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Quelques exemples de fonctions.

Exemple3.5.Est-ce que

F:N→N, F(m) =m(m+ 1)(m+ 5)3

est une fonction ? Car m(m+1)(m+5)3 semble être une fraction, et pas un nombre naturel. Nous allons donner unepreuve cas par casque l"énoncé "Sim?Nalorsm(m+1)(m+5)3 ?N" est vrai. Soitm?N. Il y a trois cas possible: existe un nombre naturelatel que (i)m= 3aou (ii) m= 3a+ 1ou (iii)m= 3a+ 2.

En cas (i): on a

F(m) =F(3a) =3a(3a+ 1)(3a+ 5)3

=a(3a+ 1)(3a+ 5)?N; en cas (ii) on a

F(m) =F(3a+ 1) =(3a+ 1)(3a+ 2)(3a+ 6)3

= (3a+ 1)(3a+ 2)(a+ 2)?N; et en cas (iii) on a

F(m) =F(3a+ 2) =(3a+ 2)(3a+ 3)(3a+ 7)3

= (3a+ 2)(a+ 1)(3a+ 7)?N.

Dans tous les casF(m)?N.

DoncF:N→Nest une fonction après tout.

Exemple3.6.SoitAun ensemble. Lafonction identitéest la fonction1A:A→Aoù 1

A(a) =a

pour chaquea?A. SoitA?Bun sous-ensemble. Lafonction inclusionest la fonctionι:A→B:

ι(a) =a

pour chaquea?A. Si A={a,1,♥,π,∅}, B={a,b,c,1,2,3,♥,♣,π,∅,} alors 1

A=?a1♥π∅

a1♥π∅? et

A=?a1♥π∅

a1♥π∅? La différence entre1Aetιest le codomaine (mais la portée et la formule sont les mêmes). 11 12

3.5.Injectivité, surjectivité et bijectivité.Une fonction peut avoir des propriétés. Les suiv-

antes sont les plus importantes. Définition 3.6.SoitF:A→Bune fonction. On dit que (i)Fest injective siF(a1) =F(a2)seulement sia1=a2. (ii)Fest surjective si chaque élément deBest l"image d"un élément deA. (iii)Fest bijective si chaque élément deBest l"image d"un seul élément deA. Conclusion:Fest bijective si et seulement siFest injective et surjective. Par exemple, la fonction inclusionιest injective, et la fonction identité1Aest bijective.

Proposition 3.2.Soit la fonctionF:A→Bdonnée par la notation "deux-lignes" (sans répétitions

dans la première ligne), disons F=?a

1a2a3... an

1f2f3... fn?

Alors la fonction est

(i) injective si et seulement si chaque élément deBse trouve au maximum une fois sur la2-ième

ligne; (ii) surjective si et seulement si chaque élément deBse trouve au minimum une fois sur la

2-ième ligne;

(iii) bijective si et seulement si chaque élément deBse trouve exactement une fois sur la2-ième

ligne. Proof.(i) Supposons que chaque élément deBse trouve au maximum une fois sur la deuxième ligne. Montrons par unepreuve directequeFest injective . Soientaeta?des éléments deAtels queb=F(a) =F(a?). Ces deux élémentsaeta?se trouvent sur la première ligne, c"est à dire ils existentietjtels quea=aieta?=ajet donc F(a) =F(ai) =fi,F(a?) =f(aj) =fj. Nous avons queb=fi=fj. Maisbse trouve au maximum une fois sur la2-ième ligne. Ça veut direi=jet donca=ai=aj=a?. Alors nous avons montré

queFest injective (si chaque élément deBse trouve au maximum une fois sur la deuxième ligne).

SupposonsFest injective. Nous allons montrer par unepreuve indirecteque chaque élément de Bse trouve au maximum une fois sur la deuxième ligne. Supposonsb?Bse trouve au moins deux fois sur la2-ième ligne, disons à positionsietj(i?=j). Doncb=fi=fj. Maisfi=F(ai)etfj=F(aj), alorsF(ai) =F(aj)etai?=aj. DoncFn"est pas injective. On conclut la preuve indirecte que siFest injective alors chaque élément deBse trouve au maximum une fois sur la deuxième ligne.

Ça finit la preuve de (i).

(ii) et (iii): exercices.

Exemple3.7.SoitA:={a,b,c}etB:={1,2,3,4}.

1:A→Bdéfinie parF1:=?a b c

3 2 1?

est injective, 13 F

2:B→Adéfinie parF2:=?1 2 3 4

a b c a? est surjective. Il n"existe pas de fonction deA dansBqui est surjective et il n"existe pas de fonction deBdansAqui est injective. Vous voyez pourquoi ?

Proposition 3.3.SoientAetBdeux ensembles finis.

(ii) Il existe une fonction surjectiveF:A→Bsi et seulement si|A| ≥ |B|. (iii) Il existe une fonction bijectiveF:A→Bsi et seulement si|A|=|B|.

Proof.Avant de commencer les preuves, fixons une suite ordonnéesans répétitionsdes éléments de

A, disons

A={a1,a2,...,an}

oùn=|A|. Il y a beaucoup de façons, mais fixons une manière. Et fixons aussi une suite ordonnée sans répétitions des éléments deB, disons

B={b1,b2,...,bm}

oùm=|B|. Montrons d"abord par unepreuve par l"absurdeque dans la suite ordonnée(F(a1),F(a2),...,F(an)) il n"y a pas de répétition. Sinon, il y ai?=jtels queF(ai) =F(aj). Par la définition d"injectivité il suit queai=aj.

Mais dans la suite choisie desak"s il n"y a pas de répétions. Donci=j. et au même tempsi?=j.

Ce qui est absurde. Donc en effet, dans la suite ordonnée(F(a1),F(a2),...,F(an))il n"y a pas de répétitions.

Il suit que le sous-ensemble

Im(F) ={F(a1),F(a2),...,F(an)} ?B

fonction injectiveF:A→B. Définition d"une telle fonction, à l"aide de nos deux suites ordonnées choisies :

F(ai) :=bi

F:=?a

1a2... an

1b2... bn?

F:A→B.

La preuve de (i) est complète.

(iii) Si on a montré (i) et (ii), alors (iii) en suit tout de suite. 14

La preuve de (ii) est une exercice.

Remarque.On dit que deux ensemblesAetBsont de mêmecardinalités"il existe une bijection de

AdansB, voir [R, p.71]. Par la proposition, si les deux ensembles sont finis, alors ils sont de même

cardinalité si et seilement si|A|=|B|. Si un ensembleAet l"ensembleNsont de même cardinalité on dit queAest dénombrable. L"ensemble des nombres entiers, l"ensemble des fractions et l"ensemble des nombres premiers sont tous dénombrable. Mais l"ensemble des nombre réels n"est pas dénombrable.

3.6.Composition de fonctions.

Définition 3.7.SoitF:A→BetG:B→Cdeux fonctions.

Alors la composition est la fonction

G◦F:A→C

définie par (G◦F)(a) =G(F(a)). Exemple3.8.SoitA={a,b,c},B={1,2,3,4},C=N. EtF:A→Bdonnée par

F:=?a b c

3 2 4?

G:B→Cdonnée par

G:=?1 2 3 4

13 23 33 4344?

AlorsG◦F:{a,b,c} →N:

G◦F=?a b c

33 23 4344?

Par exemple

(G◦F)(c) =G(F(c)) =G(4) = 4344. Exemple3.9.SoitF:N→N,F(n) =n2+ 1etG:N→N,G(n) =n3+n. AlorsF◦G:N→N etG◦F:N→Nsont données par: (F◦G)(n) =F(G(n)) =F(n3+n) = (n3+n)2+ 1 et G◦F(n) =G(F(n)) =G(n2+ 1) = (n2+ 1)3+ (n2+ 1). Exercice3.1.SoientF1:A→B,F2:B→CetF3:C→Dtrois fonctions. Montrer que F

3◦(F2◦F1) = (F3◦F2)◦F1comme fonctions deAdansD.

Remarque.SoitF:A→BetG:D→Cdeux fonctions etB?D. On peut quand-même définir

la composition, en utlisantι:B→D, comme la compositionG◦(ι◦F). Est-ce que ce qu"on

voudrait? 15

3.7.Fonction inverse.

Théorème 3.1.SoitF:A→Bune fonction. AlorsFest bijectivesi et seulement siil existe une fonctionG:B→Atelle queF◦G= 1BetG◦F= 1A. Dans cette situation cette fonctionGest unique, appelée lafonction inverseet notée

G=F-1.

En fait, parce queFest bijective, pour chaqueb?Bil existe un uniquea?Atel queF(a) =b. AlorsF-1(b) =a. Une fonction inverse existe seulement si la fonction est bijective. Proof.(SupposonsF:A→Best bijective. Définition d"une fonctionG:B→A: Soitb?B, il existe un uniquea?Atel queF(a) =b. PosonsG(b):=a. Pour chaquea?Aon a: (G◦F)(a) =G(F(a)) =G(b) =a.

DoncG◦F= 1A.Et pour chaqueb?B:

(F◦G)(b) =F(G(b)) =F(a) =b.

DoncF◦G= 1B.

De l"autre côté, supposons qu"il existe une fonctionG:B→Atelle queF◦G= 1BetG◦F= 1A.

Soitb?B. Définissonsa:=G(b)?A. Alors

F(a) =F(G(b)) = (F◦G)(b) = 1B(b) =b.

Doncaest un préimage debpourF. Nous avons montré queFest surjective.

Supposonsa1,a2?Atels queF(a1) =F(a2). Donc

1= 1A(a1) = (G◦F)(a1) =G(F(a1)) =G(F(a2)) = (G◦F)(a2) =a2.

DoncFest aussi injective. On conclut la preuve, car une fonction surjective et injective est automatiquement bijective. Preuve du commentaire après le théorème.SupposonsF:A→Best injective. SupposonsG: B→AetG?:B→Atelles queG◦F= 1Aet aussiG?◦F= 1A. Soitb?B. Parce queFest bijective il existe una?Atel queF(a) =b. Alors G(b) =G(F(a)) = (G◦F)(a) = 1A(a) = (G?◦F)(a) =G?(F(a)) =G?(b Donc pour chaqueb?Bon aG(b) =G?(b), c.-à-d.,G=G?. Exemple3.10.SoitR>0l"ensemble de nombres réels strictement positifs. L"applicationexp :R→R>0est bijectif. Sa fonction inverse estln :R>0→R. Nous donnons un exemple d"une fonction bijective un peu plus compliqué à comprendre, mais la preuve n"est pas difficile. Théorème 3.2.SoientAetBdeux ensembles non-vides. Supposonsn=|A|est fini. Il existe une fonction bijectiveφ:Fonctions(A,B)→Bn. Corollaire 3.1.SoientAetBdeux ensembles finis non-vides. Posonsn=|A|. On a |Fonctions(A,B)|=|Bn|. 16 Le corollaire est une conséquence directe du théorème et prop.3.3(iii).

Proof.Fixons une liste ordonnée des éléments deA, sans répétitions, disonsA={a1,a2,...,an}.

Posonsφ:Fonctions(A,B)→Bnpar

F=?a

1a2a3... an

1b2b3... bn??

:= (b1,b2,b3,...,bn)?Bn. φa la fonction inverseψ:Bn→Fonctions(A,B)

ψ((b1,b2,...,bn)) :=F=?a

1a2a3... an

1b2b3... bn?

4.Logique

Après cet introduction à la théorie des ensemble nous allons faire une introduction à la logique.

Mais nous allons aussi continuer de faire des constructions avec des ensembles !

Définition 4.1.

4Une"proposition (logique)"est un énoncé qui peut être vrai ou faux, mais non

les deux à la fois.

Un énoncé dans la vraie vie peut être vrai et faux au même temps: dans ce cas ce n"est pas

considéré comme une proposition logique.

Exemples:

•p1:="Toronto est la capitale du Canada" (faux) •p2:="le chat est un animal" (vrai) •p3:="1 + 1 = 3" (faux) •p4:="six?EetE?Falorsx?F" (vrai) •p5:="Chaque nombre natureln >2pair est la somme de deux nombres premier" (vrai ou faux, mais inconnu) On a le sentiment qu"on pourrait décomposerp4comme une combinaison d"autres propositions

plus simples. En effet, c"est le cas. Et aussi, qu"on pourrait combiner des propositions pour obtenir

des propositions plus compliquées. En effet.

Je répète: un énoncé est appelé une proposition logique, si cet énoncé peut être vrai ou faux.

Mais ce n"est pas nécessaire d"aussi connaître la réponse, lavérité de la proposition.

Le but des mathématiques (et les sciences) est de formuler des propositions logique et d"en décider

la vérité. Par exemplep5est vraie ou fausse mais on ne sais pas encore.

Plusieurs propositions ont été proposées dans les mathématiques, dont on ne connaît pas encore

la vérité. Si on a des raisons de croire qu"une proposition soit vraie, mais on ne peut pas le montrer

dit que c"est une conjecture. Par exemple, Goldbach

5semble avoir cru que la propositionp5soit

vraie. Conjecture 4.1(Goldbach).Chaque nombre natureln >2pair est la somme de deux nombres premier.4

Voir [R, p.2]

5Voir "Conjecture de Goldbach" dans wikipedia

Le but des mathématiques est à partir de quelqueshypothèsesde base, des propositions logiques

qu"on suppose vraie, de produire une longue liste de propositions logiques qui sontaussi vraies(et

espérons "intéressantes" pour nous). En ça en utilisant la logique et en construisant des ensembles.

L"hypothèse le plus important est que l"ensemble des entiersNavec ses propriétés élémentaires

EXISTE. On va discuter ses propriétés plus tard.

4.1.Les combinaisons simples logiques.Soientpetqdeux propositions logiques.

La proposition "pouq" est aussi une proposition logique, on écrit p?q, qui estpar définitionvraie sipest vraie ou siqest vraie (ou si tous les deux sont vraies). Et c"est fausse sinon (c.-à-d. sipetqsont fausses). Comme dans la vraie vie. (Parfois on dit la disjonction depet deq. Mais pas moi.)

Dans la vraie vie il y a deux "ou""s.

La proposition "pou-strictq" est aussi une proposition logique, on écrit p?q, qui estpar définitionvraie sipest vraie ou siqest vraie (mais pas si tous les deux sont vraies). Et c"est fausse sinon (c.-à-d. sipetqsont tous les deux fausse ou tous les deux vraies). (Parfois on dit la disjonction exclusive depet deq.) La proposition "petq" est aussi une proposition logique, on écrit p?q,

qui estpar définitionvraie sipest vraie et si aussiqest vraie. Et c"est fausse sinon (c.-à-d. sip

est fausse ou siqest fausse (ou tous les deux sont fausses)). (Parfois on dit la conjonction depet deq.)

La proposition "non-p" (ou "pas-p") est aussi une proposition logique (dite composée), on écrit

¬p,

qui estpar définitionvraie sipest fausse. Et c"est fausse sinon (c.-à-d. sipest vraie).

On dit aussi lanégationdep.

La proposition "sipalorsq", ou "pimpliqueq", on écrit p→q,

est aussi une proposition logique composée, qui estpar définitionvraie si (pest vraie etqest vraie)

ou (sipest fausse). Et c"est fausse sinon (c.-à-d. uniquement sipest vraie maisqest fausse). On ditpest l"hypothèse etqla conclusion de "l"implicationp→q" Dernière définition. La proposition "psi et seulement siq" , on écrit p↔q,

est aussi une proposition logique, qui estpar définitionvraie si (petqsont tous les deux vraies) ou

si (petqsont tous les deux fausses). Et c"est fausse sinon (c.-à-d. une des deux est vraie et l"autre est fausse). (On dit aussi "p biconditionnelleq".) 18 Remarque.Soientpetqdeux propositions logiques. Il faut bien comprendre:p→qest une proposition logique, qui peut être vraie ou faux. Qu"est-ce qu"on peut dire a propos de la vérité depetqsi on sait que l"implication p→q est vraie ? Il y a deux possibilités: soitpest fausse (etqn"importe: "je m"en fous"), soitpETqsont vraies. Le sense inverse aussi correct. Sip→qest fausse alors nécessairement:pest vraie etqest fausse. Il faut aussi bien comprendre quep↔qest soi-même une proposition logique, qui peut être vraie ou faux. Sip↔qest vraie: alors on a deux possibilités: (i)pETqsont vraies ou (ii)pET qsont fausses. Et sip↔qest faux alors (pest vraie ETqest fausse) ou (pest fausse ETqest vraie). Maintenant le jeu de la logique commence en combinant ces opérations simples. 19

Département de mathématiques et de statistique, Université de Montréal, C.P. 6128, succursale

Centre-ville, Montréal (Québec), Canada H3C 3J7

E-mail address:broera@DMS.UMontreal.CA

quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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Quelques exemples de fonctions.

Exemple3.5.Est-ce que

F:N→N, F(m) =m(m+ 1)(m+ 5)3

En cas (i): on a

F(m) =F(3a) =3a(3a+ 1)(3a+ 5)3

F(m) =F(3a+ 1) =(3a+ 1)(3a+ 2)(3a+ 6)3

F(m) =F(3a+ 2) =(3a+ 2)(3a+ 3)(3a+ 7)3

Dans tous les casF(m)?N.

DoncF:N→Nest une fonction après tout.

A(a) =a

ι(a) =a

A=?a1♥π∅

A=?a1♥π∅

3.5.Injectivité, surjectivité et bijectivité.Une fonction peut avoir des propriétés. Les suiv-

1a2a3... an

1f2f3... fn?

Alors la fonction est

2-ième ligne;

Ça finit la preuve de (i).

Exemple3.7.SoitA:={a,b,c}etB:={1,2,3,4}.

1:A→Bdéfinie parF1:=?a b c

3 2 1?

2:B→Adéfinie parF2:=?1 2 3 4

Proposition 3.3.SoientAetBdeux ensembles finis.

A, disons

A={a1,a2,...,an}

B={b1,b2,...,bm}

Il suit que le sous-ensemble

Im(F) ={F(a1),F(a2),...,F(an)} ?B

F(ai) :=bi

1a2... an

1b2... bn?

F:A→B.

La preuve de (i) est complète.

La preuve de (ii) est une exercice.

3.6.Composition de fonctions.

Alors la composition est la fonction

G◦F:A→C

F:=?a b c

3 2 4?

G:B→Cdonnée par

G:=?1 2 3 4

13 23 33 4344?

AlorsG◦F:{a,b,c} →N:

G◦F=?a b c

33 23 4344?

Par exemple

3◦(F2◦F1) = (F3◦F2)◦F1comme fonctions deAdansD.

3.7.Fonction inverse.

G=F-1.

DoncG◦F= 1A.Et pour chaqueb?B:

DoncF◦G= 1B.

Soitb?B. Définissonsa:=G(b)?A. Alors

F(a) =F(G(b)) = (F◦G)(b) = 1B(b) =b.

Supposonsa1,a2?Atels queF(a1) =F(a2). Donc

1= 1A(a1) = (G◦F)(a1) =G(F(a1)) =G(F(a2)) = (G◦F)(a2) =a2.

Posonsφ:Fonctions(A,B)→Bnpar

1a2a3... an

1b2b3... bn??

ψ((b1,b2,...,bn)) :=F=?a

1a2a3... an

1b2b3... bn?

4.Logique

Définition 4.1.

4Une"proposition (logique)"est un énoncé qui peut être vrai ou faux, mais non

Exemples:

5semble avoir cru que la propositionp5soit

Voir [R, p.2]

5Voir "Conjecture de Goldbach" dans wikipedia

4.1.Les combinaisons simples logiques.Soientpetqdeux propositions logiques.

Dans la vraie vie il y a deux "ou""s.

¬p,

On dit aussi lanégationdep.

E-mail address:broera@DMS.UMontreal.CA