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20 avr 2013 · Un espace vectoriel E est de dimension finie s'il admet une famille de n'importe quel espace usuel en base : on prend les vecteurs de la 

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Aspect algorithmique : on écrit la matrice formée des vecteurs colonnes, dans une base fixée de E, d'une famille génératrice de F auxquels on rajoute le vecteur 

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Dimension d"un espace vectoriel. Rang. Exemples et applications

pr´erequis: les notions de base sur les espaces vectoriels, matrices ´equivalentes, semblables.

Remarques d"ordre g´en´eral: il est clair qu"il faut commencer par un premier paragraphe

sur la th´eorie de la dimension : il faudra veiller `a le r´ediger avec soin afin de respecter un

ordre logique parmi les ´enonc´es. Parmi les passages oblig´es, il faut bien entendu donner des

exemples et des applications sur les applications lin´eaires. Il parait difficile de ne pas ´evoquer

la signature, la multiplicativit´e des degr´es dans les extensions de corps, la g´eom´etrie affine. Il

peut ˆetre int´eressant de se lancer sur les codes correcteurs d"erreurs.

Table des mati`eres

1. Th´eorie de la dimension................................................... 1

1.1. Familles libres, g´en´eratrices et bases.................................. 1

1.2. Th´eor`eme de la base incompl`ete...................................... 2

1.3. Sous espace vectoriel, espace quotient, dual........................... 2

1.4. Un mot sur la dimension infinie...................................... 3

2. Premiers exemples........................................................ 4

2.1. Noyaux emboit´es et invariants de similitude.......................... 4

2.2. Formes quadratiques.................................................. 6

2.3. Quelques sous-espaces de matrices.................................... 8

2.4. Trigonalisation simultan´ee............................................ 10

3. Applications.............................................................. 11

3.1. Polynˆomes de Lagrange............................................... 11

3.2. Algorithme de Berlekamp............................................. 12

3.3. Points de Gauss...................................................... 13

3.4. Codes correcteurs..................................................... 16

3.5. En analyse............................................................ 19

4. D´eveloppements........................................................... 19

5. Questions................................................................. 20

6. Solutions.................................................................. 20

R´ef´erences................................................................... 20

1. Th´eorie de la dimension

1.1. Familles libres, g´en´eratrices et bases. -

D´efinition 1.1. - Une famille{(ei)i?I}de vecteurs d"un espace vectorielEest ditlibresi pour tout famille (λi)i?I?K(I)`a support fini? i?Iλ iei= 0? ?i?I, λi= 0. Elle est diteg´en´eratricesi<{ei:i?I}>=E, i.e. si tout vecteur deEpeut s"´ecrire comme une combinaison lin´eaire `a support fini desei. Remarque :la famille (Xi)i?N?K[X] est libre et g´en´eratrice. En revanche elle n"est pas g´en´eratrice dansK[[X]]. 1

2Remarque :la famille (ei)i?Iest diteli´eesi elle n"est pas libre, i.e. s"il existe une famille

(λi)i?I?K(I)non nulle telle que? i?Iλiei= 0. D´efinition 1.2. - Une famille (ei)i?Ide vecteurs deEestune basesi elle est libre et g´en´eratrice.

1.2. Th´eor`eme de la base incompl`ete. -

Th´eor`eme 1.3. -Soient{f1,···,fp}une famille libre de vecteurs et{g1,···,gq}une fa-

mille g´en´eratrice deE. Il existe alors un entiern≥pet une base{e1,···,en}deEtelle que

e Remarque :ainsi tout espace contenant une famille g´en´eratrice finieadmet une base. Corollaire 1.4. -SoitEun espace vectoriel muni d"une base de cardinaln. Alors toute famille de cardinal strictement sup´erieur `anest li´ee. Remarque :on en d´eduit alors que le cardinal de toute base deEest toujours le mˆeme; on l"appellela dimensiondeE. Application: en g´eom´etrie affine, une droite (resp. un plan...) est un espace vectoriel de dimension 1 (resp. 2, ...) ayant perdu son origine.

1.3. Sous espace vectoriel, espace quotient, dual. -

Proposition 1.5. -Tout sous-espace vectorielFdeEest de dimension inf´erieure ou ´egale `a celle deEavec ´egalit´e si et seulement siF=E. D´efinition 1.6. - On appelle hyperplan d"un espace vectorielEde dimension finie, tout sous-espace de dimensionn-1. Remarque :en dimension infinie, un hyperplan est un sous-espace tel queE/Fest de dimen- sion 1. La dimension de l"espace quotientE/Fs"appellela codimensiondeFdansE. Remarque :la dimension deE×Fest le produit des dimensions deEetF. base. Proposition 1.7. -SoientEun espace vectoriel de dimension finie etFun sous-espace deE. AlorsFetE/Fsont de dimension finie etdimKE= dimKF+ dimKE/F. Application: soitu:E-→Fune application lin´eaire avecF(resp.E) de dimension finie. Alors Imu(resp. Keru) est de dimension finie appel´ee le rang deu. SiEetFsont de dimension finie alors rg(u) + dimKKer(u) = dimKE. Corollaire 1.8. -Les classes d"´equivalences desu:E-→Fsont param´etr´ees par le rang. Aspect algorithmique: le rang d"une famille donn´ee se calcule matriciellement en pivotant `a droite sur la matrice dont les vecteurs colonnes sont ceux dela famille ´ecrits dans une base fix´ee. Proposition 1.9. -SoientFetGdeux sous-espaces vectoriels d"un espace de dimension finieE. AlorsdimK(F+G) = dimKF+ dimKG-dimK(F∩G). 3 Application: deux droites distinctes du plan projectif s"intersectenttoujours en un point. Remarque :le produit tensoriel de deux espaces de dimension finie est dedimension finie ´egale au produit des dimensions. Corollaire 1.10. -Soientk?K?Eune extension de corps. Les degr´es sont reli´es par la formule[E:k] = [E:K].[K:k]. Lemme 1.11. -Un espace vectorielVsur un corps infinikn"est pas r´eunion finie de sous- espaces strictsV1,···,Vt. Preuve :C"est clair pourt= 1 et on suppose, par hypoth`ese de r´ecurrence, quet≥2 et le r´esultat ´etabli pourt-1. Ainsi il existeu,v?Vtels queu??Vtetv??V1? ··· ?Vt-1. Si on avaitV=V1? ··· ?Vtalorsv?Vtet comme l"ensemble desxλ:=u+λvpourλ?kest infini, il existeλ?=μtels quexλetxμappartiennent au mˆemeVj. On ne peut avoirj=tcar sinon on auraitu?Vt; doncj < tetVjcontientxλ-xμ= (λ-μ)vet doncvaussi ce qui n"est pas. Application au th´eor`eme de l"´el´ement primitif: il s"agit de montrer que siK/kest une

2) Supposons `a pr´esent quekest infini et notonsn= [K:k]. Pour Ω une clˆoture alg´ebrique

deK,K/k´etant s´eparable, il existe desk-isomorphismesK→Ω deux `a deux distincts

1,···,τnde sorte que pour tousi?=j, Ker(τi-τj) est un sous-espace strict deK. D"apr`es

le lemme il existex?Kn"appartenant `a aucun des Ker(τi-τj) de sorte que lesτi(x) sont deux `a deux distincts. Comme ce sont des racines dans Ω deμx,kde sorte que et doncK=k[x]. PourEde dimension finien, son espace dualE?= homK(E,K) est aussi de dimensionn.

Pour (ei)i=1,···,nune base deE, on peut d´efinir sa base duale (e?i)i=1,···,nd´efinie pare?j(ei) =

i,j. D´efinition 1.12. - SoitFun sous-espace vectoriel deEalorsF?={ψ?E?:?f?

F, ψ(f) = 0}.

Proposition 1.13. -SiFest de dimensionralorsF?est de dimensionn-r.

Aspect algorithmique: on ´ecrit la matrice form´ee des vecteurs colonnes, dans une base fix´ee

deE, d"une famille g´en´eratrice deFauxquels on rajoute le vecteur colonnet(x1,···,xn). On

pivote alors `a droite jusqu"a faire apparaitre les ´equations lin´eaires.

1.4. Un mot sur la dimension infinie. -

Proposition 1.14. -SoitEunK-espace vectoriel etV,W1,W2des sous-espaces tels que V∩W1={0}etV+W2=E. Il existe alors un suppl´ementaireWdeVcontenu dansW2et contenantW1. Preuve :Consid´erons l"ensembleEdes sous-espaces deEcontenantW1et contenus dansW2; En"est pas vide carW1? E. En outreEest partiellement ordonn´e par la relation d"inclusion et est inductif. Rappelons que cela signifie que toute chainetotalement ordonn´ee admet un

majorant : ici pour une telle chaine, un majorant est simplement donn´e par la r´eunion qui est

clairement un sous-espace. 4 D"apr`es le lemme de Zorn,Eadmet un ´el´ement maximal, notons leW. Par d´efinition on a doncW∩V={0}etW1?W?W2. Il reste alors `a prouver queV+W=E; tout ´el´ement x?Es"´ecritx=v+w2avecv?Vetw2?W2. Siw2?Walors c"est gagn´e, sinon on consid`ere le sous-espace engendr´eXparWetw2. Par maximalit´e deW,X? Ede sorte qu"il existe 0?=y?X∩V; ainsiy=w+λw2?Vet doncy?W∩Vce qui n"est pas. Remarque :le lecteur notera bien l"utilisation essentielle du lemme de Zorn qui rappelons le est ´equivalent `a l"axiome du choix. Ainsi notre preuve n"est pas du tout constructive. Corollaire 1.15. -Tout sous-espaceVdeEadmet un suppl´ementaire. Corollaire 1.16. -Tout espace vectoriel non nul admet une base. Preuve :Consid´erons l"ensembleAdes familles libres deE; c"est clairement un ensemble non vide, partiellement ordonn´e par l"inclusion et inductif.D"apr`es le lemme de Zorn, il poss`ede un ´el´ement maximal qui est donc une famille libre maximal c"est donc n´ecessairement une famille g´en´eratrice et donc une base. Remarque :le lecteur pourra s"exercer surKNen v´erifiant que toute base est n´ecessairement non d´enombrable. Corollaire 1.17. -(Th´eor`eme de la base incompl`ete) Soit(ei)i?Iune partie g´en´eratrice deE. SoitJ?Itel que(ei)i?Jest libre, il existe alors

J?K?Itel que(ei)i?Ksoit une base.

Preuve :On consid`ere l"ensembleAdes familles libres (ei)i?ApourA?I. C"est un ensemble non vide partiellement ordonn´e par l"inclusion et clairement inductif. D"apr`es le lemme de

Zorn,Aposs`ede une ´el´ement maximalK; comme pr´ec´edement (ei)i?Kest libre et g´en´eratrice

par maximalit´e deK. Remarque :citons enfin le cas des espaces de Hilbert, i.e. des espaces hermitiens, au sens du paragraphe sur l"alg`ebre bilin´eaire, qui sont complets,i.e. toutes les suites de Cauchy sont convergentes. D´efinition 1.18. - On dit que (ei)i?Iestune base de Hilbertd"un espace de HilbertHsi et seulement si : - c"est une base orthonorm´ee, i.e.< ei,ej>=δi,j; - la famille est compl`ete au sens que pour toutx?Hil existe (λi)i?Itelle que? i?Iλiei= x, i.e. la s´erie correspondante dansHest convergente de limitex. Remarque :le lecteur v´erifiera ais´ement qu"une base au sens de Hilbert n"est pas une base au sens classique, cf. par exemple les espacesL2.

2. Premiers exemples

2.1. Noyaux emboit´es et invariants de similitude. -SoientEunK-espace vectoriel

de dimension finienetu? L(E). Pour toutλ?Ketr≥1, on note K r(λ) := Ker(u-λId)retIr(λ) := Im(u-λId)r, et on notedKr(λ) := dimKKr(λ) etdIr(λ) := dimKIr(λ). On pose aussidK0(λ) = 0 et dI

0(λ) =n.

5 Proposition 2.1. -La suitedKr(λ)(resp.dIr(λ)) est tout d"abord strictement croissante (resp. d´ecroissante) puis stationnaire `a partir d"un indicer0(resp. le mˆeme indicer0). Par ailleurs la suite r(λ) :=dKr(λ)-dKr-1(λ) pourr≥1est d´ecroissante jusqu"au rangr0puis stationnaire ´egale `a0. Preuve :La croissance dedKr(λ) (resp. la d´ecroissance dedIr(λ)) est claire puisque K r-1(λ)?Kr(λ) (resp.Ir(λ)?Ir-1(λ)). Par ailleurs siKr(λ) =Kr+1(λ) alors pour x?Kr+2(λ) on au(x)?Kr+1(λ) =Kr(λ) et doncur+1(x) = 0 i.e.x?Kr+1(λ). Le th´eor`eme du rang donne enfin que l"indice o`udIr(λ) stationne est le mˆeme que celui de dK r(λ). On remarque ensuite queuinduit une injection K ce qui implique la d´ecroissance de la suiteδr(λ) jusque 0.

La suiteδr(λ) d´efinit une partition du sous-espace caract´eristiqueEλ(u) que l"on peut

repr´esenter sous la forme d"un tableau de Young. Ainsi pourλ= 0 etdr:=dKr(0 =, le tableau de Young associ´e `auest tel que ses colonnes sont de tailledi-di-1; ses lignes

d´efinissent alors une partition (n1≥n2≥ ··· ≥ns) den=n1+···+nsqui correspond `a la

forme de Jordan deu. d1d 2-d1 d

3-d2dr-dr-1n

1 n 2 n 3 n s e1e2e3e4e5e60 e

7e8e9e10e110

e

12e13e14e15e160

e

17e180

e 190
Figure 1.Tableau de Young associ´e `a un endomorphisme Une fa¸con de construire ce tableau de Young est la suivante :on prend un vecteure1de K r-Kr-1et on note pouri= 1,···,r-1,ei+1=ui(e1). Si dimKr/Kr-1>1 on choisit un vecteurer+1?Krtel que les images dee1,er+1dansNr/Nr-1soient libres et on pose pouri= 1,···,r-1,er+1+i=ui(er+1). On continue le proc´ed´e jusqu"a obtenir une base e

1,er+1,···,ekr+1deKr/Kr-1. On choisit alors un vecteure(k+1)r+1deKr-1tel que les

6images deu(e1),···,u(ekr+1),e(k+1)r+1forment une famille libre deKr-1/Kr-2et on pose

pour touti= 1,r-2,e(k+1)r+1+i=u(e(k+1)r+1). On continue ce proc´ed´e jusqu"`a ´epuiser tous lesKi. Parall`element on remplit le tableau de Young comme dans lafigure 1 dans laquelle l"image dee1est une base de Keru6/Keru5, les images deu(e1),e7,e12forment une base de Keru5/Keru4, les images deu4(e1),u3(e7),u3(e12),e17forment une base de Keru2/Keruet u

5(e1),u4(e7),u4(e12),u(e17),e19forment une base de Keru.

Remarque :dans la base construite pr´ec´edemment la matrice deuest diagonale par blocs, les blocs ´etant des matrices de Jordan de taillen1,···,ns. La structure deK[X]-module surE induite parudonne un isomorphismeE?K[X]/(Xn1)× ··· ×K[X]/(Xns).

Application:

-Deux matrices de permutationssont semblables si et seulement si les permutations associ´ees sont conjugu´ees (le faire avec la dimension desEσm. -Racines carr´ees: la r´eduite de Jordan deJnest diag(J?n/2?,J?n/2?), i.e. sinest pair (resp. impair) alors le tableau de Young deJ2nadmet deux lignes de mˆeme taillen/2 (resp. de taille (n+1)/2 et (n-1)/2). Ainsi l"´equation matricielleX2=Aa des solutions si et seulement si le tableau de Young deAv´erifie une des conditions ´equivalentes suivantes : - en regroupant les lignes deux par deux en partant du haut (avec la convention que la derni`ere ligne est nulle si dimN1est impaire), les lignes d"une mˆeme paire diff´erent d"au plus une case; - il n"y a pas deux colonnes cons´ecutives de mˆeme longueur impaire. -Dimension du commutant: il s"agit de d´eterminer le nombre de degr´e de libert´e dans le choix d"un op´erateurMqui commute avecA. On raisonne dans une base de Jorda- nisation deA. On rappelle que l"on a

KerA?KerA2?···?KerAr= KerAr+1.

On consid`ere une baseen,···,en-dr+1de KerAr-KerAr-1de cardinal la longueur d rde la derni`ere colonne du tableau de Young associ´e `aA. L"image de cette base est totalement libre ce qui donnedrndegr´e de libert´e; en contrepartie l"image desuk de ces vecteurs sont fix´es. Soit alorsr1maximal tel quedr1?=dr; on obtient alors d r1dimKerAr1nouveau degr´es de libert´e. On proc`ede ainsi de suite jusqu"`a ´epuiser tout l"espace. On v´erifie alors ais´ement qu"on obtient un nombre de degr´e de libert´e ´egal `a la somme des carr´es des longueurs des colonnes du tableau de Young. -Adh´erence des orbites: l"adh´erence de l"orbite d"un bloc de Jordan de taille maximale est l"ensemble des nilpotents. Plus g´en´eralement l"ordre de Chevalley sur les orbites

celui-ci correspond `a l"ordre habituel sur les tableaux deYoung, i.e. (n1≥n2≥ ···)≥

(m1≥m2≥ ···) si et seulement sin1≥m1,n1+n2≥m1+m2...

2.2. Formes quadratiques. -Rappelons qu"´etant donn´e un automorphismeσdu corps

K, par exemple la conjugaison complexe deC,une application semi-lin´eaireest une applica- tionθtelle que pour toutx,y?Eetλ?Kon a

θ(x+λy) =θ(x) +λσθ(y)

o`u par convention on noteλσpourσ(λ). D´efinition 2.2. - On appelleformeσ-sesquilin´eairetoute applicationφ:E×E→K v´erifiant les conditions suivantes : 7 - pour toutx?E, l"applicationφx:y?E?→φ(x,y) est lin´eaire; - pour touty?El"applicationφy:x?E?→φ(x,y) estσ-lin´eaire. Remarque :les notationsφxetφyne sont pas exemplaires, on veillera `a ne pas se m´elanger. D´efinition 2.3. - PourMune partie deE, on note M ?={y?E, φ(M,y) = 0},?M={x?E, φ(x,M) = 0}. On dit queM?(resp.?M) est l"orthogonal `a droite (resp. `a gauche) deM. Remarque :M?et?Msont clairement des sous-espaces deE. En outreE?= Kerφyet ?E= Kerφx. D´efinition 2.4. - On dit queφestnon d´eg´en´er´eesiE?={0}(resp.?E={0}. Le rang deAφest appel´ele rangdeφ, il est ´egal `a la codimension deE?et?E.

Remarque :pourMun sous-espace deEon a

dimM+ dimM?= dimE+ dim(M∩?E).

On a aussi que

?(M?) =M+?Eet donc pourφnon d´eg´en´er´ee on retrouve la propri´et´e habituelle ?(M?) =M. D´efinition 2.5. - Une formeσ-sesquilin´eaire est diter´eflexivesi pour toutx,y?E, φ(x,y) = 0 ´equivaut `aφ(y,x) = 0.. Elle est dite hermitienne (resp. antihermitienne) si

φ(x,y) =??

φ(y,x)?

σavec?= 1 (resp.?=-1).

Remarque :pour une forme hermitienne ou antihermitienne,σest n´ecessairement une invo-

lution; dans le cas antihermitien en caract´eristique diff´erente de 2, on a mˆemeσ= Id et on

dit simplement queφestanti-sym´etrique. On suppose `a pr´esent queφest une forme hermitienne ou antihermitienne, auquel cas la caract´eristique est en outre suppos´ee diff´erente de 2. D´efinitions 2.6. -- Un vecteurxdeEest ditisotropesiφ(x,x) = 0. - Un sous-espaceFdeEest ditisotropesiF∩F??={0}. - Un sous-espaceFdeEest dittotalement isotropeet on ´ecrits´eti, siF?F?. - Un s´eti est dit maximal et on ´ecrits´etim, si pour tout s´etiGcontenantFalorsG=F. Remarque :comme on est en dimension finie, tout s´eti est contenu dans uns´etim. Remarque :siFest non isotrope alorsE=F?F?; dans le cas o`uφest non d´eg´en´er´e c"est mˆeme une ´equivalence.

Proposition 2.7. -Siφest non d´eg´en´er´e il existe alors une d´ecomposition dite de Witt de

l"espaceE=F?F??GavecF,F?des s´etim etGun sous- espace non isotrope telle que la matrice deφdans une base adapt´ee soit de la forme((0Ir0 ?I r0 0

0 0B))

Remarque :sous-entendu dans l"´enonc´e pr´ec´edent est que toute less´etim ont la mˆeme dimen-

sion appel´eel"indicedeφ. Consid´erons `a pr´esent le cas o`uK=R. Dans ce casσ= Id et on parle alors de forme bilin´eaire sym´etrique et antisym´etrique.

8D´efinition 2.8. - Une forme bilin´eaire sym´etrique est dite :

- d´efinie positive (resp. d´efinie n´egative) si elle est positive (resp. n´egative) et que

φ(x,x) = 0 si et seulement sixest le vecteur nul.

Th´eor`eme 2.9. -(Loi d"inertie de Sylvester)

Soitφune forme bilin´eaire sym´etrique.

- Il existe alors une d´ecomposition

E=E??E+?E-

telle que la restriction deφ`aE+(resp.E-) est d´efinie positive (resp. d´efinie n´egative).

Une telle d´ecomposition n"est pas unique mais les dimensionssdeE+ettdeE-sont les mˆemes pour toute telle d´ecomposition et sont respectivement ´egale au maximum des dimensions des sous-espacesFdeEtels que la restriction deφy soit d´efinie positive (resp. n´egative). On dit que le couple(s,t)estla signaturedeφ.

φ(n?

i=1λ iei,n? j=1μ jej) =s? i=1λ iλiμi-s+t? i=s+1λ iμi. - Le rang deφest ´egal `as+tet son indice est ´egal `a(n-rgφ) + min{s,t}. Consid´erons `a pr´esent le casK=Cetσ´egal `a la conjugaison complexe. PourA?GLn(C), on noteA?pourt A. Notons en particulier que tout forme hermitienneφv´erifieφ(x,x)?R. on dit qu"elle est en outred´efiniesiφ(x,x) = 0?x= 0. Remarque :siEest muni d"une forme hermitienne d´efinie positive on dit queEestun espace hermitien.

Th´eor`eme 2.10. -Comme dans le cas r´eel,

- il existe une d´ecompositionE=E??E+?E-telle que la restriction deφ`aE+(resp. E -) est d´efinie positive (resp. n´egative). En outre la dimensionsdeE+ettdeE- sont ind´ependantes de cette d´ecomposition et le couple(s,t)s"appellela signaturedeφ. n? i=1λ iei,n? j=1μ jej? =s? i=1λ i

μi-s+t?

i=s+1λ iμi. - Le rang deφests+tet son indicen-(s+t) + min{s,t}.

2.3. Quelques sous-espaces de matrices. -Rappelons queL(E)?E?E?et est

donc de dimensionn2. On en d´eduit en particulier l"existence du polynˆome minimal d"un L"ensembleNdes matrices nilpotentes est un cˆone, i.e. siNest nilpotente alorstNaussi pour toutt?K. EvidemmentNn"est pas un espace vectoriel : par exempleA=?0 10 0? etB=?0 01 0? sont nilpotentes alors queA+B=?0 11 0? ne l"est pas. Proposition 2.11. -Le sous-espace vectoriel engendr´e par l"un des ensembles suivant 9 (a)N; (b) les matrices nilpotentes de rang1; (c) les matrices d"une classe de similitude quelconque de matrices nilpotentes, est l"hyperplan des matrices de trace nulle. Preuve :Dans les trois cas, l"inclusion est imm´ediate. On va montrer directement (b). Comme d"habitude cela repose sur un petit calcul en dimension 2, `a savoir :?1 00-1? est semblable `a ?0 11 0? en consid´erant la nouvelle basee1+e2ete1-e2. Soit alorsAune matrice de trace nulle; en ajoutant une combinaison lin´eaire de matrice nilpotente de rang 1, on se ram`ene `aAdiagonale diag(a1,···,ab) avec? iai= 0 que l"on ´ecrit sous la forme diag(a1,-a1,0,···,0) + diag(0,a2+a1,a3,···,an).

D"apr`es le calcul pr´ec´edent la premi`ere matrice est semblable `a une combinaison lin´eaire de

matrice nilpotentes de rang 1; la deuxi`eme aussi par hypoth`ese de r´ecurrence. (c) L"orbite d"une classe de similitude quelconque contient dans son adh´erence la classe de similitude des matrices nilpotentes de rang 1. On conclut alors d"apr`es (b). Proposition 2.12. -Tout hyperplanHdeM(n,C)contient au moinsn2-n-1matrices nilpotentes lin´eairement ind´ependantes. Preuve :On se ram`ene au cas o`uHa pour ´equationtr(TX) = 0 avecTtriangulaire et on consid`ere les intersections deHavec les sous-espaces des matrices nilpotentes triangulaires sup´erieures ou inf´erieures. Proposition 2.13. -Tout sous-R-espace vectoriel deNest de dimension inf´erieur `a n(n-1) 2. Preuve :On consid`ere la forme quadratiqueqd´efinie sur l"espace des matrices qui `aX

associe trX2. De mani`ere ´evidente le cˆone isotrope est constitu´e de vecteurs isotropes de

sorte que l"espace vectoriel en question sera totalement isotrope. Par ailleurs, siX?= 0 est sym´etrique (resp. antisym´etrique) alorsq(X)>0 (resp.q(X)<0) de sorte que la signature deqest (n(n+1)

2,n(n-1)2). Ainsi un sous-espace totalement isotrope est de dimension inf´erieure

ou ´egale `a n(n-1)

2. L"´egalit´e est clairement atteinte pour les matrices strictement triangulaires

sup´erieures. Remarque :´evidemment ce maximum est atteint pour les matrices strictement triangulaires sup´erieures.

Th´eor`eme 2.14. -(dit de Flanders)

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