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Feuille d"exercices n°6 : corrigé

PTSI B Lycée Eiffel

2 décembre 2012

Exercice 1 (*)

La fonctionf1et définie sur+. En0+, la limite def1est égale à0puisque le numéra- teur tend vers0(rappelons quexln(x)a pour limite0en0par croissance comparée) et le dénominateur vers1, donc il n"y a pas d"asymptote verticale. Ensuite,f1(x) =x+ lnx

1 +1x,

donclimx+f1(x) = +, etf1(x) x=1 +lnx x

1 +1x, donclimx+f(x)x= 1. Il faut donc calculer

f(x)x=x+ lnxx1

1 +1x=lnx11 +1x. On a donclimx+f(x)x= +, la courbe defadmet

en+une branche parabolique de directiony=x. La dérivée de cette fonction vautf1(x) = (2x+ ln(x) + 1)(x+ 1)x2xln(x) (x+ 1)2=x2+ 3x+ 1 + ln(x)(x+ 1)2. Pas vraiment évident à étudier, on peut toutefois notergle numérateur et constater queg(x) = 2x+ 3 +1 x=2x2+ 3x+ 1x. Le discriminant du numérateur vautΔ = 88 = 1, il s"annule pourx1=31

4=1, et

x

2=3 + 1

4=12, deux valeurs négatives. On en déduit queg(x)est positif surf, doncg

y est croissante. Comme la limite degen0vautet queg(1) = 4, la fonctiong(et donc la fonctionf) s"annule une seule fois, entre0et1. La fonctionf1admettra à cet endroite un minimum. Voici l"allure de la courbe :

0 1 2 3 4 5

012345

Un classique :f2=1;1. En1, le numérateur tend vers4et le dénominateur vers

0, il y a donc des limites infinies et une asymptote verticale d"équationx=1. Par contre,

en1, numérateur et dénominateur tendent vers0, on est obligés de factoriser de chaque côté.

Pour le numérateur, remarquons quex32x2+x=x(x22x+ 1) =x(x1)2, donc pour x= 1,f2(x) =x(x1) x+ 1, qui a pour limite0en1. Pas de deuxième asymptote verticale donc. 1 Pour les infinis, on peut utiliser le quotient des termes de plus haut degré :limx+f2(x) = lim x+x 3 x2= +et de mêmelimx+f

2(x)x= limx+x

3x3= 1. Reste à calculerf2(x)x=

x

32x2+xx3+x

x21=2x2+ 2xx21, qui a pour limite2en+. Conclusion de tous ces calculs : la droite d"équationy=x2est asymptote oblique à la courbe en+et en (où les calculs sont les mêmes). Pour le calcul de la dérivée il vaut évidemment mieux partir def2(x) =x(x1) x+ 1pour obtenir f

2(x) =(2x1)(x+ 1)(x2x)

(x+ 1)2=x2+ 2x1(x+ 1)2. Le numérateur a pour discriminantΔ =

4 + 4 = 8, la dérivée s"annule pourx1=22

2

2=12, et pourx2=2 + 22

2=

21. On peut aller jusqu"à calculerf2(x1) =(12)(22)

2=43

22=223,

etf2(x2) =(

21)(22)2= 223. Ce qui permet de dresser le magnifique tableau de

variations suivant : x 21121 1 + f2(x)+ 00 + + f2 ??2

23????

????2 23??
??0??

Et la courbe qui va avec :

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

012345

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -10 La fonctionf3est définie surpuisqu"une exponentielle est strictement positive. Il suffit donc 2 de regarder ce qui se passe aux infinis, et on peut commencer par constater quef3est paire. La limite en+def3est+et de plusf3(x) = ln(ex(1+e2x)) =x+ln(1+e2x), doncf3(x) x= 1 + ln(1 +e2x) x, qui a pour limite1quandxtend vers+. Enfin,f(x)x= ln(1 +e2x), qui tend vers0, donc la droite d"équationy=xest aymptote oblique à la courbe en+. Par symétrie par rapport à l"axe des abscisses, la droite d"équationy=xest asymptote oblique en.

On calculef3(x) =exex

ex+ex, qui est positive sur[0;+[(et négative sur] ;0], ce qui est cohérent avec la parité). Il y a donc un minimum en0de valeurf3(0) = ln(2).

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

012345

-1 Le domaine de définition est+et il y a une asymptote verticale en0(limite). De plus, lim x+f4(x) = +etf4(x) x=1x+lnxx, donclimx+f

4(x)x= 0. Il y a donc en+une

branche parabolique de direction(Ox). L"étude des variations ne pose ici aucun problème et ne nécessite même absolument aucun calcul : la fonction est somme de deux fonctions strictementcroissantes, elle est donc strictement croissante.

0 1 2 3 4 5 6 7 8-1

012345

-1 -2 -3 -4 -5 La fonctionf5est définie quand2x+ 1x1?0, donc (petit tableau de signe) sur? ;12? ]1;+[. En1

2, il n"y a rien à faire, la fonction est définie (et prend pour valeur0), il ne peut pas y

3 avoir d"asymptote verticale. Par contre, en1, il y a bien une limite infinie, donc une asymp- tote verticale. Enfin, quandx ,2x+ 1 x12, doncf x5(x) =2, il y a donc une asymptote horizontale d"équationy= 2. Par ailleurs, les variations def5sont les mêmes que celles dex2x+ 1 x1(puisque la ra- cine carrée est strictement croissante), qui a pour dérivée

2(x1)(2x+ 1)

(x1)2=3(x1)2. La fonctionf5est donc décroissante sur chacun de ses deux intervalles de définition.

0 1 2 3 4 5-1-2-3-4-5

012345

-1 Enfin,f6est définie quandx23x+ 2>0, c"est-à-dire en-dehors de ses racines évidentes qui sont1et2, doncf6=] ;1[]2;+[. En1et2, la parenthèse tend vers0donc la fonction vers, il y a donc deux asymptotes verticales. En, la fonction tend vers+, et f6(x) x=ln(x2(13 x+2x2)) x=2lnxx+1xln?

13x+2x2?

. Tout ceci tendant vers0, il y a une branche parabolique de direction(Ox)de chaque côté. La fonctionlnétant strictement croissante, les variations def6sont les mêmes que celles de xx23x+2, qui a pour dérivée2x3. La fonctionf6est donc décroissante sur];1[ et croissante sur]2;+[.

0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3-4

012345

-1 -2 -3 -4 -5

Exercice 2 (**)

Étude de la fonctionf

Comme1 +x2est toujours strictement positif, la fonctionfest définie suret y est. On peut également constater que la fonction est paire. 4 On a sans difficultélimx+f(x) = +, et commef(x)x?ln(2x2)x,limx+f(x)x= 0par croissance comparée. La courbe représentative defadmet donc une branche parabolique de direction(Ox)en +. Même conclusion enen utilisant la parité ou en effectuant des calculs très similaires.

Étudions désormais les variations :f(x) =2x

x2+ 1, doncfest décroissante suret croissante sur +, atteignant en0un minimum de valeurf(0) = ln(1) = 0. De plus,f(x) =2(x2+ 1)2x(2x) (x2+ 1)2=

2(1x2)

(x2+ 1)2. La fonctionfa donc deux points d"inflexion pourx= 1etx=1, de hauteurf(1) = f(1) = ln(2)et dont les tangentes ont pour pentes respectivesf(1) =2

2= 1etf(1) =22=1.

La fonctionfest convexe sur[1;1](sa dérivée seconde est alors positive), et concave sur];1] et sur[1;+[. Voici une allure de la courbe :

0 1 2 3 4-1-2-3-4

01234
-1

Étude de la fonctiong

La fonctiongest définie etsur1.

On alimx+e1

1-x= 1, donclimx+g(x) = +puislimx+g(x)x= 2et enfinlimx+g(x)2x=2. Il

y a donc en+une asymptote oblique d"équationy= 2x2. Cette asymptote est d"ailleurs tout aussi valable enpar des calculs similaires.

Du côté de1c"est plus compliqué :limx1-1

1x= +, ce dont on déduitlimx1-g(x) = +. Il y a

donc une asymptote verticale d"équationx= 1. Mais par ailleurslimx1+1

1x=, ce dont on

déduit cette fois quelimx1+g(x) = 23 =1. La fonctiongest donc prolongeable " par continuité à

droite » en posantg(1) =1.

Dérivons désormais :g(x) =1

(1x)2e1

1-x+2, qui a le bon gout de toujours être positif. La fonction

est donc croissante sur chacun de ses deux intervalles de définition. De plus,ga pour limite2en1+ (on a toujourslimx1+1

1x=et, par croissance comparée,limXX2eX= 0, donc la composition

des limites nous donne une limite nulle pour le premier morceau). Il y aura donc une demi-tangente à droite de pente2en notre point prolongé par continuité à droite.

Enfin,g(x) =?2

(1x)3+1(1x)2? e 1

1-x=3x(1x)3e1

1-x. Il y a donc un point d"inflexion pour

x= 3, etg(3) =e1

2+ 3 =1e+ 3;g(3) =e1

2

4+ 2 =14e+ 2. La fonctionfest convexe sur

5 ];1[et sur[3;+[et concave sur[1;3](le dénominateur changeant de signe pourx= 1). Avec tout ça, on doit pouvoir tracer une courbe ressemblant à la suivante :

0 1 2 3 4-1-2

012345

-1 -2 -3 -4 -5

Étude de la fonctionh

La fonction donnée dans l"énoncé ayant été étudiée en détailen cours, on va la remplacer par

h(x) =

1x2. Cette fonction est définie sur[1;1]etsur]1;1[.

Pas de limites à calculer, bornons-nous à constater queh(1) =h(1) = 0.

On ah(x) =2x

21x2=x1x2. La fonction est donc croissante sur[1;0]et décroissante sur

[0;1]. On peut par ailleurs constater que la dérivée a une limite infinie en1et en1, ce qui prouve la

présence de tangentes verticales en ces points. Il y a un maximum en0de valeurh(0) = 1. Passons

àh(x) =

1x2+xx1x2

1x2=1 +x2x2(1x2)32=1(1x2)32. La fonctionhest donc concave.

Les plus observateurs reconnaitront dans la superbe courbequi suit un demi-cercle : 0 1-1 01

Étude de la fonctioni

La fonctioniest bien sûr définie etsur]0;+[. 6 La limite deiquandxtend vers0est(non, il n"y a pas de forme indéterminée), il y a donc une

asymptote verticale d"équationx= 0. Par croissance comparée,limx+i(x) = 0, donc il y a également

une asymptote horizontale (l"axe des abscisses) en+.

Commei(x) =2(2lnx+ 3)

x2=12lnxx2, la fonctioniadmet un maximum enx=e1 2=1e, de valeuri?1 e? = (2(12) + 3)e= 2e. De plus,i(x) =2x2x(12lnx)x4=4lnxx3. La fonction admet donc un point d"inflexion pourx= 1, eti(1) = 3;i(1) =1. La fonctioniest concave sur]0;1]et convexe sur[1;+[, avec une courbe ressemblant à ceci :

0 1 2 3 4 5 6 7 8

01234
-1 -2 -3 -4

Exercice 3 (* à ***)

1. Les deux fonctions coordonnées sont ici périodiques, de période respectiveπet2π

3, ce qui nous

permet de restreindre l"étude à l"intervalle[π;π](puisque2πest une période commune aux

deux coordonnées). De plus, la fonctionxest impaire et la fonctionypaire, il y a donc une

symétrie par rapport à l"axe des ordonnées qui permet de restreindre encore l"étude à[0;π]. Les

deux fonctions sont,x(t) = 2cos(2t)s"annule enπ

4et en3π4(sut l"intervalle d"étude) et

y (t) =3sin(3t)s"annule en0,π

3,2π3etπ(il n"y a donc pas de point stationnaire). Les divers

calculs de valeurs ne posent pas de problème particulier, par exemplex?π 3? = sin?2π3? 3 2,

ety(t) = cos(π) =1. On obtient finalement le tableau suivant (désolé pour les flèches mal

fichues pourx, je ne peux pas faire trois flèches décroissantes successives) : 7 x0π4π32π33π4πx(t)+ 0 0 + x0?? ??1????3

2????3

2? ???1?? ??0y(t)0 0 + 0 0 y 1???? 2

2????1??

??1 2

2????1

Les points doubles sont ici nombreux, on ne fera pas la liste complète, mais on peut tout de même en remarquer un facile : pourπ

2et3π2, la courbe passe par l"origine du repère. Comme

x 2? =2ety?π2? = 3, la tangente à l"origine pourt=π2sera dirigée par le vecteur (2,3). De même, pour3π

2(qui est en-dehors de notre intervalle d"étude), un vecteurtangent

sera(2,3). La courbe ressemble à ceci (les tangentes particulières nesont indiquées que sur l"intervalle[0;π], le reste de la courbe étant obtenu par symétrie) :quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26