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o`u les bi et les aj peuvent prendre n'importe quelle valeur parmi {0, 1, 2,3,4,5,6,7 ,8,9} • Par exemple, 34 La valeur absolue d'un nombre réel x est le nombre qui donne la distance qui sépare ce nombre x − y il suffit de démontrer que
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Attention cependant, ceci ne permet en aucun cas de montrer que des nombres sont égaux ou opposés Exemples : 1 A la calculatrice : 28 9 ≃ 3, 11 et π ≃ 3
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On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : −3x + 4 = 0 soit x = 4 3 −5 + x = 0 soit x = 5 On remplit un tableau de forme : x −∞ 4 3 5
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Inégalités - Valeur absolue
Année scolaire 2006/2007Table des matières
1 Intervalles deR2
2 Comparaison de deux réels.3
2.1 Différentes méthodes de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2.2 Inégalités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
2.3 Application sens de variation et extremum d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
3 Valeur absolue - Distance - Applications6
3.1 Distance entre deux réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6
3.2 Valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
3.3 Équations et inéquations comportant une valeur absolue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
Table des figures
1 Exemple 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
2 Exemple 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
3 Exemple 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
4 Fonction croissante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
5 Fonction décroissante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
6 Résolution graphique de|x-a|=r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
8 Résolution graphique de|x-a|< r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
9 Résolution graphique de|x-a| ≥r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
Liste des tableaux
1 Différents types d"intervalles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
11 INTERVALLES DER1 Intervalles deRExemples :
1.On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure1tous les nombres réelsxtels que
2.On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure2tous les nombres réelsxtels que
-1< x <3.Fig.2 - Exemple 2Cet ensemble est noté]-1; 3[.3.On a représenté sur la droite des nombres réels de la figure3tous les nombres réelsxtels quex≥ -1.Fig.3 - Exemple 3Cet ensemble est noté[-1; +∞[.
Remarque :"+∞» se lit " plus l"infini ».Plus généralement, les différents types d"intervallessont donnés dans le tableau1(oùaetbreprésentent deux
réels, aveca < b).Remarques :1.L"ensemble des nombres réelsRest l"intervalle]-∞; +∞[.2.Un intervalle est une partie deR" sans trou », en " un seul morceau ».3.+∞et-∞ne sont pas des nombres. Ce ne sont que des notations (ce qui explique qu"ils soient
toujours exclus).4.Les intervalles correspondants aux quatre premières lignes du tableau sont ditsbornés.
Module :Module 5 page 581[Modulo]
Exercices :37, 39, 40, 41, 42 page 642[Modulo]
1Intersection et réunion d"intervalles.
2Définition d"un intervalle.2
2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS.
Ensemble desxvérifiantReprésentationIntervalle2.1 Différentes méthodes de comparaisonActivité :Activité 1 (fp)3
Méthode 1 :Utilisation de la calculatrice
Pour comparer deux nombres, il peut parfois suffire de trouver une valeur approchée à la calculatrice.
Attention cependant, ceci ne permet en aucun cas de montrer que des nombres sont égaux ou opposés.Exemples :
1.A la calculatrice :
289?3,11etπ?3,14donc289 < π.2.A la calculatrice, ?7-4⎷3?0,267949et⎷3-2? -0.267949mais ceci estinsuffisantpour conclure que ces nombres sont opposés. Pour cela, il faut d"abord calculer leurs carrés :??7-4⎷3
2= 7-4⎷3et?⎷3-2?2=?⎷3
?2-2×2⎷3 + 4 = 3-4⎷3 + 4 = 7-4⎷3.Les carrés sont égaux donc les nombres sontégaux ou opposés. De plus,?7-4⎷3>0et⎷3-2<0. Ces
deux nombres sont donc opposés.Méthode 2 :Comparaison de fractionsPour comparer deux fractions, il suffit de les mettre sous le même dénominateur et de comparer les
numérateurs.Exemple :Comparaison de 712et813 712
=7×1312×13=91156 et813 =8×1213×12=96156 donc712 <813 .Méthode 3 :Méthode de la différence Exemple :ndésigne un entier naturel. On veut comparer(n+ 1)2etn2+ 1. (n+ 1)2-?n2+ 1?=n2+ 2n+ 1-n2-1 = 2n≥0carn≥0.
Par suite,(n+ 1)2≥n2+ 1.Remarque :Cette dernière méthode est surtout utile pour comparer des expressions données sous forme
littérale.3Comparaison de nombres.3
2.2 Inégalités 2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS.
Exercices :2, 3, 5, 6 page 624- 81, 82 page 695[Modulo]Exercices :20, 22, 23 page 636[Modulo]
Application :On peut utiliser ces règles pour résoudre des inéquations " simples »4x-5<5x-1
4x-5+5<5x-1+5(régle 1)
4x <5x+ 4
4x-5x<5x+ 4-5x(régle 1)
-x <4 -x-1>4 -1(régle 3) x >-4 On a donc ici :S= ]-4; +∞[Exercices :57, 59, 60, 62 page 1537- 47, 48, 49 page 658[Modulo] Les résultats suivants sontprovisoirementadmis :Propriété 1 :Propriété 2 :
≥1b .Le passage à l"inverse change l"ordre pour des nombres strictement positifs. ≥1b .Le passage à l"inverse change l"ordre pour des nombres strictement négatifs.Remarque :Ces deux propriétés ne sont pas valables si les nombresaetbsont de signes contraires! Par
exemple :-3<4et-13 <4.Propriété 3 : 4Ranger des nombres avec ou sans calculatrice.
5Plus difficiles.
6Inégalités par reconstruction.
7Premières inéquations.
8Lien avec les réunions et intersections d"intervalles.4
2 COMPARAISON DE DEUX RÉELS. 2.3 Application sens de variation et extremum d"une fonction
Exercices :20, 24, 25 page 639- 68, 69, 72 page 6810[Modulo]Module :Module 2 page 5511[Modulo]
2.3 Application sens de variation et extremum d"une fonctionDéfinition 1 :Soitfune fonction définie sur un intervalleI.-On dit quefestcroissantesur l"intervalleIsi :
Ce qui signifie quefconserve l"ordre(voir figure4). -On dit quefestdécroissantesur l"intervalleIsi : Ce qui signifie quefinverse l"ordre(voir figure5).Fig.4 - Fonction croissanteFig.5 - Fonction décroissanteRemarque :Avec des inégalités strictes, on dit quefeststrictement croissanteoustrictement décroissante.
9Encadrements.
10Utilisation pour des comparaisons de grandeurs géométriques.
11Encadrements.5
3 VALEUR ABSOLUE - DISTANCE - APPLICATIONS
Définition 2 :Soitfune fonction définie sur un intervalleI.-On dit queMest lemaximumdefsur l"intervalleIsi :-il existec?Itel queM=f(c);
-pour toutx?I,f(x)≥m.Remarque :Il existe plusieurs méthodes pour étudier le sens de variation d"une fonction. Une méthode va
propriétés des inégalités vues au2.2, on aboutit à une relation entref(a)etf(b).Exemple :On considère la fonctionfdéfinie surRparf(x) = (x+ 1)2-3.
On va étudier les variations defsur[-1; +∞[.-On commence par donner la construction par étapes def:
x+1-→x+ 1↑2-→(x+ 1)2-3-→f(x)-On utilise cette construction pour étudier les variations defsur[-1; +∞[.
??Exercice :Étudier les variations defsur]-∞; 1]et dresser son tableau de variations.Exercices :46, 48, 49 page 9312- 50, 52, 53 page 9313[Modulo]
3 Valeur absolue - Distance - Applications
3.1 Distance entre deux réelsActivité :Activité 2 (fp)14
Définition :Soitxetydeux réels.
On appelledistance entre les réelsxetyla distance entre les points d"abscissesxetysur la droite graduée.On notera cette distanced(x;y).
Propriété :La distance entre deux réels est la différence entre le plus grand et le plus petit, c"est-à-dire :
Étude de variations.
13Étude de fonctions.
14Distance entre deux réels.6
3 VALEUR ABSOLUE - DISTANCE - APPLICATIONS 3.2 Valeur absolue
Remarques :
1.d(x;y)est un nombre positif (c"est une distance).2.d(x;y) =d(y;x)
??Exercice :Calculer la distance entre les réels suivants : 1.- 34et12.5et0,53.0et75
4.-4et0Exercices :58, 59 page 6515[Modulo]
3.2 Valeur absolueDéfinition :On appellevaleur absolued"un réelxla distance entre ce nombrexet zéro.
On la note|x|.
On a donc :|x|=d(x; 0).
D"après les résultats du3.1, on a :
-Six≥0,|x|=x-0 =x ????53 ???=53 car53>0et|-5|=-(-5) = 5car-5<0Propriété :Soitxetydeux nombres réels.1.|x|= 0si et seulement six= 02.|x|=|-x|3.|x|=|y|si et seulement six=youx=-y.Remarque :Ces trois assertions se prouvent facilement en utilisant|x|=d(x; 0).Exercices :52, 53, 54, 55, 56 page 6516[Modulo]
3.3 Équations et inéquations comportant une valeur absolueThéorème :Pour tout réelxety:d(x;y) =|x-y|Démonstration :
Six≥y: d"après3.1d(x;y) =x-yet, commex-y≥0, d"après3.2,|x-y|=x-y.On a donc bien dans ce casd(x;y) =|x-y|.
On a donc bien dans ce casd(x;y) =|x-y|.
Activité :Activité 3 (fp)17
15Distance entre deux réels.
16Calculs comportant des valeurs absolues.
17Équations et inéquations comportant une valeur absolue.7
RÉFÉRENCESRÉFÉRENCESPropriété :Résolution graphique d"équations et d"inéquations
Soitaun réel etr >0.-Résolution de|x-a|=r
|x-a|=rsignifie qued(x;a) =r. Les solutions sont donc les nombres situés à une distancerdu réela(voir figure6).Les solutions de|x-a|=rsontx=a-retx=a+r.
Les solutions sont donc les nombres situés à une distance inférieure àrdu réela(voir figure7).
-|x-a|< rsignifie qued(x;a)< r.