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a) Vérifier que, pour tout entier naturel n, Xn+1 = AXn b) Démontrer par récurrence que Xn = AnX0 pour tout entier naturel n 5) a) Montrer que Xn = ⎛ ⎜ ⎜

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4 mai 2013 · Déterminer la matrice carrée A telle que Xn+1 = AXn 2 Donner une expression de Xn en fonction de A, n et X0 3 Montrer que E1 =

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Déterminer la matrice A ∈ M2(R) vérifiant : ∀n ∈N, Xn+1 = AXn Solution Simple on a 2 0 1 Montrer que, pour tout entier n ≥ 0,ona: An = PDnPL1 Solution

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Montrer que P est inversible et calculer P−1 1 4 Soit n ∈ N Reconnaıtre le produit AXn 2 3 Démontrer par récurrence que pour tout n ∈ N : Xn = AnX0 2 4

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Montrer que f réalise une bijection de [0; 1] sur un ensemble que l'on a) Montrer que pour tout entier naturel n : un+1 = 1 2 ∀n ∈ N , Xn+2 = AXn+1 + BXn

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(a) Vérifier que, pour tout entier naturel n , Xn+1 = AXn (b) Démontrer par récurrence que Xn = AnX0 pour tout entier naturel n 4 On définit les matrices P , P

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On sait que Xn+1=AXn , montrons par récurrence que tout n⩾1 on a a) La calculatrice permet de montrer que la matrice P est inversible et que P−1=(2 −1

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On a bien, pour tout n ∈ N, Xn+1 = AXn b) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, Xn = AnX0 Soit n ∈ N Notons 乡n la proposition « Xn 

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Montrer que la matrice P est une matrice inversible et donner l'expression de la matrice P−1 2 (a) Démontrer que pour tout entier naturel n,ona: Xn+1 = AXn

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Terminale S-Spécialité 2017/2018

Corrigé du contrôle 3Parmi les ordinateurs d"un parc informatique, 60% présentent des failles de sécurité. Afin de pallier ce

problème, on demande à un technicien d"intervenir chaque jour pour traiter les défaillances.

On estime que chaque jour, il remet en état 7% des ordinateurs défaillants, tandis que de nouvelles

failles apparaissent chez 3% des ordinateurs sains. On suppose de plus que le nombre d"ordinateurs est

constant sur la période étudiée.

Pour tout entier natureln, on noteanla proportion d"ordinateurs sains de ce parc informatique au bout

denjours d"intervention, etbnla proportion d"ordinateurs défaillants au bout denjours.

Ainsia0= 0,4etb0= 0,6.

Partie A

1.

Co mpléterle graphe suiv antdans lequel le sommet A représen tel"état " être un ordinat eursain »

et le sommet B représente l"état " être un ordinateur défaillant » :AB0,030,070,970,932.P ourtout en tiernaturel n, exprimeran+1etbn+1en fonction deanetbn.

L"énoncé indique que pour tout entier natureln,an+1= 0,97an+0,07bnetbn+1= 0,03an+0,93bn.

Cela revient à additionner les probabilités arrivant à chaque sommet du graphe probabiliste.

3.

Soit la matrice A =?0,97 0,07

0,03 0,93?

. On pose X n=?a n b n? a) Ju stifierque p ourtout en tiernaturel n,Xn+1=AXn.

Soitn?N,

AX n=?0,97 0,07

0,03 0,93?

×?a

n b n? =?0,97an+ 0,07bn

0,03an+ 0,93bn?

=?a n+1 b n+1?

On a bien, pour toutn?N, Xn+1=AXn.

b) Mon trer,par récurrence, que p ourtout en tiernaturel n,Xn=AnX0.

Soitn?N. NotonsPnla proposition " Xn=AnX0»

•pourn= 0, A0X0=I2X0=X0.

Ainsi la proposition est vraie au rang 0.

•Supposons qu"il existen?Ntel quePnsoit vraie.

On a alors X

n+1=AXn=AAnX0=An+1X0. P n+1est donc vraie. La proposition est donc héréditaire. •On conclut que pour toutn?N,Pnest vraie autrement dit que Xn=AnX0. c)C alculer,à l"aide de la calculatrice, X

30. En donner une interprétation concrète (les coefficients

seront arrondis au millième). La calculatrice nous donneEn arrondissant au millième, on obtient X

30=?0,687

0,313?

On en déduit qu"au 30

ièmejours,68,7% des ordinateurs sont sains et31,3% des ordinateurs présentent des failles de sécurité.

Partie B

1.

On p oseD =?0,9 0

0 0,9?

et B=?0,07 0,03? a) En remarquan tque, p ourtout en tiernaturel n, an+bn= 1, déterminer une expression de a n+1en fonction deanet une expression debn+1en fonction debn.

Soitn?N,

a n+1= 0,97an+ 0,07bn= 0,97an+ 0,07(1-an) = 0,97an-0,07an+ 0,07 = 0,9an+ 0,07 et b n+1= 0,03an+ 0,93bn= 0,03(1-bn) + 0,93bn= 0,93bn-0,03bn+ 0,03 = 0,9bn+ 0,03 b) Mon trerque, p ourto uten tiernaturel n, Xn+1=DXn+B.

Soitn?N,

DX n+B=?0,9 0

0 0,9??

a n b n? +?0,07 0,03? ?0,9an

0,9bn?

+?0,07 0,03? ?0,9an+ 0,07

0,9bn+ 0,03?

?a n+1 b n+1? =Xn+1

On a bien montré que pour toutn?N, Xn+1=DXn+B.

2.

On p ose,p ourtout en tiernaturel n, Yn=Xn-10B.

a)

Mon trerque p ourtout en tiernaturel n, Yn+1=DYn.

Soitn?N,

Y n+1=Xn+1-10B =DXn+B-10B =DXn-9B

Or10D= 10?0,9 0

0 0,9?

=?9 0 0 9? = 9I2.

On en déduit que

Y n+1=DXn-9I2B =DXn-10DB =D(X-10B) =DYn b)

On admet que p ourtout en tiernaturel n, Yn=DnY0.

En déduire que pour tout entier natureln, Xn=Dn(X0-10B) + 10B. Y n=DnY0??Xn-10B=Dn(X0-10B) ??Xn=Dn(X0-10B) + 10B c) Donne r,sans justification, l"expression de Dnpuis en déduireanetbnen fonction den.

Pour toutn?N, Dn=?0,9n0

0 0,9n?

On en déduit que

X n=?0,9n0

0 0,9n???0,4

0,6? -10?0,07

0,03??

+ 10?0,07 0,03? ?0,9n0

0 0,9n???0,4

0,6? -?0,7 0,3?? +?0,7 0,3? ?0,9n0

0 0,9n??-0,3

0,3? +?0,7 0,3? ?-0,3×0,9n

0,3×0,9n?

+?0,7 0,3? ?-0,3×0,9n+ 0,7

0,3×0,9n+ 0,3?

On en déduit que pour toutn?N,

?a n=-0,3×0,9n+ 0,7 b n= 0,3×0,9n+ 0,3 3.

Selo ncette étude, que p eut-ondire de la prop ortiond"ordinateurs défaillan tssur le long terme ?

-1<0,9<1donclimn→+∞0,9n= 0. On en déduit quelimn→+∞0,3×0,9n= 0et donc quelimn→+∞bn=

0,3. À long terme, la proportion d"ordinateurs défaillants tend vers0,3. Environ30%des ordinateurs sont défaillants à long terme dans ce modèle.quotesdbs_dbs47.pdfusesText_47