m est le coefficient directeur de la droite D c'est – à – dire la pente de D graphiquement par la formule : les erreurs de calcul, on le verra un peu plus loin
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Calcul des pentes Pour effectuer Pour établir le calcul de cette pente, nous avons besoin d'une formule Le calcul ligne toute droite, mais plutôt une courbe
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Aurions-nous choisi le point (2,8), le calcul aurait révélé : 8 4 2 → 8 8 → 0 La pente et l'ordonnée à l'origine étant maintenant connues, l'équation de la droite
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dessous, calcule la pente de la droite (AB) et vérifie ;3) et B(4 Les cinq droites ci-dessous ont pour équation l'une des équations écrites ci-dessous : y = - 2 ; y
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Cas de la droite A : a = 0 ; la droite A est une constante Quelle que soit la valeur de x ⇒ y = 0 ×x + b ⇔ y = b Cas de la droite B : b = 0 ⇔ y = a × x
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Les valeurs des pentes de ces deux nouvelles droites (en pointillé sur l'exemple) sont les valeurs extrêmes de la pente (amax et amin) qui serviront à calculer l'
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Les courbes représentatives de ces fonctions sont des droites Inversement, étant donné I Coefficient directeur d'une droite (pente) 1 Définition Etant donné
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•Tracer une courbe •Utiliser la courbe pour tracer une droite de régression (sur la partie linéaire de la courbe) •Calculer une pente à l'aide de la fonction pente
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Soient A(xA; yA) et B(xB; yB) deux points d'une droite D non verticale, le coefficient directeur (ou la pente) de cette droite se calcule grâce à la formule : m =
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m est le coefficient directeur de la droite D c'est – à – dire la pente de D graphiquement par la formule : les erreurs de calcul, on le verra un peu plus loin
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Puisque L n'est pas verticale elle doit 1 nécessairement avoir une valeur pour sa pente, disons m, 2 elle doit nécessairement couper l'axe des ordonnées `a
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LES DROITES
Dans toute la suite nous nous plaçons dans un repère orthonormal (O ; i , j)Il y a trois " types » de droites :
Droite oblique
Droite horizontale
Droite verticale
1°) Les droites obliques
Définition
Toute droite D oblique admet une équation du type y = m x + p avec m non nul.C"est l"équation réduite de D.
m est le coefficient directeur de la droite D c"est - à - dire la pente de D.Exemples
Voici deux droites :
D : y = 2 x + 3 D" : y = -4x + 1
-6-5-4-3-2-1012345678 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3Observation : Le coefficient
directeur de D est m = 2C"est un nombre
positif, on constate que la droite " monte » : la pente est positive -8-7-6-5-4-3-2-10123456 -2 -1 1 2 3 4 5Observation : Le coefficient
directeur de D" est m" = -4C"est un nombre
négatif, on constate que la droite " descend » la pente est négative 2 - La lecture graphique du coefficient directeur012345
-1 1 2 3 4 5 6 Soit la droite(d) non parallèlle à l"axe des ordonnées ci- contre . Son coefficient directeur m est donné graphiquement par la formule :1 unité = 1 u
D y u différence des y en unités
m = ¾¾¾¾ = ------------D x u différence des x en unités
CAS SIMPLE : L"UNITE IDENTIQUE EN ABSCISSE ET EN ORDONNEE CORRESPOND A UN CARREAU -6-5-4-3-2-1012345678910 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 Pour lire graphiquement le coefficient directeur de D il suffit de trouver : - deux points dont les coordonnées sont simples à lire. - Un chemin " triangulaire » reliant ces deux points c"est- à dire constitué d"un déplacement vertical puis horizontal ou inversement. Remarque : il est préférable de commencer par la verticale pour éviter les erreurs de calcul, on le verra un peu plus loin. Sur notre dessin on choisit les points A ( 1 ;5) et B( 2 ; 7) . - On part de A ; - on suit la verticale et on s"arrête en " face » de B ; - puis on suit l"horizontale jusqu"à atteindre B. - On compte alors le nombre de " carreaux » utilisé dans chacun de nos déplacements - Et on affecte à chaque déplacement vertical, un signe + si on monte, - si on descend ; - Et à chaque déplacement horizontal, + si on va à droite, et - si on va à gauche.Ici on a verticalement un déplacement de + 2
Et horizontalement un déplacement de + 1.
On écrit D y = +2 et Dx = +1 .
m = 2 A B 1 m 3Remarque :
-6-5-4-3-2-1012345678910 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 Il existe une infinité de chemins , en particulier il est possible de répéter le chemin que nous avons choisi tout le long de la droite , et vous verrez apparaître un escalier. On aurait pu prendre aussi un chemin plus " long » ,par exemple ici de E vers F, et on obtient toujours + 14 m = ¾¾¾¾ = 2 + 7 CAS OU L"UNITE NE CORRESPOND PAS FORCEMENT A UN CARREAU Pour lire graphiquement le coefficient directeur de D il suffit de trouver :C"est la même méthode que ci -dessus .
Sur notre dessin on choisit les points A ( 0,5 ;1,25) et B( 1 ; 1,75) . - On part de A ; - on suit la verticale et on s"arrête en " face » de B ; - puis on suit l"horizontale jusqu"à atteindre B. - On compte alors le nombre de " carreaux » utilisé dans chacun de nos déplacements - Et on affecte à chaque déplacement vertical, un signe + si on monte, - si on descend ; - Et à chaque déplacement horizontal, + si on va à droite, et - si on va à gauche. Ici on a verticalement un déplacement de + 2 carreaux Et horizontalement un déplacement de + 1 carreau.MAIS ATTENTION
1 unité c"est 4 carreaux !!!! en ordonnées
Et 2 carreaux en abscisses
On écrit donc D y = +0,5 et Dx = +0,5 .
m = 1Définition
Différence des ordonnées D y unités en ordonnéesLe coefficient directeur m = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾---------
Différence des abscisses Dx unités en abscissesRemarque :
il est préférable de faire le chemin vertical puis le chemin horizontal dans cet ordre puisque le coefficient directeur c"est la différence des y sur la différence des x. 1 -1 -1 1 A B 2 E F 4 Exemple : Déterminer graphiquement le coefficient directeur des droites (d1) ,(d2) ,(d3) et (d4) 2 d1 : y = - ━ x + 4
3 d2 : y = x
d3 : y = 2,5 x - 1
d4 : y = - 4
- Si on connaît les coordonnées de deux points distincts de la droiteSi A(x
A ; yA) et B(xB ; yB) alors l"équation réduite de (AB) est yB - yA
y = ¾¾¾¾ ( x - xA) + yA xB - xA Ou yB - yA y = ¾¾¾¾ ( x - xB) + yB xB - xAExemple
: Soit A( 1 ; 3) et B( 3 ; 7 ).Déterminer l"équation réduite de (AB)
7 - 3
y = ¾¾¾¾ ( x - 1) + 3 3 - 1Soit y = 2 x + 1 .
Remarque : pour vérifier que l" équation trouvée est la bonne il suffit de remplacer x par respectivement x