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Problème : Construire des bases dans le cas des espaces vectoriels de dimension finie Définition : On dit qu'un espace vectoriel est de dimension finie si  

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un K-espace vectoriel de dimension finie 1) Il existe au moins une base B de E 2) Deux bases ont le même nombre d'éléments et ce nombre 

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de Rn en est une base 2 Rn[X] est une espace vectoriel de dimension n + 1 sur R et la base canonique 

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Soit un espace vectoriel sur ℝ et 1, 2, 3 et 4 une famille libre Déterminer une base de et en déduire la dimension de 2

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20 avr 2013 · Un espace vectoriel E est de dimension finie s'il admet une famille de n'importe quel espace usuel en base : on prend les vecteurs de la 

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Les éléments d'un espace vectoriel E sont appelés des vecteurs est qualifié de corps de base pour E 3 ESPACES VECTORIELS DE DIMENSION FINIE

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On appelle composantes du vecteur u dans la base b les uniques nombres u1, , un tels que : Algèbre linéaire : base dimension d'un espace vectoriel 4 2 Page  

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Définition 1 Si { v1, , vn} est une famille de vecteurs d'un espace vectoriel Ainsi l'espace vectoriel C2 sur C a pour base {(1, 0), (0, 1)} et sa dimension est

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Comme sous-espace vectoriel de R3, on a en dimension 0 : {0}, qui est l' ensemble des solutions de x = y = z =0; en dimension 1 : les droites passant par 0, qui 

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Aspect algorithmique : on écrit la matrice formée des vecteurs colonnes, dans une base fixée de E, d'une famille génératrice de F auxquels on rajoute le vecteur 

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Dimension des espaces vectoriels

()Dimension des espaces vectoriels1 / 36

1Familles libres, generatrices et bases

2Espaces vectoriels de dimension nie

3Sous-espaces vectoriel de dimension nie

4Applications lineaires en dimension nie

()Dimension des espaces vectoriels2 / 36 Dans tout le chapitre, on travaille dansR, mais on peut aussi travailler avecCRappelons qu'une famille (v1;v2;:::;vp) d'elements deEest appelee famille apelements, que lesvisoient distincts ou non. Dans une famille, l'ordre des elements compte. On va generaliser les notions de familles libres, generatrices et bases vues dansRn.()Dimension des espaces vectoriels3 / 36 Plan

1Familles libres, generatrices et bases

2Espaces vectoriels de dimension nie

3Sous-espaces vectoriel de dimension nie

4Applications lineaires en dimension nie

()Dimension des espaces vectoriels4 / 36

Familles libres ou liees

Denition

Soit(x1;x2;:::;xp)une famille nie de vecteurs de E.On dit que la famille(x1;x2;:::;xp)estlibresi et seulement si : Si il

existe1;:::;p2Rtels que

1x1++pxp= 0E

alors1==p= 0. Aucun vecteur de la famille n'est combinaison lineaire des autres (lorsque p>2). Dans ce cas, on dit que les vecteurs de la famille sontlineairement independants.On dit que la famille(x1;x2;:::;xp)estlieesi et seulement s'il existe des scalaires1;2;:::;p2Rqui ne sont pas tous nuls tels que

1x1++pxp= 0E

c'est-a-dire si, et seulement si l'un au moins des vecteurs de la famille est une combinaison lineaire des autres vecteurs de cette famille (lorsque p>2).()Dimension des espaces vectoriels5 / 36 Remarque:C'est exactement la m^eme denition (et les m^emes techniques) que dansRn. Exemple:1La famille (1;X;X2;:::;Xn) est une famille libre deR[X]. En eet pour tous0;1;:::;n2R, le polyn^omenP k=0 kXkest le polyn^ome

nul si, et seulement si, tous lesksont nuls.2Une famille qui contient deux vecteurs colineaires est liee. Par exemple

six1=kx2(ouk2K), alorsx1k:x2+ 0:x3++ 0:xn= 0E. La reciproque de ce resultat est fausse, il existe des familles liees qui ne contiennent pas de vecteurs colineaires. ()Dimension des espaces vectoriels6 / 36

Proposition

1Toute famille extraite d'une famille libre est libre.

2Toute famille contenant une famille liee est liee.

()Dimension des espaces vectoriels7 / 36

Demonstration.

1Soit (u1;u2;:::;un) une famille libre. On en extrait une famille, quitte

a changer l'ordre des vecteurs, on peut supposer qu'on extrait (u1;u2;:::;up) avecp6n. Montrons que cette famille extraite est libre.

Soient des scalaires1;:::;n2Ktels que1u1++pup= 0.

On rajoute a cette somme 0:up+1+ 0:up+2++ 0:un. On a alors .

1u1++pup+ 0:up+1+ 0:up+2++ 0:un= 0

La famille (u1;u2;:::;un) etant libre, tous les coecients de l'egalite sont nuls. Donc en particulier les1;:::;n. Donc la famille extraite est libre.2Soit une famille (u1;u2;:::;un) contenant une famille liee. Quitte a changer l'ordre des vecteurs, on peut supposer que la famille (u1;u2;:::;uk) est liee, aveck6n. Ainsi, il existe1;:::;knon tous nuls tels que1u1++kuk= 0. On rajoute a cette somme

0:uk+1++ 0:un. On a alors .

1u1++kuk+ 0:uk+1++ 0:un= 0

et les coecients de cette egalite ne sont pas tous nuls, puisque les

1;:::;kne sont pas tous nuls. Donc la famille (u1;u2;:::;un) est

liee. ()Dimension des espaces vectoriels8 / 36

Theoreme

SoitF= (v1;v2;:::;vp)une famille libre. Pour tout vecteur u2Vect(v1;v2;:::;vp), il existe un unique p-uplet de scalaires (1;:::;p)tels que u=1v1++pvp: Autrement dit pour tous scalaires1;:::;pet1;:::;p, p X i=1 ivi=pX i=1 ivi=) 8i2[[1;p]]; i=i: Cela signie que la decomposition de tout vecteur u2Vect(v1;v2;:::;vp) comme combinaison lineaire de la familleFest unique.()Dimension des espaces vectoriels9 / 36

Familles generatrices

Denition

En toute generalite : une famille(vi)i2I(nie ou non, I etant un ensemble d'indices) d'elements de E est dite generatrice de E si, et seulement si, tout element de E s'exprime comme une combinaison

lineaire d'un nombre ni d'elements de cette famille(vi)i2I.Dans le cas particulier d'une famille nie : Une famille(v1;v2;:::;vn)

de E est ditegeneratricede E si, et seulement si,

E= Vect(v1;v2;:::;vn)

autrement dit si, et seulement si, tout element de E s'ecrit comme une combinaison lineaire des elements v

1;v2;:::;vnou encore si, et

seulement si, on a :

8u2E;91;2;:::;n2R;u=nX

i=1 ivi:()Dimension des espaces vectoriels10 / 36 Remarque:Si une famille est generatrice deE, il en est de m^eme pour toutes les familles obtenues par permutation de ses elements. Exemple:1(1;i) est une famille generatrice deCen tant queR-espace vectoriel

car tout nombre complexezs'ecritz=a:1 +b:iaveca;b2R.2(1;X;X2;:::;Xn) est famille generatrice deRn[X] puisque tout

polyn^ome de degre inferieur ou egal ans'ecrit sous la forme n X k=0a kXkaveca0;:::;an2R:3La famille innie (Xi;i2N) est une famille generatrice deR[X] puisque tout polyn^ome est une combinaison lineaire d'un nombre ni de mon^omes. ()Dimension des espaces vectoriels11 / 36

Proposition

Toute famille contenant une famille generatrice de E est generatrice de E. ()Dimension des espaces vectoriels12 / 36 Bases

Denition

Une famille(e1;:::;en)de vecteurs de E est unebasede E si, seulement si, elle est libre et generatrice de E.Theoreme Une familleB= (e1;:::;en)est une base de E si, et seulement si, pour tout vecteur x2E, il existe un unique n-uplet(1;:::;n)2Rntel que x=nX k=1 kek: Le n-uplet de scalaires(1;:::;n)est appele le n-uplet de composantes ou de coordonnees de x dans la baseB.()Dimension des espaces vectoriels13 / 36

Exemple:

1(1;i) est une base duR-espace vectorielC. Les coordonnees d'un

nombre complexe dans la base (1;i) sont sa partie reelle et sa partie imaginaire.2Dans le plan, deux vecteurs non colineaires forment une base.

3Dans l'espace, trois vecteurs non coplanaires forment une base.

4La famille (1;X;:::;Xn) forme une base deRn[X]. Cette base est

appele base canonique deRn[X]. Les coordonnees du polyn^ome nP k=0a kXkdans la base canonique deRn[X] sont (a0;:::;an).()Dimension des espaces vectoriels14 / 36 Plan

1Familles libres, generatrices et bases

2Espaces vectoriels de dimension nie

3Sous-espaces vectoriel de dimension nie

4Applications lineaires en dimension nie

()Dimension des espaces vectoriels15 / 36

Denition et propriete fondamentale

Denition

On appelle espace vectoriel de dimension nie tout espace vectoriel E possedant une famille generatrice de E formee d'un nombre ni de vecteurs. Dans le cas contraire, on dit que E est n'est pas de dimension nie.Exemple:Rn,Rn[X] sont des espaces vectoriels de dimension nie,R[X] n'est pas de dimension nie. ()Dimension des espaces vectoriels16 / 36 Remarque:Le cardinal d'une famille nie de vecteurs deEest le nombre de vecteurs (distincts ou non) qui la composent.Proposition Dans un espace vectoriel E de dimension nie, le cardinal de toute famille libre est inferieur ou egal au cardinal de toute famille generatrice de E. ()Dimension des espaces vectoriels17 / 36

Existence d'une base- Dimension

Theoreme

Un espace vectoriel E de dimension nie possede au moins une base. Plus

precisement, toute famille generatrice nie de E contient une base de E.Demonstration.SoitF1= (e1;:::;en) une famille generatrice nie deE.

SiF1est libre, alors c'est une base deE, sinon, l'un des vecteurs de la famille est une combinaison lineaire des autres (supposons que ce soit le cas deen, quitte a changer la numerotation des vecteurs). Dans ce cas, F

2= (e1;:::;en1) est a nouveau une famille generatrice deEet l'on

peut recommencer la discussion initiee au debut de ce paragraphe. On continue ainsi a retirer des vecteurs tant que la familleFkest generatrice et apres un nombre ni d'etapes, la famille obtenue est libre, si bien que c'est une base deE.()Dimension des espaces vectoriels18 / 36

Denition

Soit E unRespace vectoriel non reduit au vecteur nul (E6=f0g). Si E est de dimension nie, alors toutes les bases de E ont le m^eme nombre n d'elements. Cet entier n est appele ladimensionde E surR.

On convient que l'espace vectorielf0gest de dimension nulle.Demonstration.SoitB1etB2deux bases deE. Notonsn1le nombre

d'elements deB1etn2le nombre d'elements deB2.CommeB1est libre et queB2est generatrice deE, on an16n2.CommeB2est libre et queB1est generatrice deE, on an26n1.

Finalement,n2=n1.()Dimension des espaces vectoriels19 / 36

Exemples:

1R nest un espace vectoriel de dimensionnsurRet la base canonique deRnen est une base.2R n[X] est une espace vectoriel de dimensionn+ 1 surRet la base canonique deRn[X] en est une base.3L'ensemble des solutions d'une equation dierentielle lineaire homogene d'ordre 2 a coecients constants forme un espace vectoriel de dimension 2. ()Dimension des espaces vectoriels20 / 36

Theoreme

Si E est un espace vectoriel de dimension n, alors :

1toute famille libre a au plus n elements. Si elle a exactement n

elements, c'est une base;2toute famille generatrice de E a au moins n elements. Si elle a exactement n elements, c'est une base. ()Dimension des espaces vectoriels21 / 36

Theoreme

Soit E un espace vectoriel de dimension nie.

Toute famille generatrice de E contient une base.

On a m^eme mieux : siGest une famille generatrice de E et siFest une famille libre de vecteurs deG, alors on peut completerFavec des

vecteurs deGpour obtenir une base de E.Toute famille libre peut ^etre completee en une base. (L99Theoreme

de la base incomplete)()Dimension des espaces vectoriels22 / 36 Plan

1Familles libres, generatrices et bases

2Espaces vectoriels de dimension nie

3Sous-espaces vectoriel de dimension nie

4Applications lineaires en dimension nie

()Dimension des espaces vectoriels23 / 36

Dimension d'un sous-espace vectoriel

Theoreme

Soit E unR-espace vectoriel de dimension nie. Tout sous-espace vectoriel

F de E est de dimension nie, et

dim(F)6dim(E): De plus sidim(F) = dim(E)alors F=E.()Dimension des espaces vectoriels24 / 36

Demonstration.Notonsnla dimension deE.

SiF=f0g, alorsFest de dimension 0.

Sinon, soitf1un vecteur non nul deF. SiFest engendre parf1, alorsF est de dimension 1 car (f1) est alors une base deF. Sinon, soitf2un vecteur deFnon colineaire af1de sorte que (f1;f2) est libre. Si (f1;f2) engendreF, alorsFest de dimension 2. Sinon, on continue ainsi a ajouter des vecteurs a notre famille libre, jusqu'a obtenir une famille libre (f1;:::;fp) pour laquelle (f1;:::;fp;x) est liee quel que soitxdansF. Un tel moment survient forcement, car une famille d'au moins (n+ 1) elements deF(donc deE) est liee. La famille libre (f1;:::;fp) est alors une base deF. DoncFest de dimension nie. Cette famille libre depelements deEse complete en une base deE d'apres le theoreme de la base incomplete. On en deduit : dim(F) =p6n= dim(E). Si dim(F) = dim(E), une base deFest une famille libre deEan elements : c'est aussi une base deEet doncF=E.()Dimension des espaces vectoriels25 / 36

Corollaire

Soit E un espace vectoriel de dimension nie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On a FG etdim(F) = dim(G) =)F=G:()Dimension des espaces vectoriels26 / 36

Sous-espaces supplementaires en dimension nie

Theoreme

Soit E un espace vectoriel de dimension nie et F un sous-espace vectoriel de E. Il existe alors dans E un sous-espace vectoriel G tel que F et G soient supplementaires.

On a de plus :dim(E) = dim(F) + dim(G).Remarque:Attention, il n'y a pas unicite du supplementaire d'un

sous-espace vectoriel. ()Dimension des espaces vectoriels27 / 36

Theoreme

Soit F et G deux sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E de

dimension nie n.1Si F et G sont supplementaires, alorsdim(E) = dim(F) + dim(G).2Si on a :dim(E) = dim(F) + dim(G)et F\G=f0g, alors F et G

sont supplementaires.3Si on a :dim(E) = dim(F) + dim(G)et F+G=E, alors F et G sont supplementaires. Dans tous les cas, on obtient une base de E en reunissant une base de F et une base de G. ()Dimension des espaces vectoriels28 / 36

Exercice 1

DansR3, on considereG=f(x;y;z)2R3tels quex+y+z= 0get

F= Vectf(1;1;1)g. Montrer que E et F sont supplementaires dansR3.()Dimension des espaces vectoriels29 / 36

Theoreme

Soit E un espace vectoriel de dimension nie et F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On a dim(F+G) = dim(F) + dim(G)dim(F\G):Demonstration.Il sut de completer une baseBdeF\Gen une base B FdeFet en une baseBGdeG. La reunion des vecteurs des basesBFet B G(ou l'on elimine les doublons : les vecteurs deB) forme une base de F+G. On compte alors les vecteurs des dierentes bases, et l'on obtient le resultat. ()Dimension des espaces vectoriels30 / 36 Plan

1Familles libres, generatrices et bases

2Espaces vectoriels de dimension nie

3Sous-espaces vectoriel de dimension nie

4Applications lineaires en dimension nie

()Dimension des espaces vectoriels31 / 36 Dans ce chapitre,EetFsont deuxR-espaces vectoriels, l'espaceEetant

suppose de dimension nie (Fpeut ne pas ^etre de dimension nie).()Dimension des espaces vectoriels32 / 36

Image d'une base

Theoreme

SoitB= (e1;:::;en)une base de E et(f1;:::;fn)une famille de vecteurs de F. Il existe une unique application lineaire u de E dans F telle que

8k2[[1;n]];u(ek) =fk:

Autrement dit une application lineaire est entierement caracterisee par l'image d'une base de l'espace vectoriel de depart. ()Dimension des espaces vectoriels33 / 36

Corollaire

SoitB= (e1;:::;en)une base de E et u et v deux applications lineaires de E dans F. Si l'on a :8k2[[1;n]];u(ek) =v(ek), alors les applications u et v sont egales (8x2E;u(x) =v(x)). Autrement dit, deux applications lineaires qui concident sur une base de E sont egales. ()Dimension des espaces vectoriels34 / 36

Theoreme (dit

du rang)Theoreme Soit E unR-espace vectoriel de dimension nie et F un espace vectoriel quelconque. Soit f une application lineaire de E dans F. On a :

dim(Ker(f)) + dim(Im(f)) = dim(E)Remarque:dim(Im(f)) est le rang def.()Dimension des espaces vectoriels35 / 36

Theoreme

Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension nie et f une application

lineaire de E vers F.1On a :dim(Im(f)) = dim(F)si et seulement si f est surjective.2Si les espaces E et F sont de m^eme dimension n, alors on a les

equivalences suivantes : f est un isomorphisme()dim(Im(f)) =n()dim(Ker(f)) = 0.()Dimension des espaces vectoriels36 / 36

Corollaire

Soit E et F deux espaces vectoriels dem^emedimension nie n et f une application lineaire de E vers F. On a les equivalences : f est bijective()f est injective()f est surjective.

En particulier, si f est injectiveousurjective, alors f est bijective.Remarque:Si on prendF=E(endomorphisme), alors ca marche aussi.

Ce resultat n'est pas vrai pour un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension qui n'est pas de dimension nie. ()Dimension des espaces vectoriels37 / 36

Par exemple, l'endomorphisme':R[X]!R[X]

P7!P0de l'espace vectoriel

R[X], qui n'est pas de dimension nie est surjectif (car pour tout polyn^omeQdeR[X], on peut trouver un polyn^omePtel queP0=Q), mais il n'est pas injectif (en eet, l'image par'de tout polyn^ome constant est le polyn^ome nul). ()Dimension des espaces vectoriels38 / 36quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21