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Cette limite est infinie : lim x→+∞ f(x)=+∞ La fonction f n'admet alors pas d' asymptote horizontale en +∞ et l'on doit poursuivre l'étude pour étudier de plus

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i `a l'étude des branches infinies des fonctions au moyen d'un développement limité au voisinage de ±∞ Exercice⋆ : 1 Etudiez la limite en 0 de f(x) = 1 sin2 x

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Feuille d"exercices n°17 : corrigé

PTSI B Lycée Eiffel

15 mai 2013

Exercice 1 (* à **)

On commence par écrire1

1-x= 1 +x+x2+x3+x4+o(x4)(c"est du cours) puis, en

appliquant

1 +u= 1 +12u-18u2+116u3-5128u4+o(u4)(application de la formule du

couprs pour(1 +x)αavecα=1

2) àu=x+x2+x3+x4(qui tend bien vers0),?

1 1-x= 1+ 1

Il ne reste plus qu"à tout développer en ne gardant que les termes de degré inférieur ou égal à

4:? 1

1-x= 1+12x+12x2+12x3+12x4-18x2-18x4-14x3-14x4+116x3+316x4+5128x4+o(x4),

soitf(x) = 1 +1

2x+38x2+516x3+45128x4+o(x4).

On sait quecos(x) = 1-x2

2+x424-x6720+o(x6), il suffit donc d"appliquer le développement

limité 1

1-u= 1 +u+u2+u3+o(u3)avecu=12x2-124x4+1720x6(un DL à l"ordre3sera

suffisant caruest lui-même d"ordre2). On ne garde bien sûr que les termes d"ordre inférieur ou égal à6pour obtenir1 cos(x)= 1 +?12x2-124x4+1720x6? +?12x2-124x4+1720x6? 2 ?1

2x2-124x4+1720x6?

3 +o(x6) = 1+12x2-124x4+1720x6+14x4-124x6+18x6+o(x6), soit f(x) = 1 +1

2x2+524x4+61720x6+o(x6).

Attention, on fait un développement limité en1et pas en0. Posons donch=x-1, qui lui tendra vers0quandxtend vers1:ex=e1+h=e×eh=e×?

1 +h+h

2+h36+h424+o(h4)?

e+eh+e

2h2+e6h3+e24h4+o(h4). On conclut en remplaçanthparx-1:f(x) =x→1e+

e(x-1)+e

2(x-1)2+e6(x-1)3+e24(x-1)4+o(x-1)4. Alternativement, on pouvait trouver

très rapidement cette formule en appliquant directement laformule de Taylor-Young, toutes les dérivées de l"exponentielle prenant pour valeurequandx= 1. Attention au petit piège, la fonction a pour limite2en0, il faut sortir un facteur2pour pouvoir appliquer la formule du DL de

1 +u:f(x) =?3 + cos(x) =?4-x22+o(x2) =

1-x28+o(x2) = 2?

1-x216+o(x2)?

soitf(x) = 2-18x2+o(x2).

C"est le même que le précédent, sans le petit piège, et à un ordre un peu plus élevé :?

cos(x) =?

1-x22+x424+o(x4) = 1+12?

--x22+x424? -18? -x22+x424? 2 +o(x4) = 1-14x2+148x4- 1

32x4+o(x4), soitf(x) = 1-14x2-196x4+o(x4).

1 Plusieurs méthodes possibles ici. On peut partir de11-x= 1 +x+x2+x3+x4+x5+ o(x2), et élever le tout au carré :1 (x-1)2= 1 +x2+x4+ 2x+ 2x2+ 2x3+ 2x4+ 2x5+

2x3+ 2x4+ 2x5+ 2x5+o(x5), soitf(x) = 1 + 2x+ 3x2+ 4x3+ 5x4+ 6x5+o(x5)(on

peut deviner aisément ce que ça donnerait à l"ordren, les plus courageux essaieront de le démontrer). Autre possibilité : écriref(x) =1

1-2x+x2, et utiliser le DL de11-upour

trouver 1 (x-1)2= 1+(2x-x2)+(2x-x2)2+(2x-x2)3+(2x-x2)4+(2x-x2)5+o(x5) =

1+ 2x-x2+4x2-4x3+x4+8x3-12x4+6x5+ 16x4-32x5+ 32x5+o(x5), soit à nouveau

f(x) = 1 + 2x+ 3x2+ 4x3+ 5x4+ 6x5+o(x5). On a déjà vu ce genre de calcul : il faut penser à sortir un facteur⎷

2pour appliquer le DL de

1 +u, soit⎷x+ 2 =⎷2?1 +x2=⎷2?

1 +12x2-18?

x2?

2+116?

x2?

3+o(x3)?

. On trouve doncf(x) =⎷

2 +⎷2

4x-⎷

32x2+⎷

128x3+o(x3).

Le calcul de DL d"une composée est ici doublé du petit piège habituel puisque la fonction a

pour limiteln(2):1+ex= 2+x+x2

2+x36+x424+o(x4) = 2?

1 +x2+x24+x312+x448+o(x4)?

doncln(1+ex) = ln(2)+ln? 1 +x

2+x24+x312+x448+o(x4)?

, on peut désormais appliquer le

DL deln(1+u)pour obtenirln(1+ex) = ln(2)+x

2+x24+x312+x448-12?

x2+x24+x312+x448? 2 1 3? x2+x24+x312+x448? 3 -14? x2+x24+x312+x448? 4 +o(x4) = ln(2) +12x+14x2+112x3+ 1

48x4-18x2-132x4-18x3-124x4+124x3+116x4-164x4+o(x4), soitf(x) = ln(2) +12x+

8x2-1192x4+o(x4).

Enfin un calcul très rapide :sin(x) =x-x3

6+x5120-x75 040+o(x7), soitf(x) = 1-16x2+

120x4-15 040x6+o(x6).

On a déjà calculé le DL de?

cos(x)un peu plus haut, la seule question qui se pose est concernant lecos(⎷ x). A-t-on le droit de se contenter de prendre le DL decos(x)et remplacer lesxpar des⎷ xen profitant du fait que la présence de puissances paires uniquement va faire

disparaitre toutes les racines carrées? Bien sûr que oui! Le seul détail est que le DL ne sera

évidemment valable qu"à droite de0, puisque la fonction n"est pas définie quandx <0. On

écrira donccos(⎷

x) =x→0+1-x2+124x2-1720x3+o(x3). Il ne reste plus qu"à faire une addition pour trouverf(x) =-1

2x+724x2-1720x3+o(x3).

Une composée classique :eu= 1 +u+u2

2+u36+u424+u5120+o(x5), doncesin(x)= 1 +

x-x3

6+x5120?

+12? x-x36+x5120? 2 +16? x-x36+x5120? 3 +124?
x-x36+x5120? 4 1 120?
x-x36+x5120? 5 +o(x5) = 1 +x-x36+x5120+12x2-16x4+16x3-112x5+124x4+ 1

120x5+o(x5), soitf(x) = 1 +x+12x2-18x4-115x5+o(x5).

Plusieurs possibilités ici. On peut faire le classique changement de variableh=x-2, doncx4= (2+x-2)4= 16? 1 +h 2? 4 = 16?

1 + 2h+32h2+12h3+o(h3)?

= 16+32h+24h2+8h3+o(h3). 2 Autrement dit,f(x) =x→216 + 32(x-2) + 24(x-2)2+ 2(x-2)3+o(x-2)3. On n"a même pas eu besoin de formule du cours ici, puisqu"on développe simplement un polynôme, on peut donc appliquer la formule du binôme de Newton pour développer.

Deuxième méthode : appliquer la formule de Taylor-Young, les dérivées étant ici très faciles à

calculer. En effet,f(2) = 16;f?(2) = 4×23= 32;f??(2) = 12×22= 48etf(3)(2) = 24×2 = 48, doncf(x) = 16 + 32(x-2) +48

2(x-2)2+486(x-2)3+o(x-2)3, ce qui donne bien le même

DL que plus haut.

Le plus normal est d"écrire la puissance sous forme exponentiellef(x) =exln(1+sin(x)), avec ln(1+sin(x)) = ln?

1 +x-x3

6+o(x4)?

=x-x36-12? x-x36? 2 +13? x-x36? 3 -14? x-x36? 4 o(x4) =x-1

6x3-12x2+16x4+13x3-14x4+o(x4) =x-12x2+16x3-112x4+o(x4). En

fait, on s"est fatigués à aller jusqu"à l"ordre4pour rien puisqu"on va multiplier parxavant de

mettre dans l"exponentielle :xln(1 + sin(x)) =x2-1

2x3+16x4+o(x4), doncexln(1+sin(x))=

1+x2-1

2x3+16x4+12?

2-12x3+16x4?

2 +o(x4) = 1+x2-12x3+16x4+12x4+o(x4)(inutile d"aller plus loin que l"ordre2ici). On conclut :f(x) = 1 +x2-1

2x3+23x4+o(x4).

Pour un DL ailleurs qu"en0d"une fonction comme l"arctangente, le mieux est, de loin, d"appli-

quer la formule de Taylor-Young, surtout que l"ordre n"est pas très élevé. On sait quef(x) =π

4; f ?(x) =1

1 +x2, doncf?(1) =12; etf??(x) =-2x(1 +x2)2, doncf??(1) =-12. Il ne reste plus

qu"à conclure :f(x)limx→1π

4+12(x-1)-14(x-1)2+o(x-1)2.

Si on tient vraiment à faire un changement de variables, mieux vaut le faire sur la dérivée1

1 +x2que sur l"arctangente elle-même car on ne saura pas vraimentquoi faire dearctan(1+h).

Allez, faisons le calcul : en posanth=x-1,1

1 + (h+ 1)2=12 + 2h+h2=12×11 +h+12h2=

2(1-h+o(h)) =12-12h+o(h). On primitive ensuite, en ajoutant bien sûr la constanteπ4:

arctan(x) =π

4+12h-14h2+o(h), qui est bien le DL trouvé plus haut.

Ici, le changement de variable est non sulement conseillé mais même bienvenu sinon la racine

carrée pose problème. Posons donch=x-1, soitx=h+ 1, pour trouver⎷ x=⎷1 +h= 1+ 1

2h-18h2+116h3+o(h3), etln(⎷x) = ln?

1 +12h-18h2+116h3+o(h3)?

=12h-18h2+ 1

16h3-12?

12h-18h2+116h3?

2 +13?

12h-18h2+116h3?

+o(h3) =12h-18h2+116h3-18h2+ 1

16h3+124h3+o(h3). On en déduit quef(x) =x→112(x-1)-14(x-1)2+16(x-1)3+o(x-1)3.

Tiens, c"est amusant, il semble y avoir une certaine régularité dans ce DL. Un hasard? Pas du tout, on a en fait calculé beaucoup pour rien, on pouvait simplement dire queln(⎷ x) =1

2ln(x) =12ln(1 + (x-1)), et appliquer le DL deln(1 +u)en0.

On procède simplement en deux temps, en faisant attention à sortir un facteur2de la racine :

1 +x= 1+12x-18x2+116x3+o(x3), donc?1 +⎷1 +x=?2 +12x-18x2+116x3+o(x3) =

2×?1 +14x-116x2+132x3+o(x3) =⎷2?

1 +12?

14x-116x2+132x3?

1 8?

14x-116x2+132x3?

2 +116?

14x-116x2+132x3??

+o(x3) = 3 ⎷2?

1 +18x-132x2+164x3-1128x2+1256x3+11 024x3?

+o(x3), soitf(x) =⎷2 +⎷2 8x- 5 2

128x2+21⎷

1 024x3+o(x3).

Rien de bien difficile :cos(3x) = 1-9

2x2+o(x3), doncln(cos(3x)) =-92x2+o(x2)(à cet

ordre-là, on ne se fatigue pas trop).

Un petit peu de trigonométrie n"est pas inutile ici, en l"occurence des formules d"addition. On

poseh=x-π

3, doncf(x) = cos?π3+h?

= cos?π3? cos(h)-sin?π3? sin(h) =12cos(h)-⎷3

2sin(h) =12?

1-h22+o(h3)?

3 2? h-h36+o(h3)? =12-⎷ 3

2h-14h2+14⎷3h3+o(h3),

soitf(x) =x→π

312-⎷

3 2? x-π3? -14? x-π3?

2+14⎷3?

x-π3? 3+o? x-π3? 3.

Il n"est même pas évident à priori que cette fonction est définie en0, ou plutôt prolongeable

par continuité en0. Rien ne nous empêche pour autant de tenter un développementlimité,

qui à première vue s"apparantera plutôt à un développement asymptotique. On peut écrire

1 sin(x)=1x-x36+x5120+o(x5)=1x×11-x26+x4120+o(x4)=1 +x2

6-x4120+x436+o(x4)

x= 1

x+16x+7360x3+o(x3). Notez que pour obtenir ce développement à l"ordre3, il était nécessaire

de partir d"un DL à l"ordre5du dénominateur. On fait pareil pour le deuxième inverse : 1 sh(x)=1x×11 +x26+x4120+o(x4)=1-x2

6-x4120+x436+o(x4)

x=1x-x6+7360x3+o(x3). En faisant la différence, on trouve très simplementf(x) =x

3+o(x3).

Attention ici, il y a une petite difficulté : numérateur et dénominateur tendent tous deux vers

0en0, mais comme ils également tous deux équivalents àx, une simplification des DL va se

produire pour donner une fonction qui se prolonge par continuité Toutefois, il faut anticiper cette simplification et faire initialement des DL à l"ordre3si on veut obtenir de l"ordre2pour f:ln(1 +x) ex-1=x-x2

2+x33+o(x3)

x+x22+x36+o(x3)=1-x

2+x23+o(x2)

1 +x2+x26+o(x2)=?

1-12x+13x2+o(x2)?

1-1

2x-16x2+14x2+o(x2)?

= 1-12x+13x2-12x+14x2+112x2+o(x2), soitf(x) = 1-x+2

3x2+o(x2).

Encore une composée assez classique, en n"oubliant pas de sortir un facteurln(3)pour avoir quelque chose qui tend vers0:ln(2ex+e-x= ln?

2 + 2x+x2+x3

3+ 1-x+x22-x36+o(x3)?

3 +x+3

2x2+16x3+o(x3)?

= ln(3)+ln?

1 +13x+12x2+118x3+o(x3)?

= ln(3)+13x+ 1

2x2+118x3-12?

13x+12x2+118x3?

2 +13?

13x+12x2+118x3?

3 +o(x3) = ln(3)+13x+12x2+ 1

18x3-118x2-16x3+181x3+o(x3), soitf(x) = ln(3) +13x+49x2-881x3+o(x3).

Rien de spécial à signaler pour celui-là :xe-x

1 + 2x= (x-x2+o(x2))(1-2x+ 4x2+o(x2)) =

x-x2-2x2+o(x2), soitf(x) =x-3x2+o(x2).

On commence bien sûr par écrirexx=exln(x). Ensuite, le plus rapide est sûrement d"appliquer

directement la formule de Taylor-Young, surtout que l"ordre n"est pas très élevé. On calcule

f(2) = 22= 4; puisf?(x) = (ln(x) + 1)exln(x), doncf?(2) = 4(1 + ln(2)); et enfinf??(x) =1 xexln(x)+ (ln(x) + 1)2exln(x), doncf??(2) = 2 + 4(1 + ln(2))2. On en déduit quef(x) =x→2

4 + 4(1 + ln(2))(x-2) + (1 + 2(1 + ln(2))2)(x-2)2+o(x-2)2.

4 Sinon, si on y tient vraiment, on fait le changement de variableh=x-2, doncf(x) = e (2+h)ln(2+h)=e(2+h)(ln(2)+ln(1+h

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Feuille d"exercices n°17 : corrigé

PTSI B Lycée Eiffel

15 mai 2013

Exercice 1 (* à **)

On commence par écrire1

1-x= 1 +x+x2+x3+x4+o(x4)(c"est du cours) puis, en

1 +u= 1 +12u-18u2+116u3-5128u4+o(u4)(application de la formule du

2) àu=x+x2+x3+x4(qui tend bien vers0),?

1-x= 1+12x+12x2+12x3+12x4-18x2-18x4-14x3-14x4+116x3+316x4+5128x4+o(x4),

2x+38x2+516x3+45128x4+o(x4).

On sait quecos(x) = 1-x2

2+x424-x6720+o(x6), il suffit donc d"appliquer le développement

1-u= 1 +u+u2+u3+o(u3)avecu=12x2-124x4+1720x6(un DL à l"ordre3sera

2x2-124x4+1720x6?

2x2+524x4+61720x6+o(x6).

1 +h+h

2+h36+h424+o(h4)?

2h2+e6h3+e24h4+o(h4). On conclut en remplaçanthparx-1:f(x) =x→1e+

2(x-1)2+e6(x-1)3+e24(x-1)4+o(x-1)4. Alternativement, on pouvait trouver

1 +u:f(x) =?3 + cos(x) =?4-x22+o(x2) =

1-x28+o(x2) = 2?

1-x216+o(x2)?

1-x22+x424+o(x4) = 1+12?

32x4+o(x4), soitf(x) = 1-14x2-196x4+o(x4).

2x3+ 2x4+ 2x5+ 2x5+o(x5), soitf(x) = 1 + 2x+ 3x2+ 4x3+ 5x4+ 6x5+o(x5)(on

1-2x+x2, et utiliser le DL de11-upour

1+ 2x-x2+4x2-4x3+x4+8x3-12x4+6x5+ 16x4-32x5+ 32x5+o(x5), soit à nouveau

2pour appliquer le DL de

1 +u, soit⎷x+ 2 =⎷2?1 +x2=⎷2?

1 +12x2-18?

2+116?

3+o(x3)?

2 +⎷2

4x-⎷

32x2+⎷

128x3+o(x3).

2+x36+x424+o(x4) = 2?

1 +x2+x24+x312+x448+o(x4)?

2+x24+x312+x448+o(x4)?

DL deln(1+u)pour obtenirln(1+ex) = ln(2)+x

2+x24+x312+x448-12?

48x4-18x2-132x4-18x3-124x4+124x3+116x4-164x4+o(x4), soitf(x) = ln(2) +12x+

8x2-1192x4+o(x4).

Enfin un calcul très rapide :sin(x) =x-x3

6+x5120-x75 040+o(x7), soitf(x) = 1-16x2+

120x4-15 040x6+o(x6).

On a déjà calculé le DL de?

écrira donccos(⎷

2x+724x2-1720x3+o(x3).

Une composée classique :eu= 1 +u+u2

2+u36+u424+u5120+o(x5), doncesin(x)= 1 +

6+x5120?

120x5+o(x5), soitf(x) = 1 +x+12x2-18x4-115x5+o(x5).

1 + 2h+32h2+12h3+o(h3)?

2(x-2)2+486(x-2)3+o(x-2)3, ce qui donne bien le même

DL que plus haut.

1 +x-x3

6+o(x4)?

6x3-12x2+16x4+13x3-14x4+o(x4) =x-12x2+16x3-112x4+o(x4). En

2x3+16x4+o(x4), doncexln(1+sin(x))=

1+x2-1

2x3+16x4+12?

2-12x3+16x4?

2x3+23x4+o(x4).

1 +x2, doncf?(1) =12; etf??(x) =-2x(1 +x2)2, doncf??(1) =-12. Il ne reste plus

4+12(x-1)-14(x-1)2+o(x-1)2.

1 +x2que sur l"arctangente elle-même car on ne saura pas vraimentquoi faire dearctan(1+h).

Allez, faisons le calcul : en posanth=x-1,1

1 + (h+ 1)2=12 + 2h+h2=12×11 +h+12h2=

2(1-h+o(h)) =12-12h+o(h). On primitive ensuite, en ajoutant bien sûr la constanteπ4:

4+12h-14h2+o(h), qui est bien le DL trouvé plus haut.

2h-18h2+116h3+o(h3), etln(⎷x) = ln?

1 +12h-18h2+116h3+o(h3)?

16h3-12?

12h-18h2+116h3?

12h-18h2+116h3?

16h3+124h3+o(h3). On en déduit quef(x) =x→112(x-1)-14(x-1)2+16(x-1)3+o(x-1)3.

2ln(x) =12ln(1 + (x-1)), et appliquer le DL deln(1 +u)en0.

1 +x= 1+12x-18x2+116x3+o(x3), donc?1 +⎷1 +x=?2 +12x-18x2+116x3+o(x3) =

On commence par écrire1

On sait quecos(x) = 1-x2

Enfin un calcul très rapide :sin(x) =x-x3

On a déjà calculé le DL de?

Une composée classique :eu= 1 +u+u2

Rien de bien difficile :cos(3x) = 1-9

Ce qui est dans l"arcsinus tend vers1