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Continuité et dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un para- On peut retenir l' abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx Ici, pour nos fonctions de deux variables, on calcule d'abord l'aire d'une tranche Une catégorie un peu différente d'intégrales est lorsque ce sont les bornes qui sont les 

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Si f est une fonction d'une variable, l'intégrale de f sur un intervalle [a, Calculer la dérivée d'une fonction est toujours possible, et relativement facile : il suffit nue de deux variables f, et une région borné D de R2 délimité par une courbe 

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f(t) dt où f est une fonction d'une seule variable (qui est, quand ∂x, elle indique la variable par rapport à laquelle on a dérivé et dans (x, t), elle précise en quel point on a évalué Si on (un calcul de l'intégrale de Gauss : ∫ +∞ 0 e−t2 dt)

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Intégrale dépendant de la borne supérieure Le théorème suivant Ce théorème donne un moyen d'écrire (sous forme intégrale) une primitive de f sur I mais on l' utilise Pour étudier la dérivée de F, on va expliciter l'intégrale en utilisant une 

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(Intégrale définie) On suppose que la fonction réelle f: [a, b] R est intégrable sur [a, b] f(x)dx, a et b sont les bornes d'intégration, x est la variable d'inté- gration; c'est une Remarque 2 15 (conséquence de la linéarité de la dérivation) 1

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Prérequis savoir calculer les dérivées des fonctions usuelles (en particulier 1 xn ) et les dérivées 2 Intégrale sur un segment d'une fonction continue Définition : f Découpages : Chasles (bornes variables et contenu fixe, ∑ n k=1 ∫ k+1

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Intégrale sur un segment d'une fonction réelle de variable réelle, en escaliers ( Sup) Théorème 1 1 : résultat s'annulant en un point Théorème 3 3 : lien primitive-dérivée Théorème 3 4 : intégrale dont les bornes dépendent d'un paramètre

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intégrale d'ordre négatif, après avoir transformé l'expression de l'in- tégrale d' ordre a D^y (la continuité est entendue par rapport à la variable de dérivation) D{*~r)f(œ) étant nécessairement borné dans (Û',^), quel que soit on obtient en  

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7 oct 2018 · Dérivation d'intégrales dépendant de leurs bornes Formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) Soit f une fonction de la variable réelle à valeurs dans C La limite de f en a, si elle existe, est unique

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fonctions dérivées n'est pas nécessairement une fonction dérivée PRIMITIVES ET INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE 403 f(x)dx la variable x est muette et peut être remplacée le segment de bornes ϕ−1(a) et ϕ−1(b) Ona:

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Int´egrales

1 Primitives

Pr´erequissavoir calculer les d´eriv´ees des fonctions usuelles (en particulier1x n) et les d´eriv´ees des fonctions compos´ee ! D´efinition :Fest une primitive defsurIsiFest d´erivable surIet si···

Comment tester un candidat primitive ?

M´ethode :On trouve `a peu pr`es une primitive, on la d´erive, puis on ajuste les constantes. Exercice :f(x) = (3x+ 1)3;g(x) = (ln(2x+ 1))312x+1;h(x) = 2x

Puissances :f(x) =1x

nalorsF(x) =1x n-1a pour d´eriv´eeF?(x) =...donc une primitive est :

F(x) =...

f(x) =1x se primitive en...sur ]0,+∞[ et...sur ]-∞,0[ (ou bien ln|x|sur chacun de ces deux intervalles) Une puissance au d´enominateur se primitive en une puissance de moins. Une puissance au num´erateur se primitive en une puissance de plus.

Usuelles :Fonction :()

n1 n1 ()exp()

Presque primitive()

n+11 n-1ln(+) ou ln(-)exp()

Exercice :f(x) =1(3x+1)3;g(x) =1(ln(2x+1))312x+1

Produit :Un produit ne se primitive pas simplement sauff(u(x))u?(x) :... Id´ees : changer un produit en puissance ou en somme. Exercice :primitiver :f(x) = (x+ 1)2x;g(x) =1+x+x3x

2;h(x) =x(2x+1)2;k(x) = (x+ 1)2(x+ 1)3

u(x) =1(e2x+1)3e2x;v(x) = (e2x+ 1)2ex;w(x) =(2x+2)2(x+1)4 Th´eor´eme :ffonction continue sur un intervalleI.Alors elle a une primitiveFsurI(en fait, une infinit´e). N.B.En g´en´eral, on ne peux pas exprimer les primitives avec les fonctions usuelles.

Exercice :Montrer queG:x→?x2

x1ln(t)dtest d´efinie et d´erivable sur ]0,1[.

2 Int´egrale sur un segment d"une fonction continue.

D´efinition :ffonction continue sur un intervalleI. a?b?IetFune primitive defsurIalors?b af= [F]b a=F(b)-F(a). N.B.L"int´egrale ne se calcule par primitivation que pour les fonctions continues. D´ecoupages :Chasles (bornes variables et contenu fixe,?n k=1? k+1 k1t dt=?n+1 11t dt), lin´earit´e (bornes fixes et contenu variable?n k=0? 1

0tkdt=?1

0? n k=0tkdt), constantes en facteur.Int´egralesPage 1/ 4 Int´egration par partiesOn d´erive une partie et on primitive l"autre :?b au?(t)·v(t)dt=... siuetvsont de classeC1sur [a,b] ou [b,a] ExerciceLe d´emontrer en d´erivant le produitu·v.

PourquoiC1et pas simpelment d´erivable ?

Relation de r´ecurrence :se d´emontre en g´en´eral par int´egration par parties. N.B. Bien choisir la partie `a d´eriver et celle `a primitiver.

Exercice :In=?1

0(1-x)nexdx.ExprimerIn+1en fonction deIn.

In´egalit´es (positivit´e) :On encadre le contenu, pour toutxde l"intervalle d"int´egration, puis on

int`egre de part et d"autre par rapport `ax, en v´erifiant l"ordre des bornes. EmpiriquePour avoir un1n+1dans le majorant de l"int´egrale, on conserve une puissancendans le majorant du contenu.

Exercice :In=?1

0xe x(1+x)ndx. Etudier les variations dex→xexsur [0,1] et en d´eduire que 0?In? e(n-1) Int´egrale fonction des bornes :Sifest continue surIet quea?IalorsF(x) =?x af(t)dtest une primitive def. Sifest continue surIet queaetbsont des fonctions d´erivables surJ`a valeurs dansIalors

G(x) =?b(x)

a(x)f(t)dtest d´erivable surJetG?(x) =f(b(x))b?(x)-f(a(x))a?(x) Exercicele d´emontrer (indication : partir d"une primitive formelle def)

Changement de variable :

αf(x)dx=?b

af(u(t))u?(t)dtavecude classeC1sur [a,b],fcon- tinue suru([a,b]). A utiliser : Pour une ´egalit´e d"int´egrales avec changements de bornes et de contenu. Pour exploiter la parit´e d"une fonction : utiliserx=-t Mode d"emploi : on ´ecrit d"abord le changement de variable, on le justifie ensuite. Simple :quand l"ancienne variablexest fonction de la nouvelle :x=u(t). On remplacexparu(t);dxparu?(t)dt; les bornes surxpar les valeurs correspondantes sur t: il faut r´esoudreu(t) =aetu(t) =b. Compliqu´e :quand la nouvellexest donn´ee en fonction de l"ancienne

Il faut alors faire apparaˆıtre le blocu?(t), puis cachertdans unu(t) avant de pouvoir appliquer

la formule de changement de variable. Exemple :Montrer que sifest impaire et continue,?1 -1f(x)dx=?-1

1f(t)dtet en d´eduire sa

valeur.

On effectue le changement de variablex=-t

R´eponsedx=-dt:x= 1?? -t= 1??t=-1 :x=-1??t= 1

1 -1f(x)dx=?-1

1f(-t)-dt=?-1

1f(t)dtcarfimpaire.

Donc ?1 -1f(x)dx=-?-1

1f(-t)-dtet 2?1

-1f(x)dx= 0. Justification du changement de variable :u:t→ -testC1sur [-1,1] etfest continue sur u[-1,1] = [-1,1].Int´egralesPage 2/ 4

Exercice :Soitx >0.Montrer quex?

11t n(1 +t)dt=1? 1/xu n-11 +udu D´eriv´ee :On ne peut d´eriver le contenu qu"avec l"int´egration par parties. Mais, par changement de variable, on peut se ramener `a un int´egrale fonction des bornes.

Exemple :f(x) =?2

11t e-txdt.Montrer quefest d´erivable sur ]0,+∞[ et calculer sa d´eriv´ee. Indication : changement de variabletx=yo`u l"ancienne est fonction de la nouvelle puis th´eor`eme ci-dessous.

R´eponset=yx

:dt=1x dy:t= 1??y=x:t= 2??y= 2xetf(x) =?2x xxy e-y1x dy=?2x x1y e-ydy. On applique alors le th´eor`eme sur les int´egrales fonction des bornes. y→1y e-ycontinue sur ]0,+∞[.

Doncfest d´erivable enxtel quex→x

et etx→2xsontC1et appartiennent `a ]0,+∞[. fest d´erivable sur ]0,+∞[ etf?(x) = 212xe-2x-1x e-x. Rare : Sommes de Riemannsifest continue sur [0,1] alors1n n k=1f?kn ?→?1

0f(t)dt

C"est ce th´eor`eme qui fait le lien entre int´egrale et aire (approch´ee par 1n n k=1f?kn ?), et qui permet de programmer le calcul de la valeur approch´ee d"une int´egrale.

M´ethode :Reconnaˆıtre le "n" (`a peu pr`es la borne sup´erieure de la somme et dans lekn

) puis faire apparaˆıtre 1n devant la sommetkn partout o`u il y ak.Reconnaˆıtre alorsfest v´erifier sa continuit´e sur [0,1]. Exercice :D´eterminer la limite quandn→+∞de1n 2n+1 k=1ln?1 +kn

3 Int´egrale sur un segment d"une fonction continue par morceaux.

D´efinition :fest continue par morceaux sur un intervalle [a,b] si on peut trouver des sous intervalles

(une subdivision)a=a1< a2<···< an=bet des fonctions˜ficontinues sur [ai,ai+1] telles quef=˜fisur ]ai,ai+1[. (si on peut prolongerfpar continuit´e aux bornes) N.B.On l"utilise quand on peut prolonger par continuit´e la "formule" def(x).

Exemple :fd´efinie parf(x) =?

?xsix?]0,1[ ln(x) six?[1,2[ 1x six >2est prolongeable par : N.B.La fonction prolong´ee ne co¨ıncide pas avecfaux bornes.

D´efinition de l"int´egrale :sifest continue par morceaux prolongeable par˜ficontinue sur [ai,ai+1]

alors?b af(x)dx=?n-1 i=1? ai+1 a i˜fi(x)dx C"est l"int´egrales des prolongements par continuit´es.

Exemple :dans le cas pr´ec´edent?3

0f(x)dx=...Int´egralesPage 3/ 4

Th´eor`emes :•La positivit´e, Chasles et lin´earit´e restent vraies. •Si elle converge, l"int´egrale fonction des bornesG(x) =?b(x) a(x)f(t)dtest continue surJ(a etbsont continues surJ). Elle est d´erivable enxtel quefcontinue ena(x) et enb(x).

•Le changement de variable et l"int´egration par parties ne sont plus vraies pour des fonctions

continues par morceaux. On doit les faire sur chacun des sous intervalles.

4 Int´egrale impropre en±∞.

4.1 D´efinition et op´erations

D´efinition :Sifest continue ou continue par morceaux sur [a,+∞[, on dit que?+∞ af(t)dtest impropre en +∞.

Elle converge si?M

af(t)dta une limite finie quandM→+∞

On note alors lim

M→+∞?

M af(t)dt=?+∞ af(t)dt.(Elle diverge sinon.)

De mˆeme en-∞.

Exemple :Montrer que?+∞

0e-xdx(impropre en +∞) converge et calculer sa valeur.

Exercice :Int´egrales de Riemann. Montrer que siα >1 alors?+∞ 01x

αdxconverge et diverge si

α?1.

Op´erations :Le plus simple est de revenir `a l"int´egrale partielle pour laquelle il n"y a pas de

probl`eme de convergence. Sinon, il faut d"abord prouver la convergence de chaque morceau avant d"op´erer.

Chasles :Si?+∞

bf(t)dtconverge alors?+∞ af(t)dt=?b af(t)dt+?+∞ bf(t)dt

Lin´earit´e :Si?+∞

af(t)dtet?+∞ ag(t)dtconvergent alors?+∞ aαf(t) +βg(t)dt=α?+∞ af(t)dt+β?+∞ ag(t)dt

Positivit´e :Si?+∞

af(t)dtet?+∞ ag(t)dtconvergent et quef(t)?g(t) sur [a,+∞[ alors?+∞ af(t)dt??+∞ ag(t)dt

Int´egrale fonction des bornes :Si?a

-∞f(t)dtconverge alorsG(x) =?x -∞f(t)dtest d´erivable l`a o`ufest continue etG?(x) =f(x)

Exemple :SoitF(x) =?x

-∞e tt

2dt. Montrer queFest d´erivable sur ]-∞,0[ et calculer sa d´eriv´ee

Int´egration par parties et changement de variables :on revient `a l"int´egrale partielle.

ExerciceCalculer?+∞

1ln(t)t

2dt

4.2 Comparaison pour les fonctions positives

Th´eor`emes :Sifetgsont positives et quef?gsur [a,+∞[ (ou quef=o(g) ) alors si?+∞ afdiverge alors?+∞ agdiverge "par minoration de fonctions positives". si?+∞ agconverge alors?+∞ afconverge "par majoration de fonctions positives".Int´egralesPage 4/ 4

D´emonstration :Sifest positive alorsF(x) =?x

af(t)dtest croissante, en revenant `a la d´efinition du sens de variation.

Six?yalorsF(y) =F(x) +?y

xf(t)dtqui est positive par positivit´e de l"int´egration.. Donc

F(x)?F(y)

Il n"y a alors que deux possibilit´es :Fa une limite finie en +∞ouFtend vers +∞.Donc si?+∞

afdiverge c"est que?x af→+∞. Th´eor`emes :Sifetgsont positives et quef≂gen +∞alors?+∞ afet?+∞ agsont de mˆeme nature "par ´equivalence de fonctions positives". R´ef´erences :Int´egrales de Riemann?+∞ 11x αdxconverge siα >1 et diverge siα?1. Exponentielles

1eαxdxconverge siα <0 et diverge siα≥0

Exemple :Prouver la convergence de?+∞

1x

2+e-xx

4+xdximpropre en +∞.

D´efinition et th´eor`eme :si?+∞

a|f|converge on dit que?+∞ afconverge absolument. Elle est alors convergente.

Ce th´eor`eme permet d"appliquer les crit`eres de comparaison pr´ec´edents `a des fonctions au signe

changeant.

Le retour de la s´erie :Sifest positive continue ou CPM et d´ecroissante, alors la s´erie :?

k≥0f(k) et l"int´egrale impropre en +∞:?+∞

0f(t)dtsont de mˆeme nature.

L"avantage d"´etudier la convergence de l"int´egrale plutˆot que celle de la s´erie est que l"on a plus

de primitives et que l"on peut y faire des int´egrations par parties.

5 Int´egrale impropre en un point fini

D´efinition :fcontinue ou continue par morceaux sur ]a,b].On dit que?b afest impropre ena. Si?b xfa une limite finie quandx→a,on dit que?b afconverge et?b af= limx→a? a xf

Exemple :Montrer la convergence et calculer?1

0ln(t)dt.

R´ef´erence :Riemann siα≥1 alors?1

01x αdxdiverge et converge siα <1.(c"est l"inverse du comportement en +∞)

Th´eor`emes :Les th´eor`emes de comparaison, minoration, majoration de fonctions positives restent

valables.

Op´erations :Chasles et lin´erarit´e, positivit´e ne peuvent se faire qu"apr`es v´erification de la conver-

gence de chaque morceau. IPP et changement de variable se font en revenant `a l"int´egrale partielle.

Multi-impropri´et´e :si une int´egrale est impropre en plusieurs points, on isole chacun des points

d"impropret´e. Elle convergera si elle converge en chacun des points d"impropret´e et elle sera la somme des sous int´egrales impropres.

Exemple :f(x) =1x

2six <1 :f(x) =1⎷-xsix?[0,1] etf(x) =e-xsix >0.

Calculer?+∞

-∞f(t)dtInt´egralesPage 5/ 4quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50