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A. P. M. E. P.

?Corrigé du baccalauréat ES/L Centres étrangers?

8 juin 2016

EXERCICE14 points

Commun à tous lescandidats

1.Comme somme de fonctions dérivables sur I=]0;+∞,fest dérivable sur I, et pour tout réelxde I,

f ?(x)=0-1+2×1 x=-1+2x=-x+2x.

La bonne réponse est laréponsec..

2.Sur l"intervalle ]0; 10],f?(a)=0 lorsque la tangente à la courbe defau point d"abscisseaest parallèle à

l"axe des abscisses.

C"est le cas une seule fois dans ce cas.

La bonne réponse est donc laréponseb..

3.Commefest dérivable sur I, elle l"est en 4 et T admet pour équationy=f?(4)(x-4)+f(4).

Or, ici,f(4)=5-4+2ln(4)=1+2ln(4) etf?(4)=-4+2

4=-24=-12.

La tangente T admet donc pour équation :y=-1

2(x-4)+1+2ln(4), soity=-12x+3+2ln(4).

La bonne réponse est laréponsed..

4.Commefest positive sur l"intervalle [1; 3],?

3 1 f(x)dxest l"aire du domaine délimité par la courbe def, l"axe des abscisses et les droites d"équationsx=1 etx=3.

On sait quef?(x)=-x+2

x, doncf?(x)=0??x=2. La fonctionfa dont un maximumf(2)=5-2+2ln2=3+2ln2≈4,386<4,5. Donc cette intégrale est comprise entre l"aire de la surface grise (2×4) et l"aire de la surface hachurée (2×4,5).

012345

-11 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ?AT C xy

On a donc 8??

3 1 f(x)dx?9.

La bonne réponse est laréponsec..

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

EXERCICE26 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

1.Voici un arbre qui convient. Les informations tirées de l"énoncé sont en noir.

N Q Q C Q Q 0,4 0,92 0,08 0,6 0,96 0,04

2.p(N∩Q)=p(N)×pN(Q)

p(N∩Q)=0,4×0,92 p(N∩Q)=0,368.

En prenant un pneu au hasard dans le stock, la probablité de choisir un pneu neige qui a réussi les tests

de qualité est de 0,368.

3.Les événements N et C forment une partition de l"univers.D"après la formule des probabilités totales,

p(Q)=p(N∩Q)+p(C∩Q) p(Q)=p(N∩Q)+p(C)×pC(Q) p(Q)=0,368+0,6×0,96 p(Q)=0,944.

4.On cherchepQ(N).

Or,pQ(N)=p(N∩Q)

p(Q) p

Q(N)=0,368

0,944 p

Q(N)≈0,390.

Sachant que le pneu choisi a réussi les tests de qualité, la probabilité que ce pneu soit un pneu neige est

environ de 0,390.

PartieB

1.On cherchep(X<25).

?Premièreméthode On sait quep(X<25)=p(X<30)-p(25Centres étrangers28 juin 2016

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

2.On cherche le réeldvérifiantp(X>d)=0,2.

La calculatrice donned≈36,733.

PartieC

Posonsn=900 etp=0,85.

Alorsn≥30,np=900×0,85=765≥5 etn(1-p)=900×0,15=135≥5. Supposons que le taux de satisfaction reste le même que celuide l"année précédente.

En choisissant un échantillon aléatoire de 900 personnes parmi les clients, on a donc une probabilité de 95%

d"avoir une fréquence, sur l"échantillon, de clients satisfaits appartenant à l"intervalle p-1,96×? p(1-p)?n;p+1,96×? p(1-p)?n?

Or,p-1,96×?

p(1-p)?n≈0,826 (arrondi par défaut) etp+1,96×? p(1-p)?n≈0,874 (arrondi par excès).

Sousl"hypothèse d"untauxdesatisfaction maintenu, onobtient commeintervalle defluctuation asymptotique

pour la fréquence ce clients satisfaits sur un échantillon de 900 personnes l"intervalle [0,826; 0,874].

Sur l"échantillon, la fréquence de clients satisfaits estf=735

900≈0,817.

f?[0,826; 0,874]. On rejète donc, au seuil de 95%, l"hypothèse d"un taux de satisfaction maintenu.

EXERCICE35 points

Candidatsde la sérieES n"ayant passuivi l"enseignementdespécialité et candidatsde la série L

PartieA

1.Augmenter de 6% revient à multiplier par 1,06.La raison de la suite géométrique (un)n≥0estq=1,06.

1=u0×1,06=500×1,06=530

2=u1×1,06=530×1,06=561,8≈562

2.La suite (un)n≥0étant géométrique de raisonq=1,06, on a, pour tout entier natureln:

u n=u0×qn, soitun=500×1,06n.

3.Commeu0>0 etq>1, on obtient : limn→+∞un=+∞.

PartieB

1.Voici les lignes L3, L5 et L7 complétées :

L3 :TraitementTant que U<1 000

L5 : Affecter à U la valeur U×1.06

L7 :SortieAfficher N

2.On cherche le premier entiernvérifiantun≥1 000.

Or, pour tout entier natureln,un≥1 000?500×1,06n≥1 000 ?1,06n≥2 ?ln?1,06n?≥ln(2) ?nln(1,06)≥ln(2) ?n≥ln(2) ln(1,06), car ln(1,06)>0

Centres étrangers38 juin 2016

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

Or,ln(2)ln(1,06)≈11,90.

C"est donc à partir du 12

emois que le nombre films proposés dépassera le double du nombre de films proposés à l"ouverture.

PartieC

1.Diminuer de 10% revient à multiplier par 0,9.Ainsi, on a bien, pour tout entier natureln,vn+1=0,9×vn+2 500.

2.On considère la suite(wn)définie pour tout entier naturelnparwn=vn-25 000.

a.Pour tout entier natureln,wn+1=vn+1-25 000 =0,9vn+2 500-25 000 =0,9vn-22 500 =0,9? v n-22 500 0,9? =0,9(vn-25 000) =0,9wn La suite (wn)n≥0est donc bien une suite géométrique de raisona=0,9. Son premier terme estw0=v0-25 000=15 000-25 000=-10 000. b.La suite (wn)n≥0étant géométrique, on , pour tout entier natureln: w n=w0×an, soitwn=-10 000×0,9n. Comme, pour tout entier natureln, on awn=vn-25 000, on obtient : v n=wn+25 000, soitvn=25 000-10 000×0,9n. c.Comme 0Par conséquent, lim n→+∞vn=25 000. Le nombre d"abonnés va donc se stabiliser, sur le long terme,autour de 25 000.

EXERCICE35 points

Candidatsde la sérieES ayantsuivi l"enseignementde spécialité

PartieA

1. a.Le grapheΓn"est pas complet, car par exemple, les sommets D et H ne sont pas adjacents.

b.Le grapheΓest connexe.

Deux sommets quelconques du graphe peuvent, par exemple, être reliés par une chaîne extraite de

celle-ci :

A-B-C-D-E-H-G-F

2.Voici les degrés des différents sommets du grapheΓ:

SommetsABCDEFGH

Degrés34343232

Le grapheΓ, qui est connexe, possède quatre sommets de degré impair. D"après le théorème d"Euler, ce graphe ne possède donc pas dechaîne eulérienne.

Centres étrangers48 juin 2016

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

3.La matrice d"adjacence cherchée est :

M=(((((((((((((0 1 0 1 1 0 0 01 0 1 1 0 1 0 00 1 0 1 0 0 1 01 1 1 0 1 0 0 01 0 0 1 0 0 0 10 1 0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 10 0 0 0 1 0 1 0)))))))))))))

quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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A. P. M. E. P.

8 juin 2016

EXERCICE14 points

Commun à tous lescandidats

1.Comme somme de fonctions dérivables sur I=]0;+∞,fest dérivable sur I, et pour tout réelxde I,

La bonne réponse est laréponsec..

2.Sur l"intervalle ]0; 10],f?(a)=0 lorsque la tangente à la courbe defau point d"abscisseaest parallèle à

C"est le cas une seule fois dans ce cas.

La bonne réponse est donc laréponseb..

3.Commefest dérivable sur I, elle l"est en 4 et T admet pour équationy=f?(4)(x-4)+f(4).

Or, ici,f(4)=5-4+2ln(4)=1+2ln(4) etf?(4)=-4+2

4=-24=-12.

La tangente T admet donc pour équation :y=-1

2(x-4)+1+2ln(4), soity=-12x+3+2ln(4).

La bonne réponse est laréponsed..

4.Commefest positive sur l"intervalle [1; 3],?

On sait quef?(x)=-x+2

012345

On a donc 8??

La bonne réponse est laréponsec..

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EXERCICE26 points

Commun à tous lescandidats

PartieA

1.Voici un arbre qui convient. Les informations tirées de l"énoncé sont en noir.

2.p(N∩Q)=p(N)×pN(Q)

3.Les événements N et C forment une partition de l"univers.D"après la formule des probabilités totales,

4.On cherchepQ(N).

Or,pQ(N)=p(N∩Q)

Q(N)=0,368

Q(N)≈0,390.

PartieB

1.On cherchep(X<25).

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2.On cherche le réeldvérifiantp(X>d)=0,2.

La calculatrice donned≈36,733.

PartieC

Posonsn=900 etp=0,85.

Or,p-1,96×?

900≈0,817.

EXERCICE35 points

PartieA

1.Augmenter de 6% revient à multiplier par 1,06.La raison de la suite géométrique (un)n≥0estq=1,06.

1=u0×1,06=500×1,06=530

2=u1×1,06=530×1,06=561,8≈562

2.La suite (un)n≥0étant géométrique de raisonq=1,06, on a, pour tout entier natureln:

3.Commeu0>0 etq>1, on obtient : limn→+∞un=+∞.

PartieB

1.Voici les lignes L3, L5 et L7 complétées :

L3 :TraitementTant que U<1 000

L5 : Affecter à U la valeur U×1.06

L7 :SortieAfficher N

2.On cherche le premier entiernvérifiantun≥1 000.

Centres étrangers38 juin 2016

Baccalauréat ES/L - CorrigéA. P. M. E. P.

Or,ln(2)ln(1,06)≈11,90.

C"est donc à partir du 12

PartieC

1.Diminuer de 10% revient à multiplier par 0,9.Ainsi, on a bien, pour tout entier natureln,vn+1=0,9×vn+2 500.

2.On considère la suite(wn)définie pour tout entier naturelnparwn=vn-25 000.

EXERCICE35 points

PartieA

1. a.Le grapheΓn"est pas complet, car par exemple, les sommets D et H ne sont pas adjacents.

A-B-C-D-E-H-G-F

2.Voici les degrés des différents sommets du grapheΓ:

SommetsABCDEFGH

Degrés34343232

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3.La matrice d"adjacence cherchée est :