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Chapitre 7 : Int´egrales g´en´eralis´ees
1 Introduction
Nous avons pour le moment consid´er´e l"int´egration de fonctions continues par morceaux sur un intervalle [a,b] compact. Or il existe des applications faisant intervenirdes int´egrales sur des segments non compacts ou bien sur des fonctions non continues par morceaux sur [a,b], comme par exemple 0 e-xdx? 1 0 lnxdx? -∞sinx x... On parlera d"int´egrale g´en´eralis´eeou bien d"int´egrale impropre. D´efinition 7.1.Soita < bdes bornes dansR? {+∞}(resp.R? {-∞}) et soitfune fonction continue par morceaux sur[a,b[(resp.]a,b]). On dit quefest int´egrable sur[a,b[ (resp.]a,b]) si la limite limξ→b?
a f(x)dx? resp.limξ→a? b f(x)dx? existe et est finie. On dit aussi que l"int´egrale g´en´eralis´ee ?b af(x)dxest convergente et on note cette limite?b a f(x)dx . Si l"int´egrale n"est pas convergente, on dira qu"elle est divergente. Ce statut est appel´e nature de l"int´egrale.Par d´efinition, on a la proposition suivante.
Proposition 7.2.Soita < bdes bornes dans
R=R? {±∞}et soitfune fonction
continue sur[a,b[qui admetFcomme primitive. Alors?b af(x)dxest convergente si et seulement siFadmet une limite enbet alors?b a f(x)dx= limξ→bF(ξ)-F(a) := [F(x)]ba o`u le dernier terme est une notation par convention.Le cas]a,b]est sym´etrique.
57Int´egrales g´en´eralis´ees
On notera que ces d´efinitions sont coh´erentes : sifest continue par morceaux sur [a,b] compact, alors elle est int´egrable sur [a,b] mais aussi sur [a,b[ et ]a,b]. On peut ´etendre ce principe `a une situation qui a plusieursprobl`emes.D´efinition 7.3.Soita < bdes bornes dans
R=R? {±∞}et soit
a=x1< x2< x3< ... < xp=b . Soitfune fonction continue par morceaux sur chacun des intervalles]xi,xi+1[. On dit quefest int´egrable sur]a,b[sifest int´egrable au sens g´en´eralis´e sur chaque intervalle]xi,mi]
et[mi,xi+1[avecmi?]xi,xi+1[. On notera alors?b af(x)dxla somme de chaque int´egrale g´en´eralis´ee obtenue, conform´ement `a la relation de Chasles. !Comme pour l"´etude des s´eries, il ne faut pas confondre l"objet int´egrale g´en´eralis´ee?b af(x)dxqui pourra avoir le statut de la convergence ou de la divergence et le nombre?b af(x)dxqui n"existe que si l"int´egrale converge. Le probl`eme est qu"il n"y a pas de notation diff´erente cette fois-ci et c"est donc le contexte qui d´ecidera. Quand on demande la nature d"une int´egrale comme I=? 0e -x x-1lnxdx il faut commencer par rep´erer chacun des probl`emes : soit une borne infinie soit un endroit o`u la fonction n"est pas continue par morceaux (typiquement explosion vers±∞). PourI, il y a trois soucis : 0 (explosion du log), 1 (division par 0) et+∞(borne infinie). Puis on ´etudie la convergence `a chacun des points qui pose probl`eme. Si on trouve le moindre cas dedivergence `a un de ces points, on s"arrˆete car alors l"int´egrale est divergente. Si l"int´egrale
converge en tous ces points, alors on conclut que l"int´egrale est convergente.Exemple :On voudrait consid´erer?∞
0e-xdx. Le seul probl`eme est la borne infinie car
x?→e-xest continue sur [0,+∞[. On calcule donc 0 e-xdx= [-e-x]ξ0= 1-e-ξdont la limiteξ→+∞converge et est finie. Donc l"int´egrale g´en´eralis´ee?∞
0e-xdxconverge
et 0 e-xdx= 1. Cette exemple montre que l"aire sous la courbe de la fonctione-xsur tout [0,+∞[ est finie, mˆeme si la surface n"est pas born´ee. 58Int´egrales g´en´eralis´ees
Exemple :On voudrait consid´erer?1
01xdx. Commex?→1/xest continue sur ]0,1], le seul
souci est enx= 0. On a?1 ξ1 xdx= [lnx]1ξ=-lnξ .
Quandξ→0, la limite explose vers +∞. L"int´egrale?1 01 xdxest donc divergente. On peut parfois faire l"abus de notation?1 01 xdx= +∞dans ce cas et parler d"aire infinie.Exemple :On voudrait consid´erer?∞
0cosxdx. Le seul probl`eme est la borne infinie. On
a?ξ 0 cosxdx= [sinx]ξ0= sinξ qui n"a pas de limite quandξ→+∞. Donc non seulement?∞0cosxdxest divergente, mais
on ne peut mˆeme pas parler d"aire infinie ou autre. Dans ce cas,?∞0cosxdxn"a aucun sens
possible.2 Exemples et propri´et´es fondamentales
Pour les int´egrales impropres, on va proc´eder comme pour les s´eries : on disposera d"une liste de cas types pour lesquels la nature de l"int´egrale est connue et on traitera les autres cas par des th´eor`emes de comparaisons ou des techniques plus fines.2.1 Exponentielles
Une fonction du typex?-→eλxest continue surR. Le seul cas qui pourrait donner une int´egrale impropre est quand une des bornes est infinie. Proposition 7.4.Soitλ >0etaetbdansR. L"int´egrale impropre?∞ aeλxdxest diver- gente. L"int´egrale impropre?b -∞eλxdxest convergente. D´emonstration :Il suffit de voir qu"une primitive deeλxesteλx/λ. Donc b a eλxdx=1λ?eλb-eλa?.
Sib→+∞, alorseλbtend vers +∞et l"int´egrale diverge vers +∞. Sia→ -∞, alorseλa
tend vers 0 et l"int´egrale converge vers 1λeλb.?
Bien entendu, on fera attention au signe deλ. Par la sym´etriex?→ -x, on obtient que 59Int´egrales g´en´eralis´ees
Proposition 7.5.Soitλ >0etaetbdansR. L"int´egrale impropre?∞ ae-λxdxest conver- gente. L"int´egrale impropre?b -∞e-λxdxest divergente.Pour r´esum´e, si on int`egre une exponentielle, le seul soucis est en±∞. Soit c"est le
cˆot´e o`u l"exponentielle diverge et alors l"int´egrale diverge ´evidemment, soit c"est le cˆot´e o`u
l"exponentielle tend vers 0 et tout va bien. Notons aussi qu"une int´egrale du type?Rexdx=?∞
-∞exdxest forc´ement divergente puisque fait intervenir les deuxextr´emit´es.2.2 Puissances
On veut int´egrer une fonction du typeP(x)/Q(x) o`uPetQsont deux polynˆomes. On peut rencontrer deux types de probl`emes : une borne de l"int´egrale est infinie ou bien la fonction n"est pas d´efinie en un pointx0carQ(x0) = 0. Pour comprendre ce cas, on ne retiendra que les comportements types donn´es par les cas suivants. Proposition 7.6.Soitα >0et soita >0. L"int´egrale impropre a1 xαdx est convergente si et seulement siα >1. D´emonstration :Il suffit de voir que, siα?= 1, b a1 xαdx=11-α?1bα-1-1aα-1?
Pourα <1, 1/bα-1=b1-αavec 1-α >0 et donc l"int´egrale explose quandb→+∞. A l"inverse, siα >1, 1/bα-1tend vers 0 et l"int´egrale converge.Siα= 1, on a?b
a1 xαdx= lnb-lna qui tend vers +∞quandbtend vers +∞.? On s"aper¸coit que la bornea >0 n"a pas d"importance. On pourra juste parler d"int´e- grabilit´e ou non pr`es de+∞. Proposition 7.7.Soitα >0et soitb >0. L"int´egrale impropre b 01 xαdx est convergente si et seulement siα <1. 60Int´egrales g´en´eralis´ees
D´emonstration :C"est la mˆeme que la proposition pr´ec´edente sauf qu"on regarde cette fois la limite quandatend vers 0. Dans ce cas,a1-αconvergera si et seulement siα <1.Le log divergera toujours.?
En r´esum´e : 1/xest toujours le cas critique et n"est jamais int´egrable. Pour les autres, il faut se demander ce qui est mieux ou pire que 1/x. Par exemple 1/x2converge plus vitevers 0 que 1/xen +∞donc est int´egrable pr`es de +∞. A l"inverse, il tend plus vite vers
+∞quandxtend vers 0+donc il n"est pas int´egrable pr`es de 0. !Seule l"int´egrabilit´e proche de +∞se comporte comme les s´eries de Rie- mann par le th´eor`eme de comparaison s´erie/int´egrale. Bien se rappeler que le probl`eme de l"int´egrabilit´e pr`es de 0 est quasiementl"inverse.Par translation ou sym´etrie, on obtient les autres cas d"int´egrabilit´e de fonctions puis-
sances. Par exemple : -1 -∞1 x2dxest convergente -5 -∞1 xdxest divergente 2 11 ⎷x-1dxest convergente 2 11 x-2dxest divergente 3 01 (x-3)2dxest divergente2.3 Le log
Dans le cas du log, comme il tend vers +∞en +∞, on s"attend `a avoir une aire infiniesous la courbe. Du cˆot´e de 0, il faut voir qu"il tend vers +∞moins vite que tout puissance
dexet est donc logiquement int´egrable (nous allons voir ce genre de th´eor`eme bientˆot).Proposition 7.8.Soitaetbstrictement positifs.
L"int´egrale
a lnxdxest divergente.L"int´egrale
b 0 lnxdxest convergente. D´emonstration :Il suffit de voir qu"une primite du log estxlnx-x. Quandbtend vers +∞,blnb-b=b(lnb-1) tend vers +∞. Quandatend vers 0, le termealnatend aussi 61Int´egrales g´en´eralis´ees
vers 0 (un polynˆome l"emporte sur le log) et donc la primite abien une limite quanda tend vers 0.?2.4 Propri´et´es ´el´ementaires
La lin´earit´e de l"int´egrale et de la limite permettent deg´en´eraliser les propri´et´es ´el´emen-
taires des int´egrales aux int´egrales impropres. Voici des exemples d"´enonc´es (qu"on pourra
transposer de fa¸con ´evidente aux autres cas). Proposition 7.9.Soita?Ret soitb?]a,+∞]. Soitfetgdeux fonctions continues par morceaux sur[a,b[telles que les int´egrales impropres?b af(x)dxet?b ag(x)dxsoient conver- gentes et soientλetμdeux complexes. Alors?b aλf(x) +μg(x)dxest aussi convergente et?b a