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Représentation numérique
de l'informationSéquence 4 :
Nombres réels
Xavier OUVRARD
Lycée International Ferney-Voltaire
IREM de Lyon
Cours ISN 2012-13
Codage des nombres à virgule
Un nombre décimal est composé d'une partie
entière et d'une partie fractionnaire après la virgule.En base B, ce nombre X s'écrit :
(X)B = anan-1...a0,b1...bmIl se convertit en décimal en :
(X)10 = anBn+...+a0B0,b1B-1+...+bmB-m.Codage des nombres à virgule (2)
Exemples :
128,75 = 1 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100 + 7 x 10-1 + 5 x 10-2.
(101,01)2= 1 x 22 + 1 x 20 + 1 x 2-2 = 1 x 4 + 1 + 0,25 = 5,25 (AE,1F)16= 10 x 161 + 14 x 160+1 x 16-1+15 x 16-2 = 160 + 14 + 0,0625 + 0,5859375 = 174,12109375Conversion des nombres à virgule
en base B Cela n'est faisable le plus souvent que de manière approchée, il faudra donc donner la précision voulue. Pour la partie entière, on fait comme pour les entiersPour la partie décimale :
-On multiplie la partie entière par B -On note la partie entière obtenue -On recommence avec la partie décimale restante -On s'arrête quand la partie décimale est nulle ou quand la précision souhaitée est atteinte La partie décimale est la concaténation des parties entières obtenues dans l'ordre de leur calcul.Conversion des nombres à virgule
en base BExemple : conversion de 28,8625 en binaire -Conversion de 28 : (11100)2. -Conversion de 0,8625 :0,8625 x 2 = 1,725 = 1 + 0,725
0,725 x 2 = 1,45= 1 + 0,45
0,45 x 2 = 0,9= 0 + 0,9
0,9 x 2 = 1,8= 1 + 0,8
0,8 x 2 = 1,6= 1 + 0,6
0,6 x 2 = 1,2= 1 + 0,2
0,2 x 2 = 0,4= 0 + 0,4
0,4 x 2 = 0,8= 0 + 0,8 ...
28,8625 peut être représenté par (11100,11011100...)2
Conversion des nombres à virgule
en base B La représentation précédente ne permet pas de représenter des nombres très petitement proche de zéro ou très grands. Représentation en virgule fixePrincipe : on représente un réel par un nombre entier -Utilisation d'un facteur d'échelle F implicite -Représenter un nombre entier en base b : on sait faire Soit x un réel représenté par X, nombre entier en base b sur n chiffresX = (an-1...a0)B
x=X.b-F= (an-1...aF,aF-1...a0)bF chiffres
Représentation en virgule fixeEncore utilisé pour des raisons de rapidité, les opérations en virgule fixe étant des opérations entièresFacteur de mise à l'échelle est implicite :
-Suppose connaissance de l'ordre de grandeur des données par le développeur -Engendre des difficultés de développement Les nombres représentés ne doivent pas être d'ordres de grandeurs très différentsCodage des décimaux en virgule
flottanteUn nombre décimal X est représenté en base b par : (-1)s M x bE -s : signe du nombre -M : mantisse, écrite en virgule fixe en base b, sur p chiffres, de type x0x1...xi,xi+1..xp-1 où xi, pour i entre 0 et p-1, est entre 0 et b-1 -E : exposant Le nombre flottant X est alors dit de précision p.Codage des décimaux en virgule
flottantebE correspond au facteur de mise à l'échelle => il est expliciteLa représentation n'est pas unique.
Par exemple, avec b=10, et en précision 4, le
nombre 2,617 peut se présenter de différentes manières : -2617 x 10-3 -261,7 x 10-2 -26,17 x 10-1 -2,617 x 100 -,2617 x 101=> Nécessité de normaliser l'écriture pour qu'elle devienne unique => Rôle de la norme IEEE754, publiée en 1985 et révisée en 2008Codage en virgule flottanteLa norme IEEE 754-2008 définit 3 formats de base : -Simple précision (float en java) -Double précision (double en java) -Quadruple précision