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Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesIntégrales Généralisées

2ème année CPP

Année Universitaire 2014-15

C. NazaretIntégrales Généralisées

Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesIl s"agit ici d"étendre la notion d"intégrale aux cas oùfest

continue sur un intervalle du type[a;+1[,] 1;b],[a;b[ou ]a;b](avecfnon définie enaou enb). On écrira les énoncés avec[a;b[ou[a;+1[. Pour les autres cas, il suffit d"adapter les

énoncés.

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Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesPlan

1Introduction

2Défintions et théorèmes généraux

3Intégrales des fonctions positives

4Intégrales des fonctions de signe quelconque

5Comparaison Séries et Intégrales Généralisées

C. NazaretIntégrales Généralisées

Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesFonctions localement intégrables Intégrale d"une fonction sur un intervalle semi-ouvert

Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralPlan

1Introduction

2Défintions et théorèmes généraux

3Intégrales des fonctions positives

4Intégrales des fonctions de signe quelconque

5Comparaison Séries et Intégrales Généralisées

C. NazaretIntégrales Généralisées

Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesFonctions localement intégrables Intégrale d"une fonction sur un intervalle semi-ouvert

Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralOn considère un intervalleIdeRqui n"est ni vide, ni réduit à un

point et qui n"est pas un fermé borné.Définition Une fonction f localement intégrable est une fonction intégrable sur tout intervalle fermé borné contenu dans I.

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Défintions et théorèmes généraux

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Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesFonctions localement intégrables Intégrale d"une fonction sur un intervalle semi-ouvert

Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralRappelons qu"une fonction intégrable (au sens de Riemann) est une fonction réelle bornée et presque partout continue. C"est le cas notamment des fonctions continues, continues par morceaux, ou même seulement bornée et continue sauf en un nombre fini de points, ou encore bornée et monotone sur un segment[a;b], ou réglées sur un segment[a;b]( limite uniforme d"une suite de fonctions en escalier).

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Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesFonctions localement intégrables Intégrale d"une fonction sur un intervalle semi-ouvert

Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralPlan

1Introduction

2Défintions et théorèmes généraux

3Intégrales des fonctions positives

4Intégrales des fonctions de signe quelconque

5Comparaison Séries et Intégrales Généralisées

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Introduction

Défintions et théorèmes généraux

Intégrales des fonctions positives

Intégrales des fonctions de signe quelconque

Comparaison Séries et Intégrales GénéraliséesFonctions localement intégrables Intégrale d"une fonction sur un intervalle semi-ouvert

Relation de Chasles

Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralIntégrale d"une fonction sur un intervalle[a;+1[ou] 1;b]Définition

f étant une fonction définie et localement intégrable sur[a;+1[ et silimx!+1Z x a f(t)dt est finie alors on note Z +1 a f(t)dt=limx!+1Z x a f(t)dt:

On dit que l"intégrale est convergente.

Dans le cas contraire, on dit que l"intégrale est divergente.Remarque Pour Z b 1

f(t)dt, la définition s"adapte de façon évidente.C. NazaretIntégrales Généralisées

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Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralIntégrale d"une fonction sur un intervalle[a;+1[ou] 1;b]Définition

f étant une fonction définie et localement intégrable sur[a;+1[ et silimx!+1Z x a f(t)dt est finie alors on note Z +1 a f(t)dt=limx!+1Z x a f(t)dt:

On dit que l"intégrale est convergente.

Dans le cas contraire, on dit que l"intégrale est divergente.Remarque Pour Z b 1

f(t)dt, la définition s"adapte de façon évidente.C. NazaretIntégrales Généralisées

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Faux problèmes de convergence

Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralUne première méthode pour étudier la convergence de Z+1 a f(t)dtconsiste à calculerI(x) =Z x a f(t)dtquand c"est possible puis à chercher si lim x!+1I(x)existe et est finie.Exemple

L"intégrale I=Z

+1 1dtt

2est convergente car

Z x 1dtt

2= [1t

]x1=11x et donc

I=limx!+111x

=1:C. NazaretIntégrales Généralisées

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Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralUne première méthode pour étudier la convergence de Z+1 a f(t)dtconsiste à calculerI(x) =Z x a f(t)dtquand c"est possible puis à chercher si lim x!+1I(x)existe et est finie.Exemple

L"intégrale I=Z

+1 1dtt

2est convergente car

Z x 1dtt

2= [1t

]x1=11x et donc

I=limx!+111x

=1:C. NazaretIntégrales Généralisées

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Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralExemple

En revanche, l"intégrale J=Z

+1 0 costdt est divergente car Z x 0 costdt=sinx et comme la fonction sinus n"a pas de limite en+1, J est divergente.

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Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralExemple

L"intégrale K=Z

1

0dt1+t2converge car

Z x

0dt1+t2= [arctant]x0=arctanx

et donc

K=limx!1arctanx=2

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Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralDéfinition (Intégrale d"une fonction qui devient infinie pour une

des bornes d"intégration)f étant une fonction définie et localement intégrable sur[a;b[et

silimx!bZ x a f(t)dt est finie alors Z b a f(t)dt=limx!bZ x a f(t)dt:

On dit que l"intégrale est convergente.

Dans le cas contraire, on dit que l"intégrale est divergente.Remarque Pour f fonction définie et localement intégrable sur]a;b], la définition s"adapte de façon évidente.

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Linéarité de l"intégrale

Technique du calcul intégralDéfinition (Intégrale d"une fonction qui devient infinie pour une

des bornes d"intégration)f étant une fonction définie et localement intégrable sur[a;b[et

silimx!bZ x a f(t)dt est finie alors Z b a f(t)dt=limx!bZ x a f(t)dt:

On dit que l"intégrale est convergente.

Dans le cas contraire, on dit que l"intégrale est divergente.Remarque Pour f fonction définie et localement intégrable sur]a;b], la définition s"adapte de façon évidente.

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Technique du calcul intégralExemple

L"intégrale I=Z

1 0dtpt converge car Z 1 dtpt = [2pt]1=2(1p) et donc I=lim!02(1p) =2:C. NazaretIntégrales Généraliséesquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20