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Int´egrales g´en´eralis´ees

Herv´e Hocquard

Universit

´e de Bordeaux, France

10 septembre 2020

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Motivation

Consid´erons la fonctionf(x) =1⎷xd´efinie sur l"intervalle]0,1].

Pour tout

δ?]0,1], la fonctionfest int´egrable sur[δ,1]; de plus : lim

δ→0?

1δf(x)dx=2.

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Motivation

Consid´erons la fonctionf(x) =1⎷xd´efinie sur l"intervalle]0,1].

Pour tout

δ?]0,1], la fonctionfest int´egrable sur[δ,1]; de plus : lim

δ→0?

1δf(x)dx=2.

Cela nous motive

`a d´efinir? 1

0f(x)dx= lim

δ→0?

1δf(x)dx.

Introduction

Objectifs de ce cours

1ˆEtre capable de calculer une int´egrale g´en´eralis´ee ou

Introduction

Objectifs de ce cours

1ˆEtre capable de calculer une int´egrale g´en´eralis´ee ou

2ˆEtre capable de dire si une int´egrale g´en´eralis´ee converge

ou pas.

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

Soitfune fonction r´eelle d´efinie sur un intervalleI. On dira quefest localement int´egrable surIsifest int´egrable sur chaque intervalle ferm

´e et born´e[

α,β]?I.

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

Soitfune fonction r´eelle d´efinie sur un intervalleI. On dira quefest localement int´egrable surIsifest int´egrable sur chaque intervalle ferm

´e et born´e[

α,β]?I.

Proposition

Toute fonction continue sur un intervalleIest localement int

´egrable surI.

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

Soitfune fonction r´eelle d´efinie sur un intervalleI. On dira quefest localement int´egrable surIsifest int´egrable sur chaque intervalle ferm

´e et born´e[

α,β]?I.

Proposition

Toute fonction continue sur un intervalleIest localement int

´egrable surI.

Proposition

Toute fonction r´eelle et monotone sur un intervalleIest localement int

´egrable surI.

Int´egrale g´en´eralis´ee

D´efinition

SoitIun intervalle deRd"extr´emit´esa´eel tel quea Soitfune fonction r´eelle localement int´egrable surI.

Si les limites

lim

α→a?

cαf(x)dxetlimβ→b? cf(x)dx sont finies, on dira que l"int

´egrale g´en´eralis´ee?

b afconverge et on posera : b af(x)dx= lim

α→a?

cαf(x)dx+ limβ→b? cf(x)dx

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

0e-xdxconverge et est´egale`a 1.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

0e-xdxconverge et est´egale`a 1.

Preuve

La fonctionx?→e-xest continue sur[0,+∞[et donc localement int

´egrable. Puisque

N notre affirmation est bien d

´emontr´ee.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

11xdxdiverge.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

11xdxdiverge.

Preuve

La fonctionx?→1xest continue sur[1,+∞[et donc localement int

´egrable. Puisque

N 11 xdx= [ln|x|]N1= ln(N)-→N→+∞+∞ notre affirmation est bien d

´emontr´ee.

Propri´et´es de l"int´egrale g´en´eralis´ee Th´eor`eme (Lin´earit´e de l"int´egrale g´en´eralis´ee) Soientf,g:I-→Rdeux fonctions localement int´egrables sur g

´en´eralis´ees?b

afet?b agconvergent alors, pour tout

λ,μ?R,

l"int

´egrale g´en´eralis´ee?b

λf+μg)converge et on a :

Propri´et´es de l"int´egrale g´en´eralis´ee Th´eor`eme (Lin´earit´e de l"int´egrale g´en´eralis´ee) Soientf,g:I-→Rdeux fonctions localement int´egrables sur g

´en´eralis´ees?b

afet?b agconvergent alors, pour tout

λ,μ?R,

l"int

´egrale g´en´eralis´ee?b

λf+μg)converge et on a :

b a(

λf+μg) =λ

?b af+ ?b ag. Propri´et´es de l"int´egrale g´en´eralis´ee Th´eor`eme (Croissance de l"int´egrale g´en´eralis´ee) Soientf,g:I-→Rdeux fonctions localement int´egrables sur g

´en´eralis´ees?b

afet?b Propri´et´es de l"int´egrale g´en´eralis´ee Th´eor`eme (Croissance de l"int´egrale g´en´eralis´ee) Soientf,g:I-→Rdeux fonctions localement int´egrables sur g

´en´eralis´ees?b

afet?b b b ag.

Exemples fondamentaux

Proposition (Int´egrale de Riemann)

L"int´egrale g´en´eralis´ee

11 xαdx,α?R converge si et seulement si

α>1.

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα>1, on a :

N 11 xαdx=11-α

N1-α-1?

-→N→+∞-11-α

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα>1, on a :

N 11 xαdx=11-α

N1-α-1?

-→N→+∞-11-α De la mˆeme formule on en d´eduit que siα<1, on a : lim

N→+∞?

N 11 xαdx= +∞.

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα>1, on a :

N 11 xαdx=11-α

N1-α-1?

-→N→+∞-11-α De la mˆeme formule on en d´eduit que siα<1, on a : lim

N→+∞?

N 11 xαdx= +∞. Si

α=1, on a :

N 11 xαdx= ln(N)-→N→+∞+∞.

Exemples fondamentaux

Proposition (Int´egrale de Riemann)

L"int´egrale g´en´eralis´ee

1 01 xαdx,α?R converge si et seulement si

α<1.

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα<1, on a :

1 N1 xαdx=11-α

1-N1-α?

-→N→0+1

1-α

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα<1, on a :

1 N1 xαdx=11-α

1-N1-α?

-→N→0+1

1-α

De la mˆeme formule on en d´eduit que siα>1, on a : lim

N→0+?

1 N1 xαdx= +∞.

Exemples fondamentaux

Preuve

Siα<1, on a :

1 N1 xαdx=11-α

1-N1-α?

-→N→0+1

1-α

De la mˆeme formule on en d´eduit que siα>1, on a : lim

N→0+?

1 N1 xαdx= +∞. Si

α=1, on a :

1 N1 xαdx=-ln(N)-→N→0++∞.

Exemples fondamentaux

Proposition

Pour touta>1, l"int´egrale g´en´eralis´ee a1 xlnαxdx,α?R converge si et seulement si

α>1.

Exemples fondamentaux

Preuve

Pourα?=1, une primitive de la fonctionx?→1xlnαxest donn´ee par la fonctionx?→1

1-αln1-αxet siα=1, une primitive de la

fonctionx?→1 xlnxest donn´ee par la fonctionx?→ln(lnx).

Exemples fondamentaux

Preuve

Pourα?=1, une primitive de la fonctionx?→1xlnαxest donn´ee par la fonctionx?→1

1-αln1-αxet siα=1, une primitive de la

fonctionx?→1 xlnxest donn´ee par la fonctionx?→ln(lnx). `A vous de jouer...

Exemples fondamentaux

Proposition

L"int´egrale g´en´eralis´ee

0rxdx,r>0

converge si et seulement sir<1. L"int

´egrale diverge si et seulement sir≥1.

Exemples fondamentaux

Proposition

L"int´egrale g´en´eralis´ee

0rxdx,r>0

converge si et seulement sir<1. L"int

´egrale diverge si et seulement sir≥1.

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

0? 23?
x dxconverge. Crit`eres de convergence pour les fonctions positives

Notation

Sif≥0 et l"int´egrale g´en´eralis´ee?b af(x)dxne converge pas alors on posera :?b af(x)dx= +∞. Crit`eres de convergence pour les fonctions positives

Notation

Sif≥0 et l"int´egrale g´en´eralis´ee?b af(x)dxne converge pas alors on posera :?b af(x)dx= +∞.

Th´eor`eme

Soientf,gdeux fonctions positives et localement int´egrables sur[a,b[. Supposons que

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Int´egrales g´en´eralis´ees

Herv´e Hocquard

Universit

´e de Bordeaux, France

10 septembre 2020

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Motivation

Pour tout

δ→0?

1δf(x)dx=2.

Introduction

Notation

On poseR=R?{-∞,+∞}.

Motivation

Pour tout

δ→0?

1δf(x)dx=2.

Cela nous motive

0f(x)dx= lim

δ→0?

1δf(x)dx.

Introduction

Objectifs de ce cours

1ˆEtre capable de calculer une int´egrale g´en´eralis´ee ou

Introduction

Objectifs de ce cours

1ˆEtre capable de calculer une int´egrale g´en´eralis´ee ou

2ˆEtre capable de dire si une int´egrale g´en´eralis´ee converge

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

´e et born´e[

α,β]?I.

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

´e et born´e[

α,β]?I.

Proposition

´egrable surI.

Fonctions localement int´egrables

D´efinition

´e et born´e[

α,β]?I.

Proposition

´egrable surI.

Proposition

´egrable surI.

Int´egrale g´en´eralis´ee

D´efinition

Si les limites

α→a?

´egrale g´en´eralis´ee?

α→a?

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

0e-xdxconverge et est´egale`a 1.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

0e-xdxconverge et est´egale`a 1.

Preuve

´egrable. Puisque

´emontr´ee.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

11xdxdiverge.

Int´egrale g´en´eralis´ee

Exemple

L"int´egrale g´en´eralis´ee?

11xdxdiverge.

Preuve

´egrable. Puisque

´emontr´ee.