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Intégration des fonctions rationnelles a) Fonctions rationnelles Dé nition 2 1 Une fonction ou fraction rationnelle F sur R est le quotient de deux fonctions

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Rappelons qu'une fraction rationnelle est une fonction du type : Pour déterminer une primitive d'une telle fonction f on procède par étapes : 1 Si deg

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Définition 4 2 On appelle fraction rationnelle toute classe d'équivalence pour ⇠ L'ensemble toujours calculer une primitive (en théorie du moins) L'outil 

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et la primitive revient `a celle d'une fraction rationnelle 2) Si a < 0, b2 −4ac > 0 Alors ax2 +bx +c poss`ede deux zéros réels p, q 

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Soient F et G deux fractions rationnelles non-nulles Exercice 9 Déterminer les primitives, et préciser leur intervalle de validité, de la fonction x ↦→ arcsin2 x

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2 Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle non nulle sur un corps Essayons de déterminer les primitives sur ]0, +∞[ de la fonction F : x ↦ 

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Exercice 2 Calculer les primitives des fonctions suivantes 1 esin2 x sin 2x , 2 cos5 x , (ch x) 3 , 

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Calculer certaines sommes infinies comme ∑ 1 k(k+1)(k+2) – Calculer la dérivée n-ième d'une fraction rationnelle – Calculer les primitives ou les intégrales 

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Calcul de Primitives Dans toute la suite, on appelera F ∈ R(X) ou C(X) cad F est une fraction rationnelle, F = P Q avec P,Q polynômes 1 Primitives usuelles

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Une fraction rationnelle de degré n ∈ N est un polynôme Exercice 4 : Primitives de fractions rationnelles 1 Calculer une primitive sur R de x ↦− → x3

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Chapitre 3

CALCUL DE PRIMITIVES

3.1 D´efinition

D´efinition:soitfune fonction d´efinie sur un intervalleI. Une primitive defsurIest une fonctionFd´erivable surIet telle que, pour tout r´eelxdeI,F (x)=f(x). Th´eor`eme 12Toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives surI,deux d"entre elles diff´erant d"une constante.

Il est important de bien connaˆıtre les primitives de fonctions usuelles : on s"y ram`ene toujours.

La table ci-dessous ne pr´ecise pas les intervalles sur lesquels on consid`ere les fonctions. On utilisera la notation usuelle? f(x)dxpour d´esigner une primitive de la fonctionf(x). Il faut

bien voir qu"elle cache une ambig¨uit´e, puisque qu"une primitive n"est d´efinie qu"`a une constante

pr`es sur un intervalle. Syst´ematiquement, quand on ´ecrit des ´egalit´es entre primitives, on

oubliera ces "constantes d"int´egration". Il faut se souvenir que c"est unabus de notation.

Primitives de fonctions usuelles

f(x) f(x)dxf(x) f(x)dx x (α?R,α?=-1) x

α+1

α+1

x ln|x| e

λx1

λe λx a x (a>0,a?=1)- b,aa x cosωx 1

ωsinωx

sinωx -1

ωcosωx

chx shxshxchx 1 -.x 2

Arctanx

1a 2 +x 2 1 aArctanxa 1 1-x 2

Arcsinx

1 fF,x ln|tanx 2| 1 eIfx ln tan x

2+π4

1 eIf 2 x= 1 + tan 2 xtanx 1 fF, 2 x -1 x<,x1 e( 2 x=1-th 2 xthx 1 f( 2 x-1 x(x 1 x 2 -1 b, x+⎷x 2 -1

Argchxpourx>1

-Argch (-x) pourx<-1 1 1+x 2 ln(x+⎷x 2 + 1) = Argshx Soientaetbdeux r´eels d"un intervalleI,etfune fonction continue surI. L"int´egrale dea`ab def, not´ee b a f(x)dx, est le r´eelF(b)-F(a)o`uFest une primitive quelconque defsurI. 15

3.2Lin´earit´e

C"est l"utilisation de

(λf(x)+μg(x))dx=λ f(x)dx+μ g(x)dx.

On a toujours int´erˆet `ad´ecomposer la fonction `a int´egrer en somme de fonctions plus simples `a

int´egrer. Par exemple, sin2xcos3xdx= 1

1nfF,4x-sinx)dx=11

sin5xdx-1 1 sinxdx =-1 -/eIf4x+11eIfx.

La premi`ere ´egalit´e utilise sinacosb=

1 F (sin(a+b) + sin(a-b)).

3.3 Int´egration par parties

C"est l"utilisation de?

f(x)g (x)dx=f(x)g(x)- f (x)g(x)dx. On suppose dans cette formule quefetgsont de classeC 1 sur l"intervalle ouvert consid´er´e. La formule vient simplement par int´egration defg =(fg) -f g.

Pour l"utilisation de cette formule, il faut reconnaˆıtre dans la fonction `a int´egrer le morceau

fet le morceaug , dont on connait une primitiveg. C"est utile quandf gest "plus simple" que fg . Par exemple, xlnxdx=x 2 2lnx- x 2

21xdx=x

2 2lnx- x 2dx x 2

2lnx-x

2 4.

L"int´egration par parties, mˆeme quand elle semble "tourner en rond", peut permettre d"obtenir

des relations d´eterminant la primitive. Par exemple e x sin2xdx=e x sin2x-2 e x cos2xdx =e x sin2x-2e x cos2x-4 e x sin2xdx, d"o`u e x sin2xdx=1 4ne x sin2x-2e x cos2x).

Mais ¸ca ne marche pas `a tous les coups :

e x chxdx=e x chx- e x shxdx =e x chx-e x shx+ e x chxdx=1+ e x chxdx, d"o`u semble-t-il 0 = 1. Expliquer ce paradoxe (se souvenir qu"une primitive n"est d´efinie qu"`a une constante pr`es!), et trouver une autre m´ethode pour calculer la primitive. Pour un calcul d"int´egrale, la formule d"int´egration par partie devient b a f(x)g (x)dx=[f(x)g(x)] ba b a f (x)g(x)dx. 16

3.4 Changement de variables

Proposition :Soitfune fonction continue sur l"intervalle ouvertJ, et soit?une fonction de classeC 1 sur un intervalle ouvertIet `a valeurs dansJ.SiF(x)= f(x)dx, alors

F(?(t)) =

f(?(t))? (t)dt.

D´emonstration :La formule vient par int´egration de la formule de d´erivation des fonctions

compos´ees : (F◦?) =(F =(f◦?)? Pour mener les calculs, si on posex=?(t), il est commode d"´ecriredx=? (t)dt. On ne sait

pas donner de sens `a cette ´egalit´e pour le moment, mais c"est bien consistant avec la notation

de Leibniz dx ,d (t). Le changement de variables s"utilise de deux fa¸cons pour calculer des primitives.

1. On veut

f(?(t))? (t)dt, et on connait f(x)dx. Le probl`eme est bien sˆur de reconnaˆıtre que la fonction `a int´egrer est de la formef(?(t))? (t). Soit par exemple `a calculer 2t+1 t 2 +t+1dt.

On voit que 2t+1 est la d´eriv´ee det

2 +t+1. Ici?(t)=t 2 +t+1etf(x)=1/⎷x.Ona dx x=2⎷ x, et donc 2t+1 t 2 +t+1dt=2⎷ t 2 +t+1.

2. On veut

f(x)dx,etG(t)= f(?(t))? (t)dtest plus facile `a obtenir. Ceci n"a d"int´erˆet que si?est inversible; alors on peut exprimert=? -1 (x), et ceci donne : f(x)dx=G(? -1 (x)). Le probl`eme est de trouver un "bon" changement de variable : c"est une affaire d"exp´erience et d"intuition. Souvent, on a d"abordt=? -1 (x), avec une expression plus simple ent. Par exemple, soit `a calculer

1-⎷x

xdx,avecx?]0,1[. Ce

1-⎷xest embˆetant, alors on poset=

1-⎷x. Ceci donnet

2 =1-⎷xet x=(1-t 2 2 . La fonction?(t)=(1-t 2 2 est bien une bijection d´ecroissante de ]0,1[ sur ]0,1[, et?et? -1 sontC .Onadx=? (t)dt=-4(1-t 2 )tdt. On est amen´e`a calculer t (1-t 2 2 (-4(1-t 2 )t)dt= -4t 2 1-t 2 dt= 4-4 --t 2 dt =4t-2ln1+t 1-t d"o`u

1-⎷x

xdx=4

1-⎷x-2ln1+

1-⎷x

1-

1-⎷x.

17 Quand on applique le changement de variables au calcul d"int´egrale, il faut bien se souvenir que LES BORNES D"INTEGRATION CHANGENT. Avec les notations et les hypoth`eses de la proposition ci-dessus, siaetbsont dansI, ?(b) ?(a) f(x)dx= b a f(?(t))? (t)dt.

Par exemple, le calcul

3 -1 dx (1 +x 2 )⎷1+x 2

π/3

-π/4 costdt= [sint]

π/3

-π/4

3+⎷2

1 fRdfx α3 = tan(π/3) ; le cosinus ´etant positif sur l"intervalle d´ecrit part, on a pu de plus ´ecrire⎷ cos 2 t=|cost|= cost.

3.5 Primitives de fractions rationnelles

Les fractions rationnelles enx(quotients de deux polynˆomes) sont des fonctions dont on peut

toujours calculer une primitive (en th´eorie du moins). L"outil fondamental est la d´ecomposition

d"une fraction rationnelle en ´el´ements simples, qui permet d"´ecrire une fraction rationnelle

comme somme

•d"un polynˆome,

•d"´el´ements simples de premi`ere esp`ece (x-a) n •d"´el´ements simples de deuxi`eme esp`ece

λx+μ

((x-a) 2 +b 2 nquotesdbs_dbs28.pdfusesText_34