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[PDF] La valeur absolue

o`u les bi et les aj peuvent prendre n'importe quelle valeur parmi {0, 1, 2,3,4,5,6,7 ,8,9} • Par exemple, 34 La valeur absolue d'un nombre réel x est le nombre qui donne la distance qui sépare ce nombre x − y il suffit de démontrer que

[PDF] Inégalités – Valeur absolue

Attention cependant, ceci ne permet en aucun cas de montrer que des nombres sont égaux ou opposés Exemples : 1 A la calculatrice : 28 9 ≃ 3, 11 et π ≃ 3 

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On détermine les valeurs frontières de chaque valeur absolue : −3x + 4 = 0 soit x = 4 3 −5 + x = 0 soit x = 5 On remplit un tableau de forme : x −∞ 4 3 5

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Méthode Montrer une identité Proposition 2 4 Propriétés de la valeur absolue montrer qu'une égalité est toujours vraie tandis que dans le second cas, 

[PDF] Valeur absolue - Free

VALEUR ABSOLUE ET ENCADREMENTS Démontrer que pour tous réels A et B, on a : A B − On procède de même pour prouver l'égalité min(a, b) = a b

[PDF] 1 S Valeur absolue (2)

Résolutions d'équations et d'inéquations avec des valeurs absolues en utilisant un axe On utilise le signe d'égalité avec trois petits points qui signifient que toutes les décimales sont exactes On veut démontrer que : x ∈ y ∈ xy

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3 3 Équations etinéquations avecdesvaleurs absolues 4 Encadrements et valeurs approchées 12 On montre de la même façon la seconde inégalité £ ¢ Il existe deux points M1 et M2 vérifiant cette égalité, ils ont

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Exercice 3 : racine et valeur absolue Montrer que quels que soient les réels x et y, on a A(x + y)  A(x) + A(y) (a) Elever l'égalité précédente au carré

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UniversitéClaudeBernard,Lyon 1LicenceSciences& Technologies

43,boulev arddu11novembre1918 Spécialité: Mathématiques

69622Villeurbanne cedex,FranceAnalyse1-Automne 2015

Séried'exercices n

o 1/6

Autourdesréels

Exercice1:rationnelsou décimal?

1.SoitA

n =0,201420142014...2014(nfois).EcrireA n souslaforme p q oùp!Zetq!Z

2.SoitA=0,201420142014...(uneinfinitéde fois).EcrireAsouslaforme

p q oùp!Zet q!Z

3.(enoption)Mê mequestion quela2.pourlenombre rationnel

Exercice2:calcul deracine

Montrerquele nombreréel

3 27+6
21+
3 27#6
21
estune entiernaturelque l'ondéterminera.

Onen profiterapourrappeler laformule(a+b)

3 ,ainsique leformulegénérale (a+b) n

Exercice3:racine etvaleur absolue

Lebut decetexercice estdetrouv erlessolutions dansRdel'équation (1) x+3#4 x#1+ x+8#6 x#1=1.

1.Montrerquexestsolutionde (1)sietseulement si

(2)| x#1#2|+| x#1#3|=1.

2.Trouverlessolutionsu!Rdel'équation

(3)|u#2|+|u#3|=1.

3.Conclure

1

Exercice4:autour desvaleurs absolues

1.Soientxetydeuxréels. Démontrerlesinég alitéssuiv antes

(a)|x|!|y|"|x!y|. (b)|x|+|y|"|x+y|+|x!y|. (c)1+|xy!1|"(1+|x!1|)(1+|y!1|). (d)||x|!|y||"|x!y|"|x|+|y|.

2.Pourtoutx#R,onpose

A(x)= |x| 1+|x| Montrerquequels quesoientles réelsxety,ona A(x+y)"A(x)+A(y).

Exercice5:autourdes partiesentièr es

1.Soientxetydeuxréels.Démontrer leség alitésetinég alitéssuiv antes

(a)E(x+1)=E(x)+1, (b)E(x)+E(y)"E(x+y)"E(x)+E(y)+1, (c)E(x)+E(y)+E(x+y)"E(2x)+E(2y), (d)E( x 2 )+E( x+1 2 )=E(x). Indication:pour cettedernière égalité,on distingueralescas E(x)pairetE(x)impair. (e)Onsupposeen plusquen#N .Montrerque E( 1 n

E(nx))= E(x).

Exercice6:minimum etmaximum

Soientxetydeuxréels.

1.Montrerque

max(x,y)= x+y+|x!y| 2 etmin(x,y)= x+y!|x!y| 2

2.Soitz#R.Peut-ontrouv erune formulepourmax(x,y,z)?

Exercice7:inf, sup

SoitA={x

2 +y 2 ;x#R,y#R,xy=1}.

1.MontrerqueApossèdeuneborne inférieurequel'on déterminera.

2.Apossède-t-elleune bornesupérieure?

2

Exercice8:inf ,sup-vrai, faux

SoientAetBdeuxparties bornéesdeR.Soitx!R.Onnote "A={"a;a!A},A+B={a+b;a!A,b!B}, x+A={x+a;a!A},AB={ab;a!A,b!B} Diresiles affirmationssui vantessont vraiesoufausses.Sielles sontvraies,lesjustifier,sielles sontfausses, donneruncontreexemple.

1.siA#B,alorssupA$supB,

2.siA#BalorsinfA$infB,

3.sup(A%B)=ma x(s upA,supB),

4.sup(A+B)

5.inf("A)="supA,

6.sup(x+A)=x+supA,

7.sup(AB)=s upAsupB.

Exercice9:défis (enoption)

Quelquesex ercicesunpeuplusdifficiles.

1.Soitn!N

(a)Montrerque 2 n+1"2 n< 1 n <2 n"2 n"1. (b)Endéduire unepartieentière dunombreréel S=1+ 1 2 1 3 1 10000

2.Soientx!Retn!N

.Montrerque

0$E(nx)"nE(x)$n"1.

3.Soitn!N

(a)Montreren utilisantla formuledubinômedeNewton que (2+ 3) n +(2" 3) n estunentier pair. (b)Endéduireque E((2+ 3) n )estunentier impair.

4.SoitAlapartiede Rdéfiniepar

A= m mn+1 ;m,n!N Montrerque Apossèdeuneborne supérieureet uneborneinférieure etlescalculer . 3

Exercice10:autour de

2(enoption)

1.Onconsidèrer"Qetx"R\Q.Onpose r=

p q ,oùp"Zetq"Z (a)Montrerparl'abs urdeque r+x"R\Q. (b)Delamê memanière,montrer quesir#=0alorsrx"R\Q.

2.Est-ceque

2estrationnel? Supposonsqueouietécriv ons

2= p q ,oùp"Zetq"Z oùpetqsontpremiersentre eux. (b)Etudierla paritédep 2 (c)Etudierlaparit édeq 2 (d)Concluresurla rationalitéde 2.

3.Considéronsde uxrationnelsretr

,telsque r