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2σ2 ) Déterminer des lois : exemples Exercice 1 Lois binomiale et géométrique Soit X1,X2, une suite de variables aléatoires indépendantes et de loi B(p) où

Table des matières 1 Introduction aux probabilités 2 2 V a r, espérance, fonction de répartition 3 3 Lois usuelles 5 3 1 Loi de Bernoulli, loi binomiale

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Partie A : Loi binomiale Exercice 1 Dans une région pétrolifère, la probabilité qu' un forage conduise à une nappe de pétrole est 0,1 1) Justifier que la

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On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de stylos présentant un défaut parmi les huit stylos prélevés a) On admet que X suit une loi binomiale

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En supposant que les lois de X1 et X2 sont de Poisson de paramètres λ1 et λ2, quelle est la loi de la variable Y ? Solution 1) Par définition de la fonction

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D'autre part, sachant que n colis ont été expédiés, le nombre de ceux qui arriveront détériorés suit la loi binomiale B(n, p), donc pour n > k, P(N=n)(X = k) = ✓ n

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Exercices de probabilités

avec éléments de correctionMemento

Fonctions associées aux lois

PourXvariable aléatoire à valeurs dansRd,

F onctionde répartition (si d= 1) :FX(t) =P(Xt),t2R F onctiongénératrice (si Xà valeurs dansN) :GX(s) =E[sX] =P1 n=0P(X=n)sn,s2 j R;Rj T ransforméede Laplace : LX() =E[eh;Xi]2]0;+1],2Rd F onctioncaractéristique : X(t) =E[eiht;Xi]2C,t2Rd Lois discrètesNomParamètresSupportDéfinition :P(A) =P

a2Ap(a)Loi de Diracaa2Rfagp(a) = 1Loi de BernoulliB(p)p2[0;1]f0;1gp(0) = 1p,p(1) =pLoi binomialeB(n;p)n2N,p2[0;1]f0;:::;ngp(k) =n

kpk(1p)nkLoi géométriqueG(p)p2]0;1]N p(k) = (1p)k1pLoi de PoissonP()2]0;+1[Np(k) =ekk!Lois continues

NomParamètresSupportDéfinition :P(A) =R

Af(x)dxLoi uniformeU([a;b])a < b[a;b]f(x) =1ba1[a;b](x)Loi exponentielleE()2]0;1[]0;+1[f(x) =ex1]0;+1[(x)Loi de Cauchya2]0;+1[Rf(x) =a(a2+x2)Loi normale/gaussienneN(m;2)m2R; 22]0;+1[Rf(x) =1p22exp

(xm)222Déterminer des lois : exemples

Exercice 1.Lois binomiale et géométrique

SoitX1;X2;:::une suite de variables aléatoires indépendantes et de loiB(p)oùp2[0;1].

1.On supposep >0. On définitN= inffn1jXn= 1g.

1.a)Montrer queP(N=1) = 0et queNsuit la loi géométrique de paramètrep.

1.b)Calculer l"espérance et la variance deN.

2.Soitn1. On définitSn=X1++Xn.

2.a)Montrer queSnsuit la loi binomiale de paramètresnetp, par une preuve directe puis en utilisant des

fonctions génératrices.

2.b)Calculer l"espérance et la variance deSn(utiliser la définition deSn).

Exercice 2.Minimum et maximum d"une famille de variables aléatoires exponentielles

SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de lois respectivesE()etE(). À l"aide de fonctions de

répartition, déterminer les lois deU= min(X;Y)etV= max(X;Y). On précisera leur densité (le cas échéant).

Exercice 3.Somme de variables aléatoires

1.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loisP()etP(). Déterminer la loi deX+Y, directement

puis via les fonctions génératrices.

2.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy de paramètreaetb. À l"aide des fonctions

caractéristiques, déterminer la loi deX+Y.Pour obtenirX, on pourra utiliser la formule de Cauchy avec un

contour bien choisi, ou alors avoir l"idée de calculer la fonction caractéristique de la loi de Laplace

a2 eajxjdx et utiliser la formule d"inversion.

Exercice 4.Lois images

1.SoitXune variables aléatoire de loiE(). Déterminer la loi debXc+ 1.C"est une loi géométrique.

2.SoitUune variable aléatoire de loiU([1;1]). Déterminer la loi dearcsin(U).

3.SoitXde loiN(0;1). Déterminer la loi dejXj.

4.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). Déterminer la loi deXY

. En déduire la loi de 1Z siZsuit une loi de Cauchy de paramètre 1.

5.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). On définit les variables aléatoiresR;par

(X;Y) = (Rcos;Rsin),R >0et2[0;2[. Montrer queRetsont indépendantes et déterminer leurs lois.

Exercice 5.Loi Gamma

Poura >0et >0, on définit la loi

a;par sa densité relativement à la mesure de Lebesgue : f a;(x) =a(a)xa1ex1R+(x):

1.Vérifier que cette fonction définit bien une densité.

2.Déterminer l"espérance de cette loi.On utilise le fait que(a+ 1) =a(a)pour obtenir que l"espérance de cette loi esta=.

3.SoitV1;V2;:::;Vndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiE(). Déterminer la loi du vecteur

(V1;V1+V2;:::;V1++Vn)et en déduire queV1++Vn n;.Pourn= 1, ok. Supposonsn2etS:=V1+:::+Vn1de loi n1;. Soitgune fonction mesurable bornée deRdansR. On a

E(g(V1+:::+Vn)) =E(g(S+Vn)) =Z

R g(x+y)dP(S;Vn)(x;y) et

E(g(V1+:::+Vn)) =Z

R g(t)dPV1+:::+Vn(t): Commef(v1;:::;vn1) =v1+:::+vn1etg(vn) =v2nmesurables on en déduit queSetVnsont indépen- dantes car(V1;:::;Vn1)etVnle sont, Z R g(x+y)dP(S;Vn)(x;y) =Z 1 0 dxZ 1 x dtg(t)n1(n1)etxn2 Z 1 0 g(t)n1(n1)etxn1=(n1)t 0dt Z R g(t)n(n)exp(t)tn11R+(t)dt

4.SoitXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de loi

a;.

4.a)Déterminer la loi deX.On peut utiliser la fonction de répartition. Avec un changement de variable on voit queX

a;1.

4.b)Montrer queX+YetX=Ysont des v.a. indépendantes dont on calculera les lois.Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=Y)(u;v)

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2gf(x;y)dP(X;Y)(x;y)

oùf(x;y) = (x+y;x=y)définie de(R+)2vers(R+)2. Comme les variablesXetYsont indépendantes, le couple(X;Y)a pour densitédPX(x)dPY(y)par rapport à la mesure de Lebesgue surR2. On fait alors le changement de variableu=x+y,v=x=y, pourx >0ety >0; Ceci est équivalent àx=uv=(v+ 1)ety=u=(v+ 1)pouru >0etv >0.

On a de plusjJ(u;v)j=v=(v+ 1)u=(v+ 1)

1=(v+ 1)u=(v+ 1)2

=u(v+ 1)2. Il suit

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)u2a1eu1u>0va1(v+ 1)2a1v>02a(a)2dudv:

2 Les variables sont indépendantes,dPX+Y(u) =2a(2a)u2a1eu1u>0duetdPX=Y(v) = (2a)(a)2v a1(v+ 1)2a1v>0dv.

4.c)Montrer queX+YetX=(X+Y)sont des v.a. indépendantes. Calculer la loi deX=(X+Y).Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=(X+Y))(u;v)

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2gf(x;y)dP(X+Y;X=(X+Y))(x;y)

oùf(x;y) = (x+y;x=(x+y))définie de(R+)2vers(R+)2. Comme les variablesXetYsont indépendantes,

le couple(X;Y)a pour loidPXdPY=fa;(x)fa;(y)dxdy. On fait alors le changement de variableu=x+y,v=x=(x+y), pourx >0ety >0; Ceci est équivalent àx=uvety=u(1v)pouru >0etv2(0;1).

On a de plusjJ(u;v)j=v u

1vu =u. Il suit

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

R Les variables sont donc indépendantes et on a de plusdPX=(X+Y)(v) =(2a)(a)2(v(1v))a1105.SoitXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de loi a;et b;respectivement. Déterminer la loi deX+Y.Le seul point délicat est de calculer Rt

0xa1(tx)b1dx=ta+b1R1

0ya1(1y)b1dy=ta+b1Ca;b. La

constanteCa;best forcément égale à(a)(b)=(a+b)en tenant compte de la normalisation.

6.SoitZ1;Z2;:::;Zndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiN(0;1).

6.a)Montrer queZ21suit une loi

1=2;1=2.SiZ1est de loiN(0;1)etgune fonction mesurable bornée deRdansR, on a

E(g(X2)) =Z

R g(u)dPX2(u)E(g(X2)) =Z R g(x2)dPX(x) =1p2Z R g(x2)ex2=2dx:

Par parité dex7!g(x2)ex2=2on aE(g(X2)) =2p2R

0g(x2)ex2dx=2p2R

0g(y)ey=2dy2

py donc dP

X2(y) =1p2ey=2y1=21R+(y)dy.

6.b)Montrer queZ21++Z2nsuit une loi

n=2;1=2.La loi n=2;1=2est également appelée loi du khi-deux àn

degrés de liberté, notée2n.On le montre par récurrence. Pourn= 1c"est vrai. Supposons queSn1=Z21+:::+Z2n1

n12 ;12 et Z n N(0;1). On aSn=Sn1+Z2n. Commef(z1;:::;zn1) =z21+:::+z2n1etg(xn) =z2nmesurables on

en déduit queSn1etZ2nsont indépendantes car(Z1;:::;Zn1)etZnle sont. On utilise ensuite la question

5 donnant queSnsuit une

n12 +12 ;12 n2 ;12

Propriétés générales

Exercice 6.Conséquences du théorème de Fubini, fonctions indicatrices

Résoudre les questions suivantes en appliquant le théorème de Fubini(-Tonelli) de la façon suggérée.

1.SoitNune variable aléatoire à valeurs dansN. Montrer que

E[N] =X

n1P(Nn): 3 On note que, commeNest à valeurs entières,N=PN k=11 =P1 k=11fkNg. Le théorème de Fubini-Tonelli donne

E[N] =E"

1X k=11 fkNg# =1X k=1E[1fkNg] =1X k=1P(kn):

Le théorème de Fubini est ici appliqué à la fonction(n;!)7!1fkN(!)gpar rapport à la mesure produit

m N P, oùmNest la mesure de comptage surN:mN(A) = Card(A)siAN(et doncRfdmN=P n2Nf(n)

pourf:N!R). En l"occurrence, il est en fait plus simple de voir ceci comme une application du théorème

de convergence monotone pour les séries à termes positifs.

2.SoitXune variable aléatoire à valeurs dansR+, et >0. Montrer que

E[X] =Z

1 0 t1P(X > t)dt

et donner une généralisation de cette formule.On note que, commeX0, par " intégration de la dérivée »,X=RX

0t1dt=R1

01ft théorème de Fubini-Tonelli (pour la mesuredt
P) donne donc

E[X] =Z
1 0
E[1ft 1 0
P(X > t)t1dt:
Le principe de la preuve s"applique par exemple à toute fonctiongmonotone de classeC1de]0;+1[dans
R, pour laquelle on peut écrireg(X) =g(0) +RX

0g0(t)dt, d"où de même

E[g(X)] =g(0) +Z
1 0
P(X > t)g0(t)dt:

3.Soit(An)n1une suite d"événements.

3.a)On noteNle nombre (aléatoire) d"événéments parmi ceux-ci qui se produisent. CalculerE[N]en fonction
des probabilitésP(An),n1.On note queN=P1 n=11An. Par suite, par le théorème de Fubini-Tonelli (pour la mesuremN
PoùmN
est la mesure de comptage surN),
E[N] =1X
n=1E[1An] =1X n=1P(An):
3.b)On suppose queP
nP(An)<1. Montrer que presque-sûrement seul un nombre fini d"événements de la
suite ont lieu.C"est le lemme de Borel-Cantelli (partie la plus facile mais néanmoins la plus utile).Par la question précédente, l"hypothèse équivaut àE[N]<1. Or ceci implique queN <1p.s., ce qui
signifie que, presque sûrement, un nombre fini d"événement de la suite ont lieu.
4.CalculerC=R
Rex2dxsans utiliser de coordonnées polaires. (ÉcrireC2comme une intégrale double puis, dans l"intégrale,e(x2+y2)=R1 x
2+y2etdt)Par le théorème de Fubini-Tonelli,
C 2=Z 1 0 ex2dxZ 1 0 ey2dy=Z ]0;1[2e(x2+y2)dxdy: En écrivant (par une intégration immédiate)e(x2+y2)=R1 x
2+y2etdt=R1

01ft>x2+y2getdtpourx;y >0,
on a, à nouveau par le théorème de Fubini-Tonelli, C 2=Z ]0;1[2Z 1 0 1 ft>x2+y2getdtdxdy=Z 1 0 et Z ]0;1[21ft>x2+y2gdt! dxdy L"intégrale entre parenthèses est l"aire du quart de disque de rayonquotesdbs_dbs17.pdfusesText_23

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Exercices de probabilités

Fonctions associées aux lois

PourXvariable aléatoire à valeurs dansRd,

NomParamètresSupportDéfinition :P(A) =R

Exercice 1.Lois binomiale et géométrique

1.On supposep >0. On définitN= inffn1jXn= 1g.

1.a)Montrer queP(N=1) = 0et queNsuit la loi géométrique de paramètrep.

1.b)Calculer l"espérance et la variance deN.

2.Soitn1. On définitSn=X1++Xn.

2.a)Montrer queSnsuit la loi binomiale de paramètresnetp, par une preuve directe puis en utilisant des

2.b)Calculer l"espérance et la variance deSn(utiliser la définition deSn).

Exercice 3.Somme de variables aléatoires

1.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loisP()etP(). Déterminer la loi deX+Y, directement

2.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy de paramètreaetb. À l"aide des fonctions

Exercice 4.Lois images

1.SoitXune variables aléatoire de loiE(). Déterminer la loi debXc+ 1.C"est une loi géométrique.

2.SoitUune variable aléatoire de loiU([1;1]). Déterminer la loi dearcsin(U).

3.SoitXde loiN(0;1). Déterminer la loi dejXj.

4.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). Déterminer la loi deXY

5.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). On définit les variables aléatoiresR;par

Exercice 5.Loi Gamma

Poura >0et >0, on définit la loi

1.Vérifier que cette fonction définit bien une densité.

2.Déterminer l"espérance de cette loi.On utilise le fait que(a+ 1) =a(a)pour obtenir que l"espérance de cette loi esta=.

3.SoitV1;V2;:::;Vndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiE(). Déterminer la loi du vecteur

E(g(V1+:::+Vn)) =E(g(S+Vn)) =Z

E(g(V1+:::+Vn)) =Z

4.SoitXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de loi

4.a)Déterminer la loi deX.On peut utiliser la fonction de répartition. Avec un changement de variable on voit queX

4.b)Montrer queX+YetX=Ysont des v.a. indépendantes dont on calculera les lois.Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=Y)(u;v)

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2gf(x;y)dP(X;Y)(x;y)

On a de plusjJ(u;v)j=v=(v+ 1)u=(v+ 1)

1=(v+ 1)u=(v+ 1)2

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)u2a1eu1u>0va1(v+ 1)2a1v>02a(a)2dudv:

4.c)Montrer queX+YetX=(X+Y)sont des v.a. indépendantes. Calculer la loi deX=(X+Y).Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=(X+Y))(u;v)

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2gf(x;y)dP(X+Y;X=(X+Y))(x;y)

On a de plusjJ(u;v)j=v u

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

0xa1(tx)b1dx=ta+b1R1

0ya1(1y)b1dy=ta+b1Ca;b. La

6.SoitZ1;Z2;:::;Zndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiN(0;1).

6.a)Montrer queZ21suit une loi

1=2;1=2.SiZ1est de loiN(0;1)etgune fonction mesurable bornée deRdansR, on a

E(g(X2)) =Z

Par parité dex7!g(x2)ex2=2on aE(g(X2)) =2p2R

0g(x2)ex2dx=2p2R

0g(y)ey=2dy2

X2(y) =1p2ey=2y1=21R+(y)dy.

6.b)Montrer queZ21++Z2nsuit une loi

5 donnant queSnsuit une

Propriétés générales

1.SoitNune variable aléatoire à valeurs dansN. Montrer que

E[N] =X

E[N] =E"

2.SoitXune variable aléatoire à valeurs dansR+, et >0. Montrer que

E[X] =Z

0t1dt=R1

P) donne donc

E[X] =Z

P(X > t)t1dt:

R, pour laquelle on peut écrireg(X) =g(0) +RX

0g0(t)dt, d"où de même

E[g(X)] =g(0) +Z

P(X > t)g0(t)dt:

3.Soit(An)n1une suite d"événements.

3.a)On noteNle nombre (aléatoire) d"événéments parmi ceux-ci qui se produisent. CalculerE[N]en fonction

PoùmN

E[N] =1X

3.b)On suppose queP

4.CalculerC=R

2+y2etdt)Par le théorème de Fubini-Tonelli,