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Calculs d"intégrales
et de primitivesAimé Lachal
Cours de mathématiques
1 ercycle, 1reannéeSommaire
1Deux techniques d"intégration
Intégration par parties
Changement de variable
2Intégration des fonctions rationnelles réelles
Fonctions rationnelles
Exemples préliminaires
Décomposition en éléments simples
Intégration des éléments simples
Synthèse de la méthode d"intégration
Exemples de synthèse
Sommaire
1Deux techniques d"intégration
Intégration par parties
Changement de variable
2Intégration des fonctions rationnelles réelles
1. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Notations
On a vu dans le chapitre "Intégrale de Riemann» que toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives et que celles-ci diffèrent toutes 2 à 2d"une constante.On noterax7!Z
f(x)dxune primitive defsurIdéfinie donc à une constante additive près. On dit queZ f(x)dxest une intégraleindéfiniepar opposition àZ b af(x)dxqui est appelée intégraledéfinie.Exemple :
Z xdx=12 x2+CsteoùCstedésigne une constante réelle.On rappelle la notationF(x)b
a=F(b)F(a).Théorème 1.1 (Intégration par parties) Soituetvdeux applications declasseC1C1C1définies sur un intervalleIà valeurs réellesoucomplexes.18(a;b)2I2,Z b a u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)b aZ b a u0(x)v(x)dx.2Z u(x)v0(x)dx=u(x)v(x)Z u0(x)v(x)dx.
Formulation mnémotechnique :Z
udv=uvZ vdu.11. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Exemple 1.2 (Polynôme-logarithme)
SoitP2R[X]un polynôme de degrén.
En choisissantu(x) = ln(x)etv0(x) =P(x), alorsu0(x) =1x etv(x) =Q(x)oùQ est un polynôme primitive deP(de degrén+1) que l"on choisira sans terme constant (de façon à avoirQ(0) =0), l"IPP donneZP(x) ln(x)dx=Q(x) ln(x)ZQ(x)x
dx:Notons quex!Q(x)x
est une fonction polynôme de degrén(puisqueQ(0) =0), elle admet donc pour primitive une fonction polynômeRde degrén+1, et l"on trouve :ZP(x) ln(x)dx=Q(x) ln(x)R(x) +Cste:
Exemples :
pourP(x) =1, on choisitQ(x) =xqui donneR(x) =xet l"on obtient une primitive deln(x):Z ln(x)dx=xln(x)x+Cste: pourP(x) =xn, on choisitQ(x) =xn+1n+1qui donneR(x) =xn+1(n+1)2et l"on obtient :Z x nln(x)dx=xn+1n+1ln(x)xn+1(n+1)2+Cste:21. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Exemple 1.3 (Polynôme-exponentielle)
Soita2RetP2R[X]un polynôme de degrén.
En choisissantu(x)=P(x)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=P0(x)etv(x)=1a eaxet l"IPP donneZP(x)eaxdx=1a
P(x)eax1a
Z P0(x)eaxdx:
Notons queP0est un polynôme de degrén1. Ainsi, l"IPP permet d""abaisser» le degré du polynôme présent dans l"intégrande initiale. En réitérant ce procédé, on abaisse progressivement le degré dePpour arriver in fine à une primitive d"intégrande e ax:ZP(x)eaxdx=Q(x)eax+Cste
oùQest le polynôme de degréns"exprimant selonQ(x)=1a
P(x)1a
2P0(x)+1a
3P00(x)+(1)n1a
n+1P(n)(x)=nX k=0(1)k1a k+1P(k)(x): Application :supposons le réelanégatif. Alors, pour toutk2N,limx!+1P(k)(x)eax=0.Ainsi, en notantZ
+1 0 = limA!+1Z A 0 , on trouve Z +1 0P(x)eaxdx=nX
k=0(1)k+11a k+1P(k)(0):31. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Exemple 1.4 (Exponentielle complexe)
Soita;bdeux réelsnon simultanément nuls.Supposons e.g.a6=0 (sinonb6=0). En choisissantu(x)=cos(bx)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=bsin(bx)etv(x)=1a eax et l"IPP donne Z cos(bx)eaxdx=1a cos(bx)eax+ba Z sin(bx)eaxdx: En choisissantu(x)=sin(bx)etv0(x)=eax, alorsu0(x)=bcos(bx)etv(x)=1a eax, une nouvelle IPP donneZ sin(bx)eaxdx=1a sin(bx)eaxba Z cos(bx)eaxdx que l"on reporte dans la première formule : Z cos(bx)eaxdx=1a cos(bx) +ba2sin(bx)
e axb2a 2Z cos(bx)eaxdx d"où l"on extrait Z cos(bx)eaxdx=acos(bx) +bsin(bx)a2+b2eax+Cste:
La même méthode conduirait à
Z sin(bx)eaxdx=bcos(bx) +asin(bx)a2+b2eax+Cste:
Application :soitc2C. En posantc=a+ibaveca;bréels non simultanément nuls, et en rappelant que e cx=eaxcos(bx) +isin(bx), on obtient une primitive de x7!ecx:Z e cxdx=1cecx+Cste:41. Deux techniques d"intégrationa) Intégration par parties
Exemple 1.5 (Formule de Taylor avec reste intégral(facultatif))1Un calcul préliminaire Soita;bdeux réels etfune application définie sur[a;b](ou[b;a]) declasseC2C2C2. En choisissantu(x)=(bx)etv0(x)=f00(x), alorsu0(x)=1 etv(x)=f0(x)et l"IPP donneZb a (bx)f00(x)dx=(bx)f0(x)b a+Z b a f0(x)dx=f(b)f(a)f0(a)(ba) soit f(b) =f(a) +f0(a)(ba) +Z b a (bx)f00(x)dx:2Généralisation Soita;bdeux réels etfune application définie sur[a;b](ou[b;a]) declasse C n+1Cn+1Cn+1. Alors : f(b) =nX k=0f (k)(a)k!(ba)k+Z b a(bx)nn!f(n+1)(x)dx: Remarque :la fonctionf(n+1)étant continue, on peut appliquer la formule de la moyenne :9c2[a;b];Z
b a(bx)nn!f(n+1)(x)dx=f(n+1)(c)Z b a(bx)nn!dx=(ba)n+1(n+1)!f(n+1)(c): On retrouve la formule de Taylor-Lagrange avec des hypothèses plus fortes. (La formule de Taylor-Lagrange requière quefsoit de classeCnsur[a;b]et (n+1)fois dérivable sur]a;b[.)51. Deux techniques d"intégrationb) Changement de variable
Théorème 1.6 (Changement de variable pour le calcul d"intégrales)1Soit'une application declasseC1C1C1sur[a;b]à valeursréellesetfune
applicationcontinuesur l"intervalle'([a;b])à valeursréellesoucomplexes.Alors :
Zb a f'(t)'0(t)dt=Z '(b) '(a)f(x)dx:2Si, de plus,'estbijectivede[a;b]sur[;] ='([a;b]), Z f(x)dx=Z '1()1()f'(t)'0(t)dt:
Formellement, on posex='(t)et l"on écritdx='0(t)dt.Théorème 1.7 (Changement de variable pour le calcul de primitives)
SoitIetJdeux intervalles,fune applicationcontinuesurIà valeursréellesou SiGest une primitive de(f')'0surJ, alorsG'1est une primitive defsurI. Autrement dit, en posantx='(t)(ou encoret='1(x)) : Z f(x)dx=Z f'(t)'0(t)dt=G(t) +Cste=G'1(x)+Cste6