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Lycée Jean Bart - PCSI - Année 2013-2014 - 4 octobre 2013 Fiche méthode : injectivité, surjectivité, bijectivité SoientEetFdeux ensembles, etf:E-→Fune application.
Injectivité
au plus un antécédent parfdansE. distincts deEont des images distinctes parf. [finjective ]⇐⇒[∀(x;x′)∈E2; f(x) =f(x′) =⇒x=x′] ou : [finjective ]⇐⇒[∀(x;x′)∈E2; x̸=x′=⇒f(x)̸=f(x′)] une fonction): toute droite d"équationy=kaveck∈J coupe la courbe représentative defen au plus un point (0 ou1 donc).
f(x) =f(x′), et on essaye d"aboutir àx=x′. trouve un contre-exemple,iedeux éléments distincts deEqui ont la même image parf.Surjectivité
au moins un antécédent parfdansE. [fsurjective ]⇐⇒[∀y∈F;∃x∈E; f(x) =y] une fonction): toute droite d"équationy=kaveck∈J coupe la courbe représentative defen au moins un point (1 ou plusieurs donc). y∈Farbitraire, et on montre que l"équationf(x) =yadmet (au moins) une solution. trouve un contre-exemple,ieun élément deFqui n"a aucun antécédent parfdansE.Bijectivité
[fbijective ]⇐⇒[∀y∈F;∃!x∈E; f(x) =y] courbe représentative defen un unique point. applicationf:E-→F.âon montre quefest injective et surjective.
âon prendy∈Farbitraire, et on montre que l"équationf(x) =yadmet une unique solution. âon construit une applicationg:F-→Equi vérifieg◦f=idEetf◦g=idF.âavecf:I-→R(Iétant un intervalle) une fonction continue, on montre quefest strictement monotone; elle réalise
alors une bijection deIsurf(I). âavecf:E-→E, on montre quefest une involution (cas très rare). donc à l"un cas évoqués plus haut.quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19