[PDF] [PDF] Cours de mathématiques Partie II – Analyse MPSI 4 - Alain TROESCH

[PDF] Intégrales dépendant dun paramètre - Exo7 - Cours de

Continuité et dérivabilité d'une intégrale dépendant d'un para- On peut retenir l' abréviation mnémotechnique d'interversion dérivée/intégrale : d dx Ici, pour nos fonctions de deux variables, on calcule d'abord l'aire d'une tranche Une catégorie un peu différente d'intégrales est lorsque ce sont les bornes qui sont les 

[PDF] la fin (intégrales de fonctions de plusieurs variables)

Si f est une fonction d'une variable, l'intégrale de f sur un intervalle [a, Calculer la dérivée d'une fonction est toujours possible, et relativement facile : il suffit nue de deux variables f, et une région borné D de R2 délimité par une courbe 

[PDF] Intégrales dépendant dun paramètre - Maths-francefr

f(t) dt où f est une fonction d'une seule variable (qui est, quand ∂x, elle indique la variable par rapport à laquelle on a dérivé et dans (x, t), elle précise en quel point on a évalué Si on (un calcul de l'intégrale de Gauss : ∫ +∞ 0 e−t2 dt)

[PDF] Intégrale dépendant de la borne supérieure

Intégrale dépendant de la borne supérieure Le théorème suivant Ce théorème donne un moyen d'écrire (sous forme intégrale) une primitive de f sur I mais on l' utilise Pour étudier la dérivée de F, on va expliciter l'intégrale en utilisant une 

[PDF] 22 Quelques propriétés des intégrales définies

(Intégrale définie) On suppose que la fonction réelle f: [a, b] R est intégrable sur [a, b] f(x)dx, a et b sont les bornes d'intégration, x est la variable d'inté- gration; c'est une Remarque 2 15 (conséquence de la linéarité de la dérivation) 1

[PDF] Intégrales - Maths ECE

Prérequis savoir calculer les dérivées des fonctions usuelles (en particulier 1 xn ) et les dérivées 2 Intégrale sur un segment d'une fonction continue Définition : f Découpages : Chasles (bornes variables et contenu fixe, ∑ n k=1 ∫ k+1

[PDF] 03 - Intégration Cours complet - cpgedupuydelomefr

Intégrale sur un segment d'une fonction réelle de variable réelle, en escaliers ( Sup) Théorème 1 1 : résultat s'annulant en un point Théorème 3 3 : lien primitive-dérivée Théorème 3 4 : intégrale dont les bornes dépendent d'un paramètre

[PDF] Sur les dérivées et sur les différences des fonctions de variables

intégrale d'ordre négatif, après avoir transformé l'expression de l'in- tégrale d' ordre a D^y (la continuité est entendue par rapport à la variable de dérivation) D{*~r)f(œ) étant nécessairement borné dans (Û',^), quel que soit on obtient en  

[PDF] Cours de mathématiques Partie II – Analyse MPSI 4 - Alain TROESCH

7 oct 2018 · Dérivation d'intégrales dépendant de leurs bornes Formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) Soit f une fonction de la variable réelle à valeurs dans C La limite de f en a, si elle existe, est unique

[PDF] Primitives et intégrales

fonctions dérivées n'est pas nécessairement une fonction dérivée PRIMITIVES ET INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE 403 f(x)dx la variable x est muette et peut être remplacée le segment de bornes ϕ−1(a) et ϕ−1(b) Ona:

[PDF] dérivée d'une intégrale ? paramètre

[PDF] dérivée d'une intégrale dépendant d'un paramètre

[PDF] dérivée d'une intégrale dépendant de ses bornes

[PDF] dérivée exercices corrigés pdf

[PDF] dérivée fonction composée

[PDF] dérivée formule

[PDF] dérivée ln(u/v)

[PDF] dérivée nombre complexe

[PDF] dérivée racine de u

[PDF] dérivée u/v

[PDF] dérivée u^n

[PDF] dériver une intégrale impropre

[PDF] dernier délai d inscription uir

[PDF] dernier jour d'un condamné victor hugo

[PDF] dernier recensement au niger

Lycée Louis-Le-Grand, ParisAnnée 2018/2019

Cours de mathématiques

Partie II - Analyse

MPSI 4

Alain TROESCH

Version du:

7 octobre 2018

Table des matières

8 Dérivation de fonctions5

I Rappels sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 6

I.1 Limites : point de vue métrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 6 I.2 Limites : point de vue topologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 8 I.3 Unicité de la limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 9

I.4 Limites à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 10

I.5 Propriétés des limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 11

I.6 Limites de fonctions à valeurs dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.7 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 12

II Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 13

II.1 Dérivation et tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 13

II.2 Dérivées à droite et à gauche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 15

II.3 Fonctions de classeCn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II.4 Théorèmes de prolongement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 16

II.5 Règles de dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 17

II.6 Stabilité des propriétés de régularité . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 20

III Étude d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 22

III.1 Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 22

III.2 Symétries d"une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 23

III.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 24 III.4 Variation des fonctions, extremum . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 25 III.5 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 26

III.6 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 27

IV Propriétés des fonctions continues ou dérivables sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . 28

V Dérivations de fonctions réelles à valeurs dansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9 Les fonctions usuelles33

I Exponentielle, logarithme, puissances . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 33

I.1 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 33 I.2 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 34 I.3 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 35 I.4 Croissances comparées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 37

II Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 37

II.1 Sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 38 II.2 Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 38

2Table des matières

II.3 Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 39

III Réciproques des fonctions trigonométriques . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.1 Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 39 III.2 Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 41 III.3 Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 42

IV Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 44

V Réciproques des fonctions hyperboliques (HP) . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 46

VI Tableau des dérivées des fonctions usuelles . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 46

10 Calcul intégral49

I Calcul intégral et primitivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 49

I.1 Résultats issus de la théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 49

I.2 Techniques élémentaires de primitivation . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 52

II Techniques de calcul intégral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 54

II.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 54

II.2 Changements de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 57

II.3 Dérivation d"intégrales dépendant de leurs bornes . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 57

II.4 Conséquences pour les fonctions admettant des symétries . . . . . . . . . . . . . . 58

III Rapide introduction aux intégrales impropres . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 59

11 Équations différentielles linéaires61

I Équations différentielles linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 61

II Équations différentielles linéaires d"ordre 1 . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

II.1 Situation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 62

II.2 Solutions de l"équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 62

II.3 Recherche d"une solution particulière dey?=a(x)y+b(x). . . . . . . . . . . . . . 63 II.4 Problème de Cauchy associé à une EDL du premier ordre . . .. . . . . . . . . . . 64 II.5 Problèmes de raccordement (ou recollement) . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 64 II.6 Résolution des EDL d"ordre 1 à coefficients constants . . .. . . . . . . . . . . . . 64

III Résolution des EDL d"ordre 2 à coefficients constants . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 65

III.2 Résolution de l"équation homogène . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 65

III.3 Problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 67

III.4 Solution générale du système non homogène . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 67

12 Suites numériques69

I Convergence de suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 69

I.1 Un peu d"histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 69 I.2 Définition de la limite d"une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 70 I.3 Cas des suites complexes et vectorielles . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 72

I.4 Premières propriétés des suites convergentes . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 73

I.5 Suites de Cauchy (hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 74

II Propriétés des suites liées à la convergence . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 75

II.1 Préambule : caractérisation séquentielle de la limite. . . . . . . . . . . . . . . . . 75

II.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 76

II.3 Limites et inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 78

II.4 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 80 II.5 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 81

III Suites extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 82

III.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 82

III.2 Suites extraites et convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 83 III.3 Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 86

Table des matières3

III.4 Digression sur la construction deR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

III.5 Caractérisations séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 87

IV Étude de suites d"un type particulier . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 89

IV.1 Suites définies par une récurrence affine . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 89

IV.2 Suites définies par une relation linéaire d"ordrek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

IV.3 Suites définies par une récurrenceun+1=f(un). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

13 Calcul asymptotique97

I Domination, négligeabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 97

I.1 Cas des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 97 I.2 Propriétés desoetO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 I.3 Extension au cas des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 101

II Équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 102

II.1 Cas des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 102

II.2 Propriétés des équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 103

II.3 Cas des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 104

II.4 Équivalents classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 105

II.5 Problème de la somme et de la composition des équivalents . . . . . . . . . . . . . 105

14 Approximations polynomiales107

I Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 107

I.1 Développement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 107 I.2 Formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) . . . . . . . . . . . . . 109 I.3 Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 109 I.4 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 110

II Formules de Taylor pour les fonctions usuelles . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 111

II.1 Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 111 II.2 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 111 II.3 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 112 II.4 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 113 II.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 114 II.6 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 115

III Généralités sur les développements limités . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 115

III.1 Définition, exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 115

III.2 Restriction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 117 III.3 Forme normalisée et partie principale . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 117

IV Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 119

IV.1 Somme de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 119 IV.2 Produit de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 119 IV.3 Composition de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 120 IV.4 Quotient de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 121 IV.5 Primitivation d"un DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 122

IV.6 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 123

V Développements asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 123

VI Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 126

VI.1 Courbes polynomiales asymptotes à une courbe . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 126

VI.2 Extréma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 126

VII Développements limités des fonctions usuelles . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

4Table des matières

15 Séries numériques129

I Notion de série et de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 129

I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 129

I.2 Propriétés liées à la convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 131

II Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 132

II.1 Comparaisons entre séries à termes positifs . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 132

II.2 Convergence absolue et semi-convergence . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 133 II.3 D"autres théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 134 II.4 Comparaison entre une série et une intégrale . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 135

II.5 Séries de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 135

II.6 Comparaison avec une série de Riemann . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 137

II.7 Comparaison avec une série géométrique . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 137

III Étude de la semi-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 138

III.1 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 138

III.2 Critère d"Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 138

IV Calcul de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 139

IV.1 Séries exponentielles et logarithmiques . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 139

IV.2 Séries géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 140

V Familles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 141

V.1 Problèmes de commutativité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 141 V.2 Familles sommables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 142

V.3 Associativité et théorème de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 144

16 Propriétés des fonctions continues ou dérivables sur un intervalle 147

I Fonctions continues sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 147

I.1 Fonctions continues et continues par morceaux . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 147

I.2 Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 148

I.3 Continuité uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 149 I.4 Extrema des fonctions continues sur un intervalle ferméborné . . . . . . . . . . . . 150 I.5 Autour des fonctions monotones - Théorème de la bijection . . . . . . . . . . . . . 151

II Fonctions dérivables sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 152

II.1 Théorème de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 152

II.2 Théorème des accroissements finis . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 153

II.3 Variations des fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 155

II.4 Limites de dérivées et prolongements de fonctions dérivables . . . . . . . . . . . . . 155

III Dérivabilités de fonctions deRdansC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

17 Intégration159

I Intégrale des fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 160

I.1 Notion de subdivision d"un intervalle . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 160 I.2 Fonctions en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 160 I.3 Intégrale d"une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 162

I.4 Propriétés des intégrales de fonctions en escalier . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 163

II Construction de l"intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 164

II.1 Fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 164

II.2 Exemples importants de fonctions intégrables . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 166

II.3 Propriétés de l"intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 167

II.4 Intégrales des fonctions continues par morceaux . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 168 II.5 Sommes de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 169 II.6 Extension des résultats aux fonctions à valeurs dansC. . . . . . . . . . . . . . . . 169

III Primitives et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 170

8

Dérivation de fonctions

Il faut entendre par dernier quotient des quantités évanouissantes le quotient qu"ont entre elles

ces quantités qui diminuent, non pas avant de s"évanouir, ni après qu"elles se sont évanouies,

mais au moment même où elles s"évanouissent. (Isaac Newton) Il faut donc " savoir calculer » avant que de prétendre accéderà l"Analyse moderne. (Jean Dieudonné)

Introduction

Note Historique 8.0.1

Longtemps, les mathématiques se sont développées au service des autres sciences; d"ailleurs, la séparation des

différentes sciences est tardive, et nombreux ont été les mathématiciens à avoir également été des physiciens de

renommée, comme Newton par exemple. Les mathématiques ont d"abord été vues comme un outil :

•au service de la mécanique et de l"ingéniérie (Archimède)

•au service de l"astronomie (géométrie grecque, Ptolémée, écoles indienne et arabe)

•au service de toute étude nécessitant d"être chiffrée pour obtenir des ordres de grandeurs.

Du dernier point découle l"importance du développement du calcul numérique (calcul approché, en opposition au

calcul algébrique). C"est ce point de vue qui est à la base desprocédés d"approximation (méthode de Newton

de recherche d"un zéro, méthodes approchées de calcul d"intégrales), aboutissant notamment à la notion de

convergence (qui donne la validité de l"approximation à l"infini)

Ainsi, l"utilisation de l"outil est souvent à la base de sa définition, et a souvent précédé sa théorisation : les

mathématiques ont évolué de façon empirique.

Dans ce chapitre nous donnons les outils permettant une étude efficace des fonctions. L"outil essentiel est

bien entendu la dérivation, que nous abordons ici d"un pointde vue essentiellement pratique : l"objectif

est de savoir dériver et étudier de façon efficace des fonctions explicites.

Nous commencerons par quelques rappels sur les limites, limites à gauche et limites à droite. Nous sup-

poserons connues les différentes opérations classiques surles limites, que nous établirons rigoureusement

plus tard : somme, produit, quotient.

Nous profitons également de ce chapitre pour introduire des notations et du vocabulaire adapté à l"étude

de la dérivabilité, et pour exposer sans démonstration quelques propriétés importantes des fonctions

continues et/ou dérivables, afin de disposer d"une boîte à outil assez complète pour pouvoir développer

par la suite des exemples intéressants sans avoir à attendred"avoir le bagage nécessaire à la démonstration

de ces résultats.

6CHAPITRE 8. DÉRIVATION DE FONCTIONS

I Rappels sur les limites

Dans tout ce paragraphe, on considère une fonction définie sur un sous-ensembleXdeR. On supposera

queXest un intervalle, ou une union finie d"intervalles, et on notera

Xl"intervalle (ou union d"intervalles)

fermé correspondant dans R(en incluant les bornes). On étudie la limite defen un pointadeX, c"est- à-dire en un point de son domaine ou une borne.

Remarque 8.1.1

Plus généralement, siXest un sous-ensemble quelconque deR, on peut considérer la limite en un point

ade l"adhérence XdeX, défini comme étant le plus petit fermé contenantX, ou de façon équivalent,

l"ensemble des pointsxpouvant être approchés d"aussi près qu"on veut par des points deX(i.e. tout

voisinage dexrencontreX).

Lorsquea?

X, on dira queaest adhérent àX.

I.1 Limites : point de vue métrique

Définition 8.1.2 (Limites en un point fini)

Soita?

X∩R.

•Soitb?R. On dit quef(x)tend versblorsquextend versasi : ?ε >0,?η >0,?x?X,|x-a|?η=? |f(x)-b|?ε. •On dit quef(x)tend vers+∞lorsquextend versa(ou bienfadmetbcomme limite ena) si : ?A?R,?η >0,?x?X,|x-a|?η=?f(x)?A. •On dit quef(x)tend vers-∞lorsquextend versasi : ?A?R,?η >0,?x?X,|x-a|?η=?f(x)?A. Décortiquons l"expression dans le cas d"une limite finie :

• ?ε >0: " Quelle que soit la marge d"erreurεqu"on se donne, aussi petite soit-elle ... »

• ?η >0: " ... il existe une petite boule de rayonηcentrée ena, quitte à prendreηtrès petit ... »

• ?x?X,|x-a|< η=?...: " ... tel que sixest à la fois dansXet dans cette boule ... » •...=? |f(x)-b|< ε: " alorsf(x)est proche àεprès deb. » Autrement dit : " Six?Xest suffisamment proche dea, alorsf(x)est aussi proche qu"on veut deb».

Remarques 8.1.3

1. L"hypothèsea?

Xest nécessaire pour pouvoir considérer des points aussi proches qu"on veut dea. On dira que la limite defest envisageable enasi cette hypothèse est satisfaite (sans considération d"existence ou non de la limite), et qu"elle ne l"est pas sia?? X.

2. Dans le cas fini, l"inégalité est d"autant plus contraignante queεest petit. On peut se contenter

d"étudier le cas de valeurs deεinférieures à une valeurε0donnée.

3. De même, dans le cas d"une limite+∞, la définition trouve sa pertinence lorsqueAdevient

grand (vers+∞) et dans le cas d"une limite-∞, lorsqueAdevient petit (vers-∞).

Proposition 8.1.4

On peut remplacer une ou plusieurs des inégalités larges|x-a|?εet|f(x)-b|?εpar des inégalités

strictes, cela donne une définition équivalente

I Rappels sur les limites7

?Éléments de preuve.Le quantificateur universel surεnous assure que l"on peut aussi remplacerεparε/2. On déduit alors

l"équivalence de la chaîne d"inclusions :

B(b,ε2)?B(b,ε)?B(b,ε)

et des inclusions similaires avecaetη

2(il sera alors peut-être nécessaire de considérer comme valeur

de sortie

2et nonη, ce qui nous donne aussi la validité de notre quantification existentielle).?

Proposition 8.1.5 (Limite en un point du domaine)

Sia?X, et sif(x)admet une limite ena, alors cette limite est nécessairement égale àf(a).

?Éléments de preuve.Si?est la limite defena. Puisquexvérifie toujours|x-x|?η, on doit avoir, pour toutε >0,

|f(x)-?|?ε.?

Nous voyons maintenant comment définir la limite d"une fonction en un point infini. La longueur de ces

définitions est due au nombre de cas à étudier. Dans toutes cesdéfinitions également, on peut remplacer

les inégalités larges par des inégalités strictes. La seuleinégalité qu"on n"a pas le droit de modifier est

ε >0.

Définition 8.1.6 (Limite en+∞)

On suppose que+∞est adhérent àX.

•Soitb?R. On dit quef(x)tend versblorsquextend vers+∞si : ?ε >0,?B?R,?x?X, x?B=? |f(x)-b|?ε. •On dit quef(x)tend vers+∞lorsquextend vers+∞si : ?A?R,?B?R,?x?X, x?B=?f(x)?A. •On dit quef(x)tend vers-∞lorsquextend vers+∞si : ?A?R,?B?R,?x?X, x?B=?f(x)?A.

Définition 8.1.7 (Limite en-∞)

On suppose que-∞est adhérent àX.

•Soitb?R. On dit quef(x)tend versblorsquextend vers-∞si : ?ε >0,?B?R,?x?X, x?-B=? |f(x)-b|?ε. •On dit quef(x)tend vers+∞lorsquextend vers-∞si : ?A?R,?B?R,?x?X, x?B=?f(x)?A. •On dit quef(x)tend vers-∞lorsquextend vers-∞si : ?A?R,?B?R,?x?X, x?B=?f(x)?A.

8CHAPITRE 8. DÉRIVATION DE FONCTIONS

Remarque 8.1.8

1. Lorsqu"on prendX=Neta= +∞, on trouve la définition de la limite des suites qui n"est

qu"un cas particulier de la définition générale : •un→??R?? ?ε >0,?N?N,?n?N,|un-?|< ε.

•un→.+∞ ?? ?A?R,?N?N,?n?N, un?A

2. Comme plus haut, les inégalités (saufε >0) peuvent être indifféremment strictes ou larges.

Comme on peut le constater, la distinction entre un point finiet les deux infinis, à faire à la source et

à l"arrivée, amène à distinguer 9 cas différents dans la définition des limites. Pour les études pratiques,

ce n"est pas gênant : il suffit de considérer le cas qui nous concerne. Pour des études plus théorique,

notamment pour établir des propriétés générales, il peut être plus commode d"avoir une description plus

uniforme, évitant d"avoir à distinguer entre un grand nombre de cas.

I.2 Limites : point de vue topologique

On peut donner une définition globale à l"aide de la notion de voisinage, qu"on a déjà rappelée ci-dessus.

Pourb?

R, on noteV(b)l"ensemble des voisinages deb.

quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50