[PDF] bijection réciproque exercices corrigés
[PDF] montrer que f réalise une bijection
[PDF] baguier virtuel sans imprimer
[PDF] baguier gratuit
[PDF] controle francais 4eme poesie lyrique
[PDF] évaluation français entrée 4ème collège
[PDF] bilan exemple
[PDF] bilan définition
[PDF] le bilan comptable cours
[PDF] bilan ulis
[PDF] rapport d'activité ulis
[PDF] comment rédiger un bilan pédagogique
[PDF] rapport d'activité ulis collège
[PDF] comment faire un bilan pédagogique
[PDF] modèle de bilan pédagogique
Aujourd"hui nous allons discuter :
•Injectif, surjectif, bijectif. •Une preuve cas-par-cas. •Fonction inverse existe ssi fonction est bijective. •Un exemple qui suggère une proposition générale,( avec preuve générale
MAT15001 of 31
TP : Un troisième TP-ist a été trouvé hier. Section A : A-Dep, Philippe Robitaille-Grou, B-3240, Pav. 3200
J.-Brillant;
Section B : Der-Ly , B-4270 , François Bérubé, Pav. 3200
J.-Brillant;
Section C : Ma-Zz, Samy Nefkha-Bahri, B-4250, Pav. 3200
J.-Brillant.
Les démonstrateurs vont choisir avec vous leur période de disponiblité.
MAT15002 of 31
Rapper
SoitF:A→Bune fonction.
(Alors pour chaquea?Ail existe un (unique)b?Btel que
F(a) =b.)
On dit queFestsurjective s i
l"image deFest égale au codomaine.
C-à-d. si
"pour chaqueb?Bil existeau moins un a?Atel queF(a) =b" (est vrai).
MAT15003 of 31
SoitF:A→Bune fonction.
On dit queFestinjective si
"pour chaqueb?Bil existeau maximum un seul a?Atel que
F(a) =b"
(est vrai).
On dit queFestbijective s i
"pour chaqueb?Bil existeexactemen tun a?Atel que
F(a) =b"
(est vrai).
MAT15004 of 31
Dire queFest bijectiveest la même chose que dire Fest injective et surjective simultanément. Surtout la notion de "fonction bijective" (ou plus court "bijection") est très importante!!!!
MAT15005 of 31
Injective : si chaqueb?Best l"image d"au maximum un seul
élément deA.
Autres versions :
Injective : si et seulement si "a,a??A,F(a) =F(a?)implique nécessairement quea=a?" (est vraie). Injective : si et seulement si "a,a??Adifférents implique toujours queF(a)etF(a?)sont aussi différents " (est vraie).MAT15006 of 31 Pour une fonction donnée ce n"estpas toujours facile à vérifier si cette fonction est injective (surjective, bijective). C"est donc normal si vous ne voyez pas tout de suite si une fonction est injective (surjective, bijective). Mais les définitions soi-mêmes ne sont pas difficiles. Quand-même, souvent les étudiants digèrent mal ses définitions?!
MAT15007 of 31
SoitF:A→Bdonnée par la notation"pa r-deux-lignes"(sans répétitions dans la première ligne). Comment vérifier siF:A→Best (i) injective, (ii) surjective (iii) bijective?
Dans ce cas c"est facile!
MAT15008 of 31
Réponses :
(i) Injective si (et seulement si) chaque élément deBse trouve au maximum un efois sur la 2-ième ligne (il n"y a pas de répétitions sur la 2-ième ligne); (ii) Surjective si (et seulement si) chaque élément deBse trouve au minimum une fois sur la 2-ième ligne ; (iii) Bijective si (et seulement si) chaque élément deBse trouve exactement une f oissur la 2-ième ligne.
MAT15009 of 31
Indices de preuves.
On a vu que les éléments deBdans la 2-ième ligne sont les images, alors forme l"image deF. Injective si et seulement si chaqueb?Best l"image d"au maximum un seul élément deAsi et seulement si chaqueb?Bse trouve au maximum une fois sur la 2-ième ligne. Surjective si et seulement si Codomaine=Portéé si et seulement si chaque élément deBse trouve auminimum une fois sur la 2-ième ligne
Bijective ...
MAT150010 of 31
Une preuve cas-par-cas
Revenons à un exemple d"hier (pour illustrer un type de preuve cas-par-cas).
La formule
F:N→N,F(m) =m(m+1)(m+5)3
définit une fonction! (Malgré que la partie droite semble être seulement une fraction.)
MAT150011 of 31
Preuve : Soitm?N.
Préparation :
Il existe un nombre naturela?Ntel que
(i)m=3aou (ii)m=3a+1ou (iii) m=3a+2. Parce que si on fait une longue division par 3 on obtient un reste 0,
1 ou 2!
On va raisonner cas-par-cas.
MAT150012 of 31
En cas(i) : on a
F(m) =F(3a) =3a(3a+1)(3a+5)3
=a(3a+1)(3a+5)?N;
En cas
(ii) on a F(m) =F(3a+1) = (3a+1)(3a+2)(3a+6)3 = (3a+1)(3a+2)(a+2)?N;
En cas
(iii) on a F(m) =F(3a+2) = (3a+2)(3a+3)(3a+7)3 = (3a+2)(a+1)(3a+7)?N;
Dans tous les casF(m)?N.
Conclusion
: F:N→Nest une fonction.MAT150013 of 31
F:N→N,F(m) =m(m+1)(m+5)3
est une fonction.
Surjective? Non, parce que ...
Injective? Oui, parce que (par les méthode de calculus) ....
MAT150014 of 31
Un théorème...
Théorème
Soit F:A→B une fonction.
La fonction F est bijective
si et seulement si (ou "c" estla même c hoseque") il existe une fonction G:B→A telle que
F◦G=1BetG ◦F=1A.MAT150015 of 31
Remarque :
Dans cette situation cette fonctionGestunique , appelée la "fonction inverse deF", et notée
G=F-1.
Dans ce cas, siF-1(b) ={a}(ensemble pré-image), alors F -1(b) =a(fonction inverse).Même notation ! Une fonction inverse deFexiste si et seulement siFest bijective.MAT150016 of 31
Démonstration.
(i)
Supp osonsF:A→Best bijective.
Définition d"une fonctionG:B→A: Soitb?B, il existe un uniquea?Atel queF(a) =b(carFest bijective). PosonsG(b):= a. On a ainsi défini une fonction.
Pour chaquea?Aon a :
(G◦F)(a) =G(F(a)) =G(b) =a.
DoncG◦F=1A.
Et pour chaqueb?B:
(F◦G)(b) =F(G(b)) =F(a) =b.
DoncF◦G=1B.MAT150017 of 31
Démonstration.
(ii) De l"autre côté, supp osons qu"il existe une fonction G:B→A telle queF◦G=1BetG◦F=1A.
Soitb?B. Définissonsa:=G(b)?A. Alors
F(a) =F(G(b)) = (F◦G)(b) =1B(b) =b.
Doncaest un préimage debpourF. Nous avons montré queF est surjective
Supposonsa1,a2?Atels queF(a1) =F(a2). Donc
a
1=1A(a1) = (G◦F)(a1) =G(F(a1)) =G(F(a2)) = (G◦F)(a2) =a2.
DoncFest aussiinjective .
On conclut la preuve, car une fonction surjective et injective est automatiquement bijective.
MAT150018 of 31
Preuve du commentaire après le théorème.
Nous montrons un peu plus :
SupposonsF:A→Best bijective (ou seulement surjective). SupposonsG:B→AetG?:B→Atelles queG◦F=G?◦F (dans notre cas=1A). Soitb?B. Parce queFest surjective il existe una?Atel que
F(a) =b.
Alors G(b) =G(F(a)) = (G◦F)(a) = (G?◦F)(a) =G?(F(a)) =G?(b)
Donc pour chaqueb?Bon aG(b) =G?(b), c.-à-d.,
G=G?
Ainsi une telle fonction inverse est
uniq ue
MAT150019 of 31
Exercice
Supposons F:A→B est injective.
Supposons G:B→A et G?:B→A telles que F◦G=F◦G?.
Montrer que dans ce cas : G=G?.MAT150020 of 31
Exemple de fonction inverse.
SoitA={a,b,c,d}etB={1,2,3,4}et
F=?a b c d
4 2 3 1?
AlorsFet injective, surjective et bijective....
La fonction inverseF-1:B→Aest
F -1=?4 2 3 1 a b c d? =?1 2 3 4 d b c a?
On change simplement les deux lignes
!Comp ris?
MAT150021 of 31
Un exemple motivant une proposition.
SoitA:={a,b,c}etB:={1,2,3,4}.
F
1:A→Bdéfinie parF1:=?a b c
1 2 3?
est injective F
2:B→Adéfinie parF2:=?1 2 3 4
a b c a? est surjective
Il n"existe pas
une fonction de AdansBqui est surjective.
Pourquoi?
Il n"existe pas
quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
[PDF] Étudier si une application est injective - Base RAISonnée d