4 mai 2013 · Déterminer la matrice carrée A telle que Xn+1 = AXn 2 Donner une expression de Xn en fonction de A, n et X0 3 Montrer que E1 =
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a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn b) Démontrer par récurrence que Xn = AnX0 pour tout entier naturel n 5) a) Montrer que Xn = ⎛ ⎜ ⎜
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Déterminer la matrice A ∈ M2(R) vérifiant : ∀n ∈N, Xn+1 = AXn Solution Simple on a 2 0 1 Montrer que, pour tout entier n ≥ 0,ona: An = PDnPL1 Solution
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Montrer que P est inversible et calculer P−1 1 4 Soit n ∈ N Reconnaıtre le produit AXn 2 3 Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N : Xn = AnX0 2 4
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Montrer que f réalise une bijection de [0; 1] sur un ensemble que l'on a) Montrer que pour tout entier naturel n : un+1 = 1 2 ∀n ∈ N , Xn+2 = AXn+1 + BXn
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(a) Vérifier que, pour tout entier naturel n , Xn+1 = AXn (b) Démontrer par récurrence que Xn = AnX0 pour tout entier naturel n 4 On définit les matrices P , P
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On sait que Xn+1=AXn , montrons par récurrence que tout n⩾1 on a a) La calculatrice permet de montrer que la matrice P est inversible et que P−1=(2 −1
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On a bien, pour tout n ∈ N, Xn+1 = AXn b) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, Xn = AnX0 Soit n ∈ N Notons 乡n la proposition « Xn
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Montrer que la matrice P est une matrice inversible et donner l'expression de la matrice P−1 2 (a) Démontrer que pour tout entier naturel n,ona: Xn+1 = AXn
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(un)n2N;(vn)n2N(wn)n2N n8>< un+1=3un+vn+ 3wn vn+1=4un+vn+ 4wn wn+1=2un+vn+ 2wn n= 0 un vn wn 1 A 0= 0 u0 v0 w0 1 A n+1=n n ; n 0 1= 0 @1 2 0 1
A 1
f1;2;3g1< 2< 3 1
2 2=
0 1 2 2 1 A3 3=
0 1 3 3 1 A 0 10 0 020 0 03 1A =1
1 k 2k1= 2k=2 2 0= 0 @2 1 2 1 (wn)n2N (un)n2N;(vn)n2N(wn)n2N 0= 0 1 2 0 1 u0; v0; w0 (un)n2N;(vn)n2N (wn)n2N n(x) =Pn k=0e2ikx n(x) = 2R(n(x))1x2Rn fkjk2Zg n2N (p) +(q) = 2 p+q 2 pq 22(a)(b) =(a+b) +(ab)
n(x) R(n(x)) =(nx)[(n+ 1)x] (x) n(x) =[(2n+ 1)x] (x)= 1 + 2Pn k=1(2kx) n(0) =n() = 2n+ 1 n=1 Z0n(x)x n=1
Z0(n(x))2x
f(0) = 0f(x) =((x))0< x < x!0+ px(x)2 Z10((x))2x
((x))]x!0+(x) Z0(f(x))2x
1 x2]0;[ f(x) =f(x) =f(x) ann >0 x!0+((x))(2nx) n2N an=1 n Z0(x)(2nx)
(x)x an=12n(n+n1) =1
n f(x) =f(x)0< x < ĕ x a0=P1 n=1(1)n n ĕĕg(x) =P1
n=1(1)n nxn [0;1] a0 P1 n=11 n2=2 6 1 Z0[((x))]2x
f Rĕ f x
(1)f0(x) +xf(x) = 0 (2)f0(x) +xf(x) =x3 (2) f1 (2) f1(0) = 0 x22 () =
Z 0e x2 2x Z10(t)t=!+1()
ZZ (x)(y)xy = [0;][0;] = [0;]2 ZZ (x)(y)xy =(x;y)2R2j06x;06y;x2+y262 ()6()6p2 () !+1() r 2ĕ g(x) =
Z+11(xt)(t)t
ĕ (x) =
Zx 0(t)t 3 B= #{ ;#| ;#k f B = 0 @744 4 18 48 11 A 0 @1 2 2 22 1
2 12 1 A #{0;#|0;#k0
B#{0: (1;2;2);#|0: (2;2;1);#k0: (2;1;2)
B0= #{0;#|0;#k0 #{0;#|0;#k0 BB02=:= 81
ĕ (x;y;z) R ĕ
8>< x0(t) = 7x(t)4y(t)4z(t) y0(t) =4x(t) +y(t)8z(t) z0(t) =4x(t)8y(t) +z(t) ; (x(0);y(0);z(0)) = (9;0;9) (;B) = ;#{ ;#| ;#kĕ 0= (;B0) =
;#{0;#|0;#k0 (t) =:(t) (t) =t(u(t)v(t)w(t)) (t) (0) (t) ĕ 0t (u(t);v(t);w(t)) #n2 8t2R;#n?# t t (x(t);y(t);z(t)) #28t2R;#?# t
t2R t (x(t);y(t);z(t)) H H ;#{0;#|0 (u(t);v(t)) H (a;b;c) 0 @1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 A= 0 @0 1 0 0 0 1 1 0 0 1A(a;b;c) =
0 @a b c c a b b c a 1 A 2 3 R1 ĕ
=(a;b;c)j(a;b;c)2C3 M3(C) 2 jC (a;b;c)
(a;b;c) (a;b;c) b=c (a;b;b)3 B=
#i ;#j ;#k fa;b;c B (a;b;c) fa;b;b fa;b;b 332 fa;b;c a2+b2+c2= 1a+b+c= 1 ab+bc+ca= 0 y(x) =P1 n=0anxn y(x) =P1 n=0anxn () n>1;2n(2n1)an+an1= 0 () ĕ 0 y(0) = 1 y1(x) y1(x) =pxx>0 y1(x)x <0 ]0;+1[ () y(x) =k(x)y1(x)ɍy1(x) y(x) =k(x)y1(x) ()