Déterminer la matrice A ∈ M2(R) vérifiant : ∀n ∈N, Xn+1 = AXn Solution Simple on a 2 0 1 Montrer que, pour tout entier n ≥ 0,ona: An = PDnPL1 Solution
Previous PDF | Next PDF |
[PDF] Antilles Guyane 2013 Enseignement spécifique - Maths-francefr
a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn b) Démontrer par récurrence que Xn = AnX0 pour tout entier naturel n 5) a) Montrer que Xn = ⎛ ⎜ ⎜
[PDF] Préparation à lécrit du concours
4 mai 2013 · Déterminer la matrice carrée A telle que Xn+1 = AXn 2 Donner une expression de Xn en fonction de A, n et X0 3 Montrer que E1 =
[PDF] PARTIE I - Recherche dune famille de suites - HUVENT Gery
Déterminer la matrice A ∈ M2(R) vérifiant : ∀n ∈N, Xn+1 = AXn Solution Simple on a 2 0 1 Montrer que, pour tout entier n ≥ 0,ona: An = PDnPL1 Solution
[PDF] Correction du devoir surveillé n˚3 Exercice dalg`ebre
Montrer que P est inversible et calculer P−1 1 4 Soit n ∈ N Reconnaıtre le produit AXn 2 3 Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N : Xn = AnX0 2 4
[PDF] ESC 2001 - Maths ECE
Montrer que f réalise une bijection de [0; 1] sur un ensemble que l'on a) Montrer que pour tout entier naturel n : un+1 = 1 2 ∀n ∈ N , Xn+2 = AXn+1 + BXn
[PDF] Exercices bac -- 2011-2016 -- matrices E 1
(a) Vérifier que, pour tout entier naturel n , Xn+1 = AXn (b) Démontrer par récurrence que Xn = AnX0 pour tout entier naturel n 4 On définit les matrices P , P
[PDF] Correction du DM sur les matrices Exercice 74 page 535 On note
On sait que Xn+1=AXn , montrons par récurrence que tout n⩾1 on a a) La calculatrice permet de montrer que la matrice P est inversible et que P−1=(2 −1
[PDF] Corrigé du contrôle 3 - Blog Ac Versailles
On a bien, pour tout n ∈ N, Xn+1 = AXn b) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, Xn = AnX0 Soit n ∈ N Notons 乡n la proposition « Xn
[PDF] SEMAINE 8
Montrer que la matrice P est une matrice inversible et donner l'expression de la matrice P−1 2 (a) Démontrer que pour tout entier naturel n,ona: Xn+1 = AXn
[PDF] MONTRER QUELQUE CHOSE SANS LE MONTRER POUR PEUT ÊTRE MONTRER TOUT AUTRE CHOSE
[PDF] Montrer registre tragique
[PDF] Montrer si le nombre A est un entier ou pas
[PDF] Montrer un défaut physique de plusieurs manières différentes comme Cyrano dans "la tirade du nez"
[PDF] montrer une inégalité avec valeurs absolues
[PDF] montrer une relation d'ordre
[PDF] montrer verbe
[PDF] Montres que le lycée est un lieu régit par le Droit
[PDF] montrez
[PDF] montrez ? l'aide d'un exemple comment le progrès technique peut contribuer ? la croissance
[PDF] Montrez Comment la société médiévale s'organise progréssivement entre le XI et XIII siècle
[PDF] montrez comment la structure de l'adn explique sa fonction de support de l'information génétique
[PDF] montrez comment le progrès technique stimule la croissance économique
[PDF] Montrez comment un pouvoir est politique et comment une question devient politique
PCSI1-PCSI2DNS n◦5Corrigé2014-2015
PARTIE I - Recherche d'une famille de suites (linéaire, récurrente double)1On veut déterminer toutes les suites réellesu= (un)n∈Nvérifiant la relation linéaire récurrente d'ordre deux :
∀n∈N, u n+2= 2un+un+1.1. Pour toutn∈N, on définit la matrice colonneX
n=un un+1Déterminer la matriceA∈ M
2(R)vérifiant :∀n∈N,Xn+1=AXn.
Solution.Simple on a0 12 1
u n un+1 =u n+12un+un+1
,ainsiA=0 12 12. Prouver : pour toutn∈N,Xn=AnX0.
Solution.Par récurrence, c'est vrai sin= 0carA
0X0=I3X0=X0,puis siXn=AnX0alorsXn+1=AXn=
A×A
nX0=An+1X0.3. Déterminer les matrices colonnes de la formeC=1
etC′=1 telles queAC=-CetAC ′= 2C′. On construit alors la matrice (concaténation des deux colonnes)P=C|C ′=1 1Solution.On aAC=0 12 1
1α+ 2
, ainsiAC=-C⇐⇒α=-1α+ 2 =-α,brefC=
1 -1 . On procède de même avecC ′ce qui donneα ′= 2 ′+ 2 = 2αd'oùC ′=1 2 etP=1 1 -1 24. Vérifier quePest inversible et calculerP-1.
Solution.On aP∼
L2+L11 10 3
est de rang2donc est inversible. Puis 1 1 -1 2| |1 00 1 L2+L11 10 3|
|1 01 1 L1-1 3L21 00 3|
2 3-1 31 1∼1 3L2
1 00 1|
2 3-1 31313
AinsiP
-1=13 2-1 1 15. En remarquant queAP=-C|2C′déterminer, sans calcul, la matriceD=P-1AP.
Solution.On aAP=AC|AC
′=-C|2C′. Ensuite si vous n'avez pas d'idée, il suffit de calculerD=P -1APpour constater queD=-1 0 0 2Bon, ensuite, on aP
-1P=I2, maisP-1P=P-1C|C′=P-1C|P-1C′doncP-1C=1 0 etP -1C′=0 1 , ainsiP -1AP=-PC|2PC′=-1 0 0 26. Montrer que, pour tout entiern≥0, on a :An=PDnP-1.
Solution.Avant tout, on a doncPD=AP. Puis par récurrence, c'est vrai pourn= 0carD0=I2et
PI2P-1=PP-1=I2=A0. Puis siAn=PDnP-1,alorsAn+1=APDnP-1=PDDnP-1=PDn+1P-1.
7. En déduire une expression deAn, puis une expression deunen fonction den,u0etu1.
- 1/8 - G H - L F, LPCSI1-PCSI2DNS n◦5Corrigé2014-2015
Solution.On a doncAn=P(-1)
n0 0 2 n P -1,un calcul (beurkkkk) donne 1 1 -1 2 (-1) n0 0 2 n =(-1)n2n -(-1)n2×2n Puis A n=13 (-1) n2n -(-1)n2×2n 2-1 1 1 =1 3 2(-1) n+ 2n2n-(-1)n2×2n-2(-1)n(-1)n+ 2×2n
1 3 2(-1) n+ 2n(-1)n+1+ 2n2n+1-2(-1)n2n+1+ (-1)n
On a alors
X n=un un+1 =A nX0=Anu 0 u1 =1 3 2(-1) n+ 2n(-1)n+1+ 2n2n+1-2(-1)n2n+1+ (-1)n
u 0 u1 1 3 2(-1) nu0+ 2nu0+ (-1)n+1u1+ 2nu1Ce qui donne
u n=2u0-u13×(-1)
n+u0+u13×2
n.8. Montrer qu'une suiteu= (un)n≥0vérifie la relation∀n∈N,un+2= 2un+un+1, si et seulement si: il existe
(λ,µ)∈R2,∀n∈N,un=λ(-1)n+µ2n.
Solution.On vient de prouver le sens=⇒en posantλ=2u 0-u13etµ=u
0+u1 3. Récirpoquement s'il existe(λ,µ)∈R2,∀n∈N,un=λ(-1)n+µ2n.Méthode boeuf de combat : on vérfie queu
n+2= 2un+un+1i.e. queλ(-1)
n+2+µ2n+2= 2(λ(-1)n+µ2n) +λ(-1)n+1+µ2n+1Ce qui vrai car2(λ(-1)n+µ2n)+λ(-1)n+1+µ2n+1= 2(λ(-1)n+µ2n)-λ(-1)n+2µ2n= (-1)nλ+4×2nµ=
λ(-1)
n+2+µ2n+2.Méthode plus subtile :
On cherche(u
0,u1)tels queλ=2u0-u1
3etµ=u
0+u13ce qui donne le systèmeu
1+u0= 3µ
-u1+ 2u0= 3λque l'on
peut écrire sous la forme 1 1 -1 2 u 1 u0 =3µ 3λ ⇐⇒Pu 1 u0 =3µ 3λ . Ce système admet une unique solution u 1 u0 =P -1 3µ 3λ . D'après ce qui précède, en choisissantu0etu1ainsi, la suiteuntelle
que∀n∈N,u n+2= 2un+un+1vérife∀n∈N,un=λ(-1)n+µ2n PARTIE II - Recherche d'une famille de suites (linéaire, récurrente triple)On veut déterminer toutes les suites réellesu= (un)n∈Nvérifiant la relation linéaire récurrente d'ordre trois :
∀n∈N, u n+3= 45un-39un+1+ 11un+2.21. Pour toutn∈N, on définit la matrice colonneX
n= u n un+1 un+2Déterminer la matriceA∈ M
3(R)vérifiant :∀n∈N,Xn+1=AXn.
- 2/8 - G H - L F, LPCSI1-PCSI2DNS n◦5Corrigé2014-2015
Solution.On aXn+1=
u n+1 un+2 un+3 0 1 00 0 1 u n un+1 un+2 d'oùA= 0 1 00 0 1.2. Montrer que connaître l'expression deAnpermettrait de trouverunen fonction denet des premiers termesu0,
u1etu2.
Solution.Par récurrence immédiate on aX
n=AnX0⇐⇒ u n un+1 un+2 =An u 0 u1 u2 . En fait seule une ligne deA npermet de déterminerun(directementunsi l'on a la première ligne, sinonun+1ouun+2).3. (a) Déterminer les rangs des matricesA-5I,A-3Iet(A-3I)2.
Solution.On aA-5I=
-5 1 0 0-5 1 ∼L3+9L1 -5 1 0 0-5 1L3-6L2
-5 1 0 0-5 1 est de rang2. On aA-3I= -3 1 0 0-3 1L3+15L1
-3 1 0 0-3 1L3-8L2
-3 1 0 0-3 1 de rang2. Enfin, un calcul (simple ?) donne(A-3I)
2=
-3 1 0 0-3 1 2 9-6 145-30 5
qui est derang1puisque les trois lignes sont proportionnelles.(b) Calculer(A-5I)(A-3I)2. En déduire queAest inversible et une expression deA-1.
Solution.Encore un calcul (j'espère que vous avez appris à utiliser votre calculatrice. On a donc(A-
5I)(A-3I)
2= 0. Ainsi, en développant
(A-5I)(A-3I)2=A3-11A2+ 39A-45I= 0(oh les coefficients ...)
Ce qui donneI=A×A
2-11A+ 39I
45,ainsiAest inversible avecA -1=A
2-11A+ 39I
45.4. (a) Déterminer toutes les matrices colonnesC1=
x 1 y1 z1 vérifiantAC1= 5C1.DésormaisC
1représente l'unique matrice avecx1= 1.
Solution.On aAC
1= 5C1⇐⇒(A-5I3)C1= 0⇐⇒
-5 1 0 0-5 1 x 1 y1 z1 -5x 1+y1 -5y1+z145x1-39y1+ 6z1
0 0 .On obtient -5x 1+y1 -5y1+z145x1-39y1+ 6z1
y1= 5x1
z1= 25x1 (45-39×5 + 6×25)x1= 0⇐⇒y1= 5x1
z1= 25x1 ⇐⇒C1=x1 1 5 oùx1∈R
Avecx1= 1,on aC1=
1 5 . - 3/8 - G H - L F, LPCSI1-PCSI2DNS n◦5Corrigé2014-2015
(b) Déterminer toutes les matrices colonnesC2= x 2 y2 z2 vérifiantAC2= 3C2.DésormaisC
2représente l'unique matrice avecx2= 1.
Solution.On aAC
2= 3C2⇐⇒(A-3I3)C2= 0⇐⇒
-3 1 0 0-3 1 x 2 y2 z2 -3x 2+y2 -3y2+z245x2-39y2+ 8z2
0 0 .On obtient -3x 2+y2 -3y2+z245x2-39y2+ 8z2
y2= 3x2
z2= 9x2 (45-39×3 + 8×9)x2= 0⇐⇒y2= 3x2
z2= 9x2 ⇐⇒C2=x2 1 3 oùx2∈R.
Avecx2= 1,on aC2=
1 3 (c) Déterminer toutes les matrices colonnesC3= x 3 y3 z3 vérifiantAC3=C2+ 3C3.DésormaisC
3représente l'unique matrice avecx3= 1.
Solution.Enfin,AC
3=C2+ 3C3⇐⇒(A-I3)C3=
1 3 -3x 3+y3 -3y3+z345x3-39y3+ 8z3
1 3 On obtient -3x3+y3= 1
-3y3+z3= 3
45x3-39y3+ 8z3= 9⇐⇒
y3= 3x3+ 1
z3= 3(3x3+ 1) + 3 = 9x3+ 6
(45-39×3 + 8×9)x3-39 + 8×6 = 9⇐⇒y
3= 3x3+ 1
z3= 9x3+ 6
⇐⇒C3=
0 1 +x 3 1 3 oùx2∈R
Avecx3= 1,on aC3=
1 4 (d) On définit la matrice (concaténation des trois colonnes)P=C1|C2|C3et la matriceT= . ComparerAPetPT.Solution.On aP=
1 1 15 3 4On aAP=AC
1|AC2|AC3=5C
1|3C2|3C3+C2=
5 3 425 9 15
etPT= 1 1 15 3 4 5 3 425 9 15
. BrefAP=PT. - 4/8 - G H - L F, LPCSI1-PCSI2DNS n◦5Corrigé2014-2015
5. Montrer quePest une matrice inversible, et calculerP-1.
Solution.On fait les deux en même temps
1 1 15 3 425 9 15|
∼L2-5L1L3-25L1
1 1 1 0-2-10-16-10|
|1 0 0 -5 1 0L3-8L2
1 1 1 0-2-10 0-2|
|1 0 0 -5 1 0L3/(-2)
1 1 1 0-2-10 0 1|
|1 0 0 -5 1 0 15 L2+L3 1 1 1 0-2 00 0 1|
|1 0 0 -25 25-12-15