Ces bornes peuvent être réelles ou infinies Nous distinguons deux notions : les asymptotes et les branches paraboliques Asymptote verticale Si a est une borne
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3° cas : a=+∞, l=+∞ Méthode : pour connaître la pente de f au voisinage de +∞, on calcule lim ( ) x f x x →+∞ ① si 0 = +∞→ x )x(f lim x , la branche infinie
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Branches infinies Une branche infinie du graphe d'une fonction est une partie de la courbe qui s'éloigne infiniment de l'origine Nous étudions deux types de
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[PDF] TECHNIQUES & MÉTHODES S03 ÉTUDE DE - MPSI Saint-Brieuc
Ces bornes peuvent être réelles ou infinies Nous distinguons deux notions : les asymptotes et les branches paraboliques Si a est une borne réelle du domaine
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Il est possible de préciser la courbe représentative d'une fonction qui admet une limite infini en l'infini I Asymptote Oblique On dit que la droite d'équation y = ax +
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f(x) = 0 2 3 Utilisation des voisinages La méthode précédente am`ene `a considérer de nombreux cas On peut éviter cela de la façon
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2 déc 2012 · Pas de branche infinie à étudier puisque y n'a pas de limite en 소с, et pas utiliser pour déterminer le vecteur tangent la méthode alternative :
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Question: Etudier une branche infinie de la fonction f définie par f(x)=1+ x + √ x2 − 5x + 6 Réponse: On étudie f(x) quand x tend vers l'infini dans l'intervalle [3,+
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Compléments sur les branches infinies Méthode Lorsqu'on étudie une fonction, si le domaine est symétrique par rapport à 0 (et unique- ment dans ce cas,
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MPSILyc´ee Rabelais`alire tranquillementpour lundi 28 septembre 2009 Fiche m´ethode : Etude de fonctions
Le plan d"´etude d"une fonction est comme suit : 1Ensemble de d´efinition, ensemble d"´etude
2Etude de la continuit´e (si n´ecessaire)
3 Etude de la d´erivabilit´e (si n´ecessaire) 4Etude des variations
5 Etude des limites aux bornes de l"ensemble de d´efinition 6Trac´e de la courbe repr´esentative Γf.
Partie I.Domaine de d´efinition et domaine d"´etudeI-1.Domaine de d´efinition
La fonction `a ´etudier est construite par op´erations `a partir de fonctions usuelles. Vous en d´eduisez
le domaine de d´efinitionDfdef. En g´en´eral, les th´eor`emes "OPA" sur les fonctions continues ou
d´erivables permettent directement de conclure quant `a lacontinuit´e et `a la d´erivabilit´e def.
Exemple :f(x) = ln[x(x-1)] est d´efinie et de classeC∞sur ]- ∞,0[?[1,+∞[.I-2.Domaine d"´etude
LorsquefestT-p´eriodique, on peut restreindre l"´etude `a un intervalle de longueurT, par exemple
D f∩[0,T[, et compl´eter par sym´etrie.Il est possible de restreindre le domaine d"´etude lorsquefest paire ou impaire. Plus g´en´eralement,
s"il existea?Dftel que ?si pour toutx,f(2a-x) =f(x), alors la droite d"´equationx=aest axe de sym´etrie de Γf. On peut restreindre l"´etude `aDf∩[a,+∞[ et compl´eter ensuite par sym´etrie. ?si pour toutx,f(2a-x) = 2f(a)-f(x), alors le pointA?a f(a)? est centre de sym´etrie de Γ f. On peut restreindre l"´etude `aDf∩[a,+∞[ et compl´eter ensuite par sym´etrie. Exemple :La fonctionf(x) = sin2xcos2xest de classeC∞surRpar op´erations alg´ebriques. De plus,fest paire etπ-p´eriodique. On restreint l"´etude `a [0,π/2]. Partie II.Etude de la continuit´e aux points particuliersParfois les th´eor`emes "OPA" sur les fonctions continues ne permettent pas de conclure. Des ´etudes
particuli`eres sont alors n´ecessaires.C"est le cas, notamment, lorsque la fonctionfest d´efinie par des expressions diff´erentes `a gauche et
`a droite d"un pointa. Exemple :Soitf:R→Rd´efinie parf(0) = 0, et pour toutx?R?,f(x) =?x(1-lnx) six >0 xln(1-1/x) six <0 En ce cas, vous utilisez les limites `a droite et `a gauche :Proposition.-sifest d´efinie au pointa.
limx→af(x) =f(a)???lim
x→a-f(x) =f(a)lim
x→a+f(x) =f(a) Exercice 1 :Etudiez la continuit´e de la fonctionf:R→Rd´efinie par pour toutx?R, f(x) =?x?+? x- ?x?Partie III.Etude de la d´erivabilit´e
Comme pour la continuit´e, la question est souvent r´egl´eepar OPA sur des fonctions d´erivables.
N´eanmoins, une ´etude particuli`ere est parfois n´ecessaire. Pour ´etudier la d´erivabilit´e en un pointadu domaine de d´efinition, vous pouvez revenir `a la d´efinition et ´etudier la limite des taux de variationsf(x)-f(a) x-a´etudier les d´eriv´ees `a gauche et `a droite au pointa: lorsqu"elles existent et sont finies, il s"agit
des limites : f ?g(a) = lim x→a-f(x)-f(a) x-aetf?d(a) = lim x→a+f(x)-f(a)x-a Proposition.-S"il existed?Rtel quef?g(a) =f?d(a) =d,alors fest d´erivable au pointaetf?(a) =d.Vocabulaire :Sif?g(a)etf?d(a)existent mais sont diff´erentes, on dit que le graphe defpr´esente un
point anguleux. Exercice 2 :Etudiez la d´erivabilit´e def(x) =? x3(2-x). 2Th´eor`eme.- condition suffisante de d´erivabilit´eSoitfune fonction d´erivable d´erivable dansI\ {a}.
S"il existed?Rtel que limx→aPartie IV.Variations
Vous r´esolvez l"in´equationf?(x)≥0, et non pas l"´equationf(x) = 0 Vous en d´eduisez, grˆace aux
liens avec la monoonie les variations def. Vous pr´esentez ces r´esultats sous forme d"un tableau de variations.Exercice 3 :Etudiez les variations def(x) =x+?
3x(8-x).
Partie V.Etude aux bornes du domaine
V-1.D´efinitions
L"´etude des branches infinies sert `a pr´eciser l"allure dela courbe repr´esentative d"une fonction au
voisinage des bornes du domaiie. Ces bornes peuvent ˆetre r´eelles ou infinies. Nous distinguons deux
notions : les asymptotes et les branches paraboliques.Asymptote verticale
Siaest une borne r´eelle du domaine de d´efinition, le graphe defpeut pr´esenter un point d"arrˆet
ou une asymptote verticale. Il s"agit d"´etudier limx→af(x), o`uaest une borne r´eelle du domaine de
d´efinition. On suppose de plus quefn"est pas d´efinie au pointa.D´efinition :S"il existe un nombre r´eel??Rtel quelimx→af(x) =?, on dit quefest prolongeable par
continuit´e au pointa. Le graphe defpr´esente alors unpoint d"arrˆetenA(a,?). 3 D´efinition :On dit que la droite d"´equationx=aestasymptote verticale`aCfsilimx→af=±∞. Exemple :La fonction ln(x-2)+xsinxadmet la droite d"´equation x= 2 comme asymptote verticale.±10±8±6±4±202468
Supposons d´esormais que +∞est une borne du domaine de d´efinition. Au voisinage de +∞, le
graphe defpeut pr´esenter une asymptote (horizontale ou oblique), ouune branche parabolique.Asymptote horizontale
D´efinition :On dit que la droite d"´equationy=?estasymptote horizontaleen+∞`aCfsilimx→+∞f(x) =?. On dit que la droite d"´equationy=?estasymptote horizontale en-∞`aCfsilimx→-∞f(x) =?.Exemple :La fonction 5-exp(-x+⎷
3x+ 1) admet la droite
d"´equationy= 5 comme asymptote horizontale en +∞.012345678
1 2 3 4 5 6 7
Asymptote oblique
D´efinition :On dit que la droite d"´equationy=a x+b(a?R?, b?R) estasymptote obliqueen+∞`aCfsilimx→+∞?f(x)-ax- b?= 0. On dit que la droite d"´equationy=a x+b(?R?etb?R) est asymptote obliqueen-∞`aCfsilimx→-∞?f(x)-ax-b?= 0.Exemple :La fonction 2 +1
2x+ 5x2(x-2) exp(-x) admet la
droite d"´equationy= 2 +12xcomme asymptote oblique en +∞.
012345678
y1 2 3 4 5 6 7
xBranche parabolique de direction(Ox)
D´efinition :On dit queCfpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique(Ox)en+∞si :limx→+∞f(x) =±∞.
limx→+∞f(x)
x= 0Exemple :La fonction lnx+⎷
2x-1 pr´esente une branche para-
bolique de direction asymptotique (Ox) en +∞.012345678
y1 2 3 4 5 6 7
x 4Branche parabolique de direction(Oy)
D´efinition :On dit queCfpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique(Oy)en+∞si :limx→+∞f(x) =±∞.
limx→+∞f(x)
x=±∞Exemple :La fonction 1-⎷
x+x22pr´esente une branche parabo- lique de direction asymptotique (Oy) en +∞.012345678
y1 2 3 4 5 6 7
x Branche parabolique de direction la droite d"´equationy=ax D´efinition :On dit queCfpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique la droite d"´equationy=axen +∞si :limx→+∞f(x)
x=a.limx→+∞f(x)-ax=±∞
Exemple :Le graphe de la fonctionx
2+⎷2x-2 pr´esente une
branche parabolique de direction asymptotique la droite d"´equation y=12xen +∞.
012345678
y2 4 6 8 10 12
xV-2.Recherche des branches infinies
Pour l"´etude des branches infinies, pensez avant tout `a utiliser les d´efinitions, car l"´enonc´e vous
guide souvent. Si ce n"est pas le cas, vous proc´edez de la mani`ere suivante : Au voisinage d"un pointa?¯I(une borne r´eelle de l"intervalle) : ?si limx→af(x) =±∞, la droite d"´equationx=aest asymptote verticale. Au voisinage d"une borne infinie de l"intervalle, par exemple +∞: ?Si limx→+∞f(x) =??R, la droite d"´equationy=?est asymptote horizontale. Si limx→+∞f(x) =±∞, il faut poursuivre l"analyse ... ?Si limx→+∞f(x) x= 0, la courbe pr´esente une branche parabolique de direction asympto- tique (Ox) ?Si limx→+∞f(x) x=±∞, la courbe pr´esente une branche parabolique de direction asymp- totique (Oy)