Ces bornes peuvent être réelles ou infinies Nous distinguons deux notions : les asymptotes et les branches paraboliques Si a est une borne réelle du domaine
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3° cas : a=+∞, l=+∞ Méthode : pour connaître la pente de f au voisinage de +∞, on calcule lim ( ) x f x x →+∞ ① si 0 = +∞→ x )x(f lim x , la branche infinie
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Branches infinies Une branche infinie du graphe d'une fonction est une partie de la courbe qui s'éloigne infiniment de l'origine Nous étudions deux types de
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Ces bornes peuvent être réelles ou infinies Nous distinguons deux notions : les asymptotes et les branches paraboliques Asymptote verticale Si a est une borne
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Ces bornes peuvent être réelles ou infinies Nous distinguons deux notions : les asymptotes et les branches paraboliques Si a est une borne réelle du domaine
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Il est possible de préciser la courbe représentative d'une fonction qui admet une limite infini en l'infini I Asymptote Oblique On dit que la droite d'équation y = ax +
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f(x) = 0 2 3 Utilisation des voisinages La méthode précédente am`ene `a considérer de nombreux cas On peut éviter cela de la façon
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2 déc 2012 · Pas de branche infinie à étudier puisque y n'a pas de limite en 소с, et pas utiliser pour déterminer le vecteur tangent la méthode alternative :
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Question: Etudier une branche infinie de la fonction f définie par f(x)=1+ x + √ x2 − 5x + 6 Réponse: On étudie f(x) quand x tend vers l'infini dans l'intervalle [3,+
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Compléments sur les branches infinies Méthode Lorsqu'on étudie une fonction, si le domaine est symétrique par rapport à 0 (et unique- ment dans ce cas,
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MPSI du lyc´ee Rabelaishttp://mpsi.saintbrieuc.free.frsemaine du 3+1erseptembre 2011
TECHNIQUES & M´ETHODES S03
NB :cette fiche reprend les techniques n´ecessairesminimales; elle ne constitue donc pas un objectif, mais un pr´erequis!
´ETUDE DE FONCTIONS
Le plan d"´etude d"une fonction est comme suit : 1Ensemble de d´efinition, ensemble d"´etude
2 ´Etude de la continuit´e (si n´ecessaire) 3 ´Etude de la d´erivabilit´e (si n´ecessaire) 4Variations
5 ´Etude des limites aux bornes de l"ensemble de d´efinition 6Trac´e de la courbe repr´esentative Γ.
Domaine de d´efinition et domaine d"´etude
Domaine de d´efinition
La fonction `a ´etudier est construite `a par op´erations, `a partir de fonctions usuelles.Vous en d´eduisez le domaine de d´efinitionde. En g´en´eral, les th´eor`emes "OPA" sur les fonctions continues ou
d´erivables permettent directement `a la continuit´e et `ala d´erivabilit´e de. Exemple :() = ln[(?1)] est d´efinie et de classesur ]? 0[[1+[.Domaine d"´etude
Lorsqueest-p´eriodique, on peut restreindre l"´etude `a un intervalle de longueur, par exemple[0[, et
compl´eter par sym´etrie.Il est possible de restreindre le domaine d"´etude lorsqueest paire, impaire. Plus g´en´eralement, s"il existetel
quesi pour tout,(2?) =(), alors la droite d"´equation=est axe de sym´etrie de Γ. On peut restreindre
l"´etude `a[+[ et compl´eter ensuite par sym´etrie. si pour tout,(2?) = 2()?(), alors le point? est centre de sym´etrie de Γ . On peut restreindre l"´etude `a[+[ et compl´eter ensuite par sym´etrie.Exemple :La fonction() = sin2cos2est de classesurRpar op´erations alg´ebriques. De plus,est paire et
-p´eriodique. On restreint l"´etude `a [02]. ´Etude de la continuit´e aux points particuliersParfois les th´eor`emes "OPA" sur les fonctions continues ne permettent pas de conclure. Des ´etudes particuli`eres
sont alors n´ecessaires. C"est le cas, notamment, lorsque la fonctionest d´efinie par des expressions diff´erentes `a gauche
et `a droite d"un point. Exemple :Soit:RRd´efinie par(0) = 0, et pour toutR,() =?(1?ln) si 0 ln(1?1) si 0 En ce cas, vous utilisez les limites `a droite et `a gauche :Proposition.-siest d´efinie au point.
lim() =()? lim-() =() lim+() =()Exercice 1 :´Etudiez la continuit´e de la fonction d´efinie dans l"exemple pr´ec´edent.
Exercice 2 :
´Etudiez la continuit´e de la fonction:RRd´efinie par pour toutR () =+?´Etude de la d´erivabilit´e
Comme pour la continuit´e, la question est souvent r´egl´eepar OPA sur des fonctions d´erivables. N´eanmoins, une
´etude particuli`ere est parfois n´ecessaire. Pour ´etudier la d´erivabilit´e en un pointdu domaine de d´efinition, vous pouvez 1 revenir `a la d´efinition et ´etudier la limite des taux de variations()?()?´etudier les d´eriv´ees `a gauche et `a droite au point: lorsqu"elles existent et sont finies, il s"agit des limites:
() = lim-()?() ?et() = lim+()?()?Proposition.-S"il existeRtel que() =() =,alors
est d´erivable au pointet() =.Vocabulaire :Si()et()existent mais sont diff´erentes, on dit que le graphe depr´esente unpoint anguleux.
Exercice 3 :
´Etudiez la d´erivabilit´e de() =?
3(2?).
Th´eor`eme.-Soitune fonction d´erivable au voisinage de.S"il existeRtel que lim
-() =,alorsest d´erivable `a gauche au pointet() = lim Silim-() =,alorsn"est pas d´erivable `a gauche enet lim-()?() Remarque :On a bien sˆur un ´enonc´e analogue pour la d´eriv´ee `a droite.Variations
Vous r´esolvez l"in´equation()0. Vous en d´eduisez, grˆace auTh´eor`eme??, les variations de.
Exercice 4 :
´Etudiez les variations de() =+?
3(8?).
´Etude aux bornes
L"´etude des branches infinies sert `a pr´eciser l"allure dela courbe repr´esentative d"une fonction au voisinage des
bornes de l"intervalle. Ces bornes peuvent ˆetre r´eelles ou infinies. Nous distinguons deux notions : les asymptotes et
les branches paraboliques. Siaest une borne r´eelle du domaine de d´efinition Il s"agit de d"´etudier lim(), o`uest une borne r´eelle du domaine de d´efinition. On suppose de plus quen"est pas d´efinie au point. D´efinition :S"il existe un nombre r´eelRtel quelim() =, on dit queest prolongeable par continuit´e au point. D´efinition :On dit que la droite d"´equation=estasymptote verticale`aCsi lim=. Exemple :La fonction ln(?2) +sinadmet la droite d"´equation= 2 comme asymptote verticale.±10±8±6±4±202468
Si+est une borne du domaine de d´efinition
Asymptote horizontale
D´efinition :On dit que la droite d"´equation=estasymptote horizontaleen +`aCsilim+() =. On dit que la droite d"´equation=estasymptote horizontaleen?`aCsi lim() =.Exemple :La fonction 5?exp(?+
3+ 1) admet la droite d"´equation= 5
comme asymptote horizontale en +.012345678
1 2 3 4 5 6 7
2 Asymptote obliqueD´efinition :On dit que la droite d"´equation= +(R,R) estasymptote obliqueen+`aCsilim+?()???= 0. On dit que la droite d"´equation= +(RetR) estasymptote oblique en?`aCsilim?()???= 0.Exemple :La fonction 2 +1
2+ 52(?2) exp(?) admet la droite d"´equation
= 2 +12comme asymptote oblique en +.
012345678
y1 2 3 4 5 6 7
xBranche parabolique de direction()
D´efinition :On dit queCpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique()en+si : lim+() =. lim+() = 0Exemple :La fonction ln+
2?1 pr´esente une branche parabolique de direction
asymptotique () en +.012345678
y1 2 3 4 5 6 7
xBranche parabolique de direction()
D´efinition :On dit queCpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique()en+si : lim+() =. lim+()Exemple :La fonction 1?
+22pr´esente une branche parabolique de directionasymptotique () en +.
012345678
y1 2 3 4 5 6 7
x Branche parabolique de direction la droite d"´equation= D´efinition :On dit queCpr´esente unebranche parabolique de direction asymptotique la droite d"´equation=en+si : lim+() lim+()?=Exemple :Le graphe de la fonction
2+2?2 pr´esente une branche parabolique
de direction asymptotique la droite d"´equation=12en +.
012345678
y2 4 6 8 10 12
xRecherche des branches infinies
Pour l"´etude des branches infinies, pensez avant tout `a utiliser les d´efinitions, car l"´enonc´e vous guide souvent. Si
ce n"est pas le cas, vous proc´edez de la mani`ere suivante : Au voisinage d"un point¯(une borne r´eelle de l"intervalle) : ?si lim() =, la droite d"´equation=est asymptote verticale. Au voisinage d"une borne infinie de l"intervalle, par exemple +: ?Si lim+() =R, la droite d"´equation=est asymptote horizontale.