve est `a lire sur le dessin. On prendx1< x2, on trace les cordes correspondantes.
Montrer quegα(x1)< gα(x2) revient `a montrer que la pente rougeest plus forte que lableue. Or on peutexprimerx1comme un barycentre deaetx2. On d´eduit de la d´efinition de la convexit´e que le point
?(en tant que barycentre des images deaetx2) est au-dessus du point ?(l"image du barycentre). La pentebleueest donc n´ecessairement plus faible que la rouge. 2Si vous n"ˆetes pas encore convaincu par l"int´erˆet et la rigueur du dessin, essayez de faire la preuve en calculant
le bont, puis les images des diff´erents points, trompez-vous, pleurez un bon coup, et vous verrez la supr´ematie
du crayon de couleur vous apparaˆıtre de fa¸con lumineuse...On peut, grˆace `a la propri´et´e pr´ec´edente, en d´emontrer une un petit peu plus forte :
Propri´et´e 6.Soienta < b,x < y, alorsf(x)-f(a) a x by a b xyFigure3 - Croissance des pentes, par paires
D´emonstration.L"id´ee est tr`es simple : ici, notre propri´et´e porte sur des paires de points. Or la propri´et´e 5 ne
peut nous apporter des informations que pour deux pentes ayantun point commun. On va donc prendre unpoint commun `a nos deux pentes et appliquer deux fois la propri´et´e 5. On rajoute dans les deux cas la corde de
b`ax. D"apr`es la propri´et´e 5, commea < b, on a f(b)-f(x) y-bToujours `a l"aide de la propri´et´e 5 (ce qui montre bien son importance), on va en montrer une assez
compl´etement ´evidente, mais p´enible `a prouver en partant juste de la d´efinition de base.
Propri´et´e 7.Sifest convexe, le graphe defest au-dessus de toute droite s´ecante `a l"ext´erieure desintersec-
tions. Formellement, siDest une droite (notonshla fonction affine correspondante) qui coupeCfenaetb, a bx f(x?) h(x?) x?f DFigure4 - S´ecante au graphe def
D´emonstration.On commence par faire un beau dessin plein de couleur. Jusqu"`a pr´esent, nous ne disposons que
de propri´et´e portant sur l"int´erieur des intersection avec dess´ecantes/cordes. L"id´ee est donc de s"appuyer sur la
valeur des pentes pour en d´eduire celle des image des points. En effet, il est clair que si la pente
gb(x?)(resp.ga(x))les deux courbes se coupent au point d"abscisseb(resp.a). Or la pente de la droiteDest la mˆeme tout au au
long de la droite, et vaut a fortiori ga(b). Commea < x?, on a d"apr`es la propri´et´e 5h(x?)-h(b) donc 33 R´egularit´e des fonctions convexes
Nous avons d´esormais vu suffisament de propri´et´e pour se d´ebrouiller dans presque toute situation m´elant
une fonction convexe et des cordes. Nous allons maintenant nous int´eresser au lien entre convexit´e, continuit´e et
d´erivation. On dispose d"un premier th´eor`eme assez fort3, qui nous dit que la convexit´e implique la continuit´e.
En revanche, une fonction convexe n"est pas n´ecessairement d´erivable, mais si elle l"est, on peut en d´eduire
certaines propri´et´es. Th´eor`eme 8.Soitfconvexe sur[a,b]. Alorsfest continue sur]a,b[.Il est `a noter que la continuit´e est bien sur l"intervalle ouvert, il peut se passer des choses bizarres au bord
sinon :0 1 2 30
Figure5 - Fonction convexe non continue au bord
D´emonstration.On consid`ere la d´efinition suivante4de la continuit´e :fest continue enassif(x)-→x→af(a).
L"id´ee va ˆetre de se servir de la convexit´e pour coincer la fonctionau voisinage dea. Partant de l`a, vous devriez
assez naturellement penser `a votre th´eor`eme des gendarmespr´ef´er´e, qui sert exactement `a ¸ca :
eth(x)-→x→al. Alorsf(x)-→x→alIl ne reste plus qu"`a construire les fonctionsgethqui vont bien. On va se servir pour ¸ca des seuls objets en
relation avecfsur lesquels on sache potentiellement des choses, `a savoir des s´ecantes. Assez naturellement on
va essayer de les faire passer parf(a), il ne reste plus qu"`a construire une fonction en dessous et une au-dessus.
a h g Figure6 - Th´eor`eme des gendarmes appliqu´e `afOn construit donc
gethcomme sur la figure ci-dessus6qui v´erifient bien toutes les conditions du th´eor`emedes gendarmes. On en d´eduit donc quef(x)-→x→ag(a) =h(a) =f(a), et donc quefest continue ena.
Propri´et´e 9.Supposonsfd´erivable sur[a,b]. Alorsf convexe?f?croissante.D´emonstration.On va commencer par le sens calculatoire7de la preuve. Supposons doncf?croissante, et
montrons quefest convexe. Soient doncx,y. Montrons que Φ :t?→tf(x) + (1-t)f(y)-f(tx+ (1-t)y) est
3.En effet, la continuit´e est une propri´et´e tr`es recherch´ee en g´en´erale, qui permet de s"assurer un cadre de travailagr´eable.
4.il en existe d"autres caract´erisation avec des suites ou des?, que vous connaissez peut-ˆetre
5.Notation d´esignant l"ensemble des fonctions deRdansR
6.Et c"est l`a qu"est cach´e le fait que l"on est sur l"int´erieur de l"intervalle. En effet, sinon, on ne peut pas forc´ementconstruire
une corde de chaque cˆot´e...7.Non, je n"ai pas dit p´enible!
4positive sur [0,1]. On constate que Φ(0) = Φ(1) = 0. De plus, Φ?(t) =f(x)-f(y) + (y-x)f?((x-y)t+y).
Ory-x >0, donc on a Φ?(t) =k+af?(y-at), aveca >0. Cette fonction est d´ecroissante, puisquef?est
croissante. Si Φ ?(1)>0, alors quelque soitt?[0,1], Φ?(t)>0 et Φ(1) = Φ(0) +?10Φ?(t)dt >Φ(0) = Φ(1),
ce qui est absurde. D"o`u Φ facilement8que?t?[0,1],Φ(t)≥0 (sinon, en raisonnant sur les valeurs de la d´eriv´ee notamment, on trouve
rapidement une contradiction). Doncfest convexe.R´eciproquement, supposonsfcroissant et montrons quef?est croissante. Il suffit pour cela de revenir `a la
d´efinition du nombre d´eriv´e :f?(a) = limx→af(x)-f(a) x-a= limx→aga(x).f´etant d´erivable, cette limite est parfaitementd´efinie et est la mˆeme `a droite et `a gauche, i.e.f?(a) = limx→a,x>aga(x) = limx→a,x En s"appuyant sur les id´ees de la preuve ci-dessus, on obtient facilement la propri´et´e suivante des fonctions D´emonstration.Il suffit d"exprimer la tangente enacomme ´etant la limite des cordes dea`ax(x > a) lorsque x→a. D"apr`es la propri´et´e 5, les cordes sont au-dessus de la tangente. Et d"apr`es la propri´et´e 7, le graphe def est au-dessus de la s´ecante apr`esx. Donc, en faisant tendrex→a, on obtient le r´esultat voulu. Si vous n"ˆetes On termine avec une derni`ere propri´et´e calculatoire, qui g´en´eralisela d´efinition barycentrique `a un barycentre de plusieurs points, et qui permet, comme vous allez le voir juste apr`es sur l"exemple, de prouver de jolies D´emonstration.La preuve se fait sans surprise par r´ecurrence, mais n"est pas sp´ecialement marrante. C"est de En premier lieu, on constate que l"expression de droite est homog`ene, c"est-`a-dire que si l"on multipliea,b etcparα?= 0, la valeur ne change pas. Quitte `a diviser toutes les valeurs para+b+c, on peut donc supposer L`a, c"est le moment de penser `a la convexit´e et `a l"in´egalit´e de Jensen. En effet, supposons quefsoit convexe, Ne reste plus qu"`a montrer la convexit´e def. Ce qui est facile grˆace au corollaire sur la d´eriv´ee seconde, puisque Un premier petit compl´ement n´ecessaire est de dire que la notion de convexit´e se g´en´eralise fort bien au fonction `a plusieurs variables, il suffit de tout faire avec des gradients `a la place de la d´eriv´ee, et on s"en sort. Et qu"accessoirement, on dit qu"une forme est convexe si d`es lorscelle-ci contient deux points, elle contient le Ma foi, c"est bien joli tout ¸ca, me direz-vous, mais cela sert-il vraiment `a quelque chose? En fait, oui. D"une part, en analyse, la propri´et´e de convexit´e est relativement recherch´ee, puisque comme vous venez de le voir, elle offre tout un bon nombre de propri´et´es agr´eables sur la fonction. Et d"autre part, dans un grand nombre de probl`emes d"optimisation (ce qui est assez courant dans la vraie vie), on cherche syst´ematiquement `a minimiser des quantit´es correspondant `a des fonctions convexes. En effet, d`es lors, des m´ethodes assez similaires `a la m´ethode de Newton pour la r´esolution des ´equationsf(x) = 0 fonctionnent bien et permettent des r´esolutions simples. Si ¸ca vous amuse, prenez une fonction convexe, essayer de voir le lien entre minimum local et minimum global, et essayer de trouver une m´ethode syst´ematique de descente vers le minimum. Au besoin, je peux aider!Figure7 - D´eriv´ees d"une fonction convexe
On a donc, par croissance degaetgbque?x > a,
Or, commea < x < y < b, on a d"apr`es la propri´et´e 6 que Corollaire 10.Sifest deux fois d´erivable (f? C2), alors (fconvexe?f??≥0). ExempleSoienta,b,c >0. Alors3
8.Ce n"est pas vraiment dur, il suffit de faire de beaux dessins avec les d´eriv´ees, mais ce n"est pas trop l"objet du jour.
5 Soit, en posantf:x?= 1?→x
1-xet en passant le trois de l"autre cˆot´e,
1 3, on obtient le r´esultat esp´er´e :
f(a) +f(b) +f(c) 3≥f(a+b+c3) =f(13) =12
4 Bonus track
Un petit dessin vaut mieux qu"un long discours
[Napol´eon Bonaparte] 6quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47