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Chapitre3
Elementspourcomprendre
etecriredesdemonstrations n'estpastoujoursclairementpercue. quelquesconseilsderedaction. \Soit:::",\Considerons:::".
1.1.Regledel'hypotheseauxiliaire
\demontrer(P=)Q)". parlareglesuivante:
Pourdemontrer(P=)Q):
1)onajoutePauxdonnees.
2)ondemontrequeQestvraie.
Exemple
k
0=2k2.Doncn2estpair.
demontreQ,letroisiemeestlaconclusion.
1.2.Regleduquelquesoit
Pourdemontrer(8x2E;P(x)):
x2E;
2)ondemontrequeP(x)estvraie.
Exemple
Demonstration-Soitxunnombrereel.
x
2+x+1>3.
Onabienleresultat.
Q
1.3.Regledescas
demontreedelaforme(AouB).Pourcela:
1)onsupposeAvraieetondemontreP;
{30{
COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
ou(nonA)".
Exemple
Enonce-Soientx;y;desnombresreels,avec<0.
Montrerquel'onamax(x;y)=min(x;y).
max(x;y)=x.D'autrepart,onamin(x;y)=x.
Onadoncbienmax(x;y)=min(x;y).
max(x;y)=y.D'autrepart,onamin(x;y)=y.
Onadoncencoremax(x;y)=min(x;y).
Danslesdeuxcas,onal'egalitedemandee.
Laderniereligneestlaconclusion.
1.4.Nommerunobjet
n'apparaitpasdanslapropositionQ;
3)ondemontreQ.
Exemple
1=2a3=2:
d'ou1=2a3=2.Onabienleresultatdemande. {31{
1.5.Raisonnementparl'absurde
Principe-OnveutdemontrerP.Pourcela:
1)onajoute(nonP)auxdonnees;
Exemple
Onobtientunecontradiction.
pasderivableaupoint1.
1.6.Raisonnementparcontraposition
Elleluiestequivalente.
Exemple
doncbienleresultat.
1.7.Pourdemontreruneequivalence
Pourdemontrer(P()Q):
appeleelareciproquede(P=)Q)). contraposeede(Q=)P). {32{
COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
Exemple
Enonce-Montrerquepourtoutxreel,(p
2x2+2=3+x)estequivalenta
(x2f1;7g):
Demonstration-Soitxunreel.
Supposonsque(p
x
26x7=0.Onobtientdonc(x2f1;7g):
doncp
2x2+2=100,doncp
2x2+2=10,et3+x=10doncp2x2+2=3+x.
Onabiendemontrel'equivalencecherchee.
2x2+2=3+x)etQ(x)la
proposition(x2f1;7g): soit.Ensuite,ondemontre(Q(x)()P(x)). cas.
Autreexemple:
doncn2n'estpasdivisiblepar4. montre(nonP=)nonQ) 2 plusexplicite. sacontraposeequiest((nonQ)=)(nonP)). d'applicationn5pourunexemple).
1.8.Pourdemontrer(QouR)
simpledeprendrelanegationdeRquedeQ. {33{
Exemple
pair.Onadoncbiennimpairoun2pair.
1.9.Raisonnementparrecurrence
OnnoteNl'ensembledesentiersnaturels.
RECURRENCESIMPLE
laproprieteestvraieenn0,
RECURRENCEFORTE
sontveriees laproprieteestvraieenn0, k+1, metteenevidencequ'elledependd'unentier. decouvriraveclescasn=n0;n=n0+1,:::
SOMMEETPRODUIT
qX q X i=pf(i)=f(p)+f(p+1)++f(q1)+f(q): {34{
COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
q Y i=pf(i)leproduitdecesm^emestermes: q Y i=pf(i)=f(p)f(p+1)f(q1)f(q):
Remarques-qX
i=pf(i)=qX j=pf(j): nX i=1f(i)=n1X i=1f(i)+f(n):
Exemples-nX
i=11=n nY i=11=1 denidemanierecorrectepar pourqp=0qX i=pf(i)=f(p) siq>p>0q+1X i=pf(i)=qX i=pf(i)+f(q+1) S n=nX i=0(2i+1): demonstrationdecetteproposition. i=0(2i+1)=(n+1)2:
Pourkentiernaturel,notonsSnlasomme
S n=nX i=0(2i+1): procedeparrecurrencesurn.
MontronsqueP(0)estvraie.Pourn=0,ona:
S 0=0X i=0(2i+1)=1et(n+1)2=1:
DoncP(0)estvraie.
S k+1=k+1X i=0(2i+1)=Sk+(2k+3): {35{
Pourtrouverunedemonstration
Enutilisantl'hypothese,onobtient:
S k+1=(k+1)2+(2k+3)=k2+4k+4=(k+2)2:
DoncP(k+1)estvraie.
pourn0,n0+1;::: i=1i=n(n+1)=2: 2 )Demontrerlaformuledubin^ome: pourtouslescomplexesaetb,(a+b)n=nX i=0C inaibniavecCin=n! i!(ni)!
1.10.D'autresregles
mortel." generalementpeudefautes.
2.Pourtrouverunedemonstration
unequisoitbienadaptee. demontrerQ. x convenir. {36{
COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
\DemontronsmaintenantQ."
Exemple
Enonce-Montrerqu'ilexisteunreelxtelquep
x2x+9>px2+x+4). x2x+9=3etpx2+x+4=2.Or,3>2,donc0convient.
Autreexemple:
jyjjxjjxyj. jyjjxjjyxj.
Onabienleresultatcherche.
(y;x).
2.2.Onpeututiliserdesmoyensindirects.
forme(AouB). lavariablereelleetc.
Exemple
Enonce-Soitf:R+!R
R +aumoins. {37{
Quelquestypesdeproblemesaresoudre
Exemple
onax2+8>5x+4=x. x cequiestevident. =)Q(x)). 4
3.Quelquestypesdeproblemesaresoudre
3.1.Resultatssurlesensembles
Exemple
(AB=)EnBEnA):
ABmontrequex2B.Ilyacontradiction.
Doncx2EnA:
3.2.Enoncesd'analyse
{38{
COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
faitqu'unevariabledependd'uneautre.
Exemple
aussi. jf(x)jM0,doncjf(x)2jM20. evidemmentpasdutoutleresultatcherche.
3.3.Resolutiond'equations.
S 0S.
Exemple
Enonce-ResoudredansRl'equationx=p
x+2. onap touteslesdeuxpositives.DoncSf1;4g.
Synthese-Soitx=4;p
xaunsens,etpx+2=4=x,donc42S.
Soitx=1;onap
x+2=36=x.Donc1=2S.OnobtientdoncS=f4g.
Ilyauneetuneseulesolutionquiest4.
exe
3.4.Contre-exemples
Exemple-A-t-on(8x2R;p
x2x+9px2+x+4)? {39{
Quelquesconseils
doncp lesxquiverientp d'ecrire: \Soitxunreel.Si(p x2x+9px2+x+4,alorsona(x2x+9x2+x+4),donc
4.Quelquesconseilspourresoudreunprobleme
etecrireunedemonstration.
4.1.Pourbienlireletexte
ademontrer.
4.2.Pourchercherunesolution.
4.3.Pourredigerunedemonstration.
alors:::"). {40{
COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
positif". negatifounuluneautrefois. \onax>2;doncx26=1etdonc2x26=2:00 \x>2etx>2=)x26=1=)2x26=2:00 generalementfaux(lequel?): (x>2=)x26=1)=)2x26=2: symboles. {41{
Exercicesd'application
EXERCICESD'APPLICATION
Exercicen1
impair.Onproposelademonstrationsuivante: \Soitnunentiertelquen>3.
Supposonsnpair.
4)Quellesdonneesyutilise-t-on?
Exercicen2
estpositif.Onabienleresultatdemande."
Exercicen3
deE.Montrerque:AB=AC=)B=C".
Onproposeletexteincompletsuivant:
rendresastructureplusclaire:
2)Leshypotheses\nonvides"ont-ellesservi?
Exercicen4
x7!x2est-ellesurjective?"(pourla
Trouverlafautedansleraisonnementsuivant:
yetx=py;doncfestsurjective.
Exercicen5
Onproposeletextesuivant:
\Enonce- proportionnelssietseulementsiab0a0b=0. {42{
COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
Demonstration-
-sia06=0,k=a a0doncb=aa0b0etab0a0b=0. -sia0=0,alorsa=0etdoncaussiab0a0b=0.
Exercicen6
n X k=1k(k1)=n(n1)(n+1) 3
Exercicen7
Soientaetbdeuxreelstelsque(8"2R+;a Exercicen8
8(f;g)2FF;(fg=0=)(f=0oug=0))?
{43{ Indicationsetsolutionssommaires
INDICATIONSETSOLUTIONSSOMMAIRES
Exercicen1
1)L'enoncepeutsetraduirepar:
8n2fm2Njm>3g(npremier=)nimpair)
ouencorepar: 8n2N;(n>3=)(npremier=)nimpair))
tion(npremier=)nimpair); nombrepremiermontrequenn'estpaspremier." diviseurdierentde1etden"). Exercicen2
Unedemonstrationcorrecteserait:
-ilnegligedepreciserquiestx, enlaseconde, 8x2R+;((x+1=x)>2=)(x1)2>0).
Exercicen3
queBCetqueCB: Soitx2B.Onasoitx2A,soitx62A:
adoncmontrequeBC: OnendeduitqueB=C:
Exercicen4
{44{ COMPRENDREETECRIREDESDEMONSTRATIONS
surjectivitedefdesvaleursdey. Exercicen5
ouu0estnuletunel'estpas. k=a demonstrationdelareciproque. Unedemonstrationpourrait^etrelasuivante:
aegalementtoujoursab0a0b=0. que(a=ka0etb=kb0). ab 0ba0=0.Lorsquea06=0,onak0=a
a0etdoncb=k0b0=aa0b0etab0a0b=0. b0k,onaa=k0a0et b=k0b0.Danslecasoua06=0,onab=a a0b0.Posonsk0=aa0.Onaa=k0a0etb=k0b0. Danslesdeuxcas,uetu0sontproportionnels.
Finalement,onabienl'equivalenceannoncee.
Exercicen6
Suivrelamethodedonneedanslepolycopie.
Exercicen7
impossible.Doncab. Exercicen8
contre-exemple,caronafg=0,f6=0etg6=0. {45{quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
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