Injectivité Une fonction f : X → Y est dite injective si elle satisfait ∀x1,x2 Montrer que f est bijective si et seulement s'il existe une fonction h : Y → X telle que
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Montrer que f est injective et que g l'est aussi si f est surjective 2 Soit x, x/ ∈ E Si f(x) = f(x/), alors, en appliquant la fonction g, on obtient g(f(x)) = g(f(x/)), c'est
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Injectivité, surjectivité et bijectivité
Définitions
InjectivitéUne fonctionf:X→Yest diteinjectivesi elle satisfait ?x1,x2?X,(f(x1) =f(x2)?x1=x2). Ce lasignifie que que lquesoit y?Y, l"équationf(x) =yaau plusune solutionx?X. En terme de graphe, dans le cas ou X,Y?R,toutedroite horizontale d"équationy=y0, avecy0?Y, coupeau plusune fois le graphe def. Si on p enseà fcomme une opération qui transformexenf(x), l"injectivité s"interprète comme le fait de pouvoir revenir en arrière (c"est-à-dire qu"on peut déduirexà partir def(x)).L"inje ctivités"in terprètecomme le fa itque l"ensem bled"arriv éep ossèdeau moins autan t
d"éléments que l"ensemble d"arrivée. SurjectivitéUne fonctionf:X→Yest ditesurjectivesi elle satisfait ?y?Y,?x?X:f(x) =y. Ce lasignifie que que lquesoit y?Y, l"équationf(x) =yaau moinsune solutionx?X. En terme de graphe, dans le cas ou X,Y?R,toutedroite horizontale d"équationy=y0, avecy0?Y, coupeau moinsune fois le graphe def. Si on p enseà fcomme un opération qui transformexenf(x), la surjectivité signifie qu"on peut obtenir n"importe quely?Ygrâce à l"opérationf.La surjectivité s"in terprètecomme le fait que l"ensem blede départ co ntientau moins autan t
d"éléments que l"ensemble d"arrivée.Attention!La surjectivité n"est pas la négation de l"injectivité. Il existe des fonctions qui
peuvent être injective et surjective, ni injective ni surjective, ou seulement l"un des deux.Bijectivité et inverseUne fonctionf:X→Yest ditebijectivelorsqu"elle est à la fois injective
et bijective, ce qui donne sous forme de proposition ?y?Y,?!x?X:f(x) =y. Ce lasignifie que quelque soit y?Y, l"équationf(x) =yaexactementune solution x?X, que l"on notef-1(y). Ceci définit une fonctionf-1:Y→Xappeléeinverseou réciproquedef. En terme de graphe, dans le cas ou X,Y?R,toutedroite horizontale d"équationy=y0, avecy0?Y, coupeexactementune fois le graphe def.La bijectivité s"in terprètecomme le fait que les ensem blesde départ et d"arriv éecon tiennent
autant d"éléments. 1Sur les graphes suivants, l"axe des abscisses est restreint au domaine de définition de la fonction
représentée, et celui des ordonnées est restreint au domaine d"arrivée.Exemple
Considérons la fonctionf: [-1,1]→[-0.6,1.4]définie parf(x) =x2.Figure1 - La fonction carré de[-1,1]dans[-0.6,1.4]
La fonction n"est pas injective carf(-1) =f(1) = 1, c"est-à-dire que la droite d"équationy= 1 est une droite horizontale qui coupe le graphe defen deux pointsdistincts:(-1,1)et(1,1). En restreignant le domaine à[0,1], aucune droite horizontale ne coupe le graphe plus d"une fois; la fonction est à présent injective.Figure2 - La fonction carré de[0,1]dans[-0.6,1.4] 2 RemarqueUne fonction réelle continue est injective si et seulement si elle est strictement monotone.La fonction est à présent injective, mais pas surjective : il existe au moins une droite horizontale
(par exempley=-1) qui ne coupe pas le graphe def. On restreint alors l"ensemble d"arrivée à[0,1]:Figure3 - La fonction carré de[0,1]dans[0,1]