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Exercice 2 : Démonstration du théor`eme 12-i) Soit A ∈ Mn(K)) et une norme matricielle Montrer alors ρ(A) ≤ A Soit u = 0 tel que A = λu avec λ = ρ(A)

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Exercice IV 4 Soit la décomposition A = M − N avec M inversible et la méthode itérative { x(0) donné, Mx(k+1) = Nx(k) + b Donner une condition suffisante sur

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1- Donner une condition nécessaire et suffisante sur M et N pour que la suite (xk ) converge vers x quel que soit x0 ∈ Rn Dans la suite de l'exercice on suppose A

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Théor`eme 1 La méthode itérative (M) converge ssi le rayon spectral ρ(M−1N) < 1 Exercice 1 : Démonstration du théor`eme Si x = A−1b, montrer que xk − x

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Corrigé du TD 8 EXERCICE 1 Convergence de méthodes itératives linéaires 1 1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles Soit A une matrice

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28 jan 2010 · L1) la matrice d'itération de la méthode itérative de Jacobi (resp Gauss-Seidel) de résolution des systèmes linéaires Ax = b Le but de cet

Universit´e Paris-Nord Ann´ee 2013-2014

Institut Galil´ee MACS - 1

D´epartement de Math´ematiques C. Basdevant, B. DelourmeCorrig´e de l"examen d"Analyse Num´erique du 5 mars 2014

Dur´ee : 3h

Une feuille recto-verso de notes personnelles manuscrites est autoris´ee.

Exercice 1 : m´ethodes it´eratives

SoitA? Mn(R) une matrice carr´een×ninversible telle que ses ´el´ements diagonaux soient tous non nuls et soitbun vecteur deRn. On souhaite r´esoudre le syst`eme lin´eaire Ax=ben utilisant la m´ethode it´erative suivante :

α´etant un r´eel non nul et le vecteurx0?Rn´etant donn´e, on construit la suite (xk)k?N

par la formule de r´ecurrence x k+1= (I-αD-1A)xk+αD-1b.(1) o`uIest la matrice identit´e etDla matrice diagonale constitu´ee de la diagonale deA (Dii=Aii).1.Montrez que si la suite (xk)k?Nconverge vers ¯x?Rnalors ¯xest solution du syst`eme

lin´eaireA¯x=b.Corrig´e: Supposons que la suite (xk)k→+∞tende vers ¯x. Alors (I-αD-1A)xktend

vers (I-αD-1A)¯x. A la limite, on a donc

¯x= (I-αD-1A)¯x+αD-1b

si bien queA¯x=bpuisqueαest non nul.2.Exprimez les coefficients de la matrice (I-αD-1A) en fonction des coefficients deA.Corrig´e: On poseM= (I-αD-1A). Alors

M ij=? ?1-αsii=j, -αAijA que ?I-αD-1A?∞<1.(2) On rappelle qu"une matriceB? Mn(R) est dite `a diagonale strictement dominante si, j=1,j?=i|Bi,j|<|Bi,i|.1

Corrig´e: Evaluons la norme infinie deM:

?M?∞= maxx?=0?Mx?∞?x?∞. Or (Mx)i=n? j=1M ijxj=-αA iin j=1,j?=iA ijxj+ (1-α)xi

α|Aii|n

j=1,j?=i|Aij|+ (1-α)? La matrice ´etant `a diagonale strictement dominante ?n j=1,j?=i|Ai,j|<|Aii|, on ob- tient

?M?∞< α+ (1-α) = 1.4.Montrez que, sous les hypoth`eses de la question pr´ec´edente, la m´ethode it´erative (1)

converge.Corrig´e: Comme?M?∞<1 le rayon spectralρ(M) de la matrice d"it´eration est

strictement inf´erieur `a 1 et la m´ethode it´erative converge.5.Quelle m´ethode ´etudi´ee en cours retrouve-t-on quandα= 1?Corrig´e: Quandα= 1 la m´ethode est celle de Jacobi, en effet (1) s"´ecritDxk+1=

(D-αA)xk+αbet si l"on pose, comme en cours,A=D-E-F, avecα= 1 on obtientDxk+1= (E+F)xk+b, la m´ethode de Jacobi.Exercice 2 : r´esolution num´erique des EDO Soitf:R2→Rune fonction continue, lipschitzienne dans sa deuxi`eme variable, de constante de LipschitzL. On s"int´eresse au probl`eme de Cauchy : trouver une fonction y?C1([0,T]) telle que?? ?y ?(t) =f(t,y(t))?t?]0,T] y(0) =y0(3) du segment [0,T], on sou- haite calculer les approximationsyn≈y(tn) de la solution exacte par le sch´ema suivant :?? ?y n+1=yn+h2 y

0=y0(4)1.La m´ethode est-elle implicite ou explicite? Montrez que cette m´ethode est bien

d´efinie sih <2/L. Cette condition sera toujours suppos´ee remplie dans la suite.Corrig´e: La m´ethode est implicite, pour calculeryn+1il faut r´esoudre une ´equation

non lin´eaire. En effet,yn+1satisfaityn+1=g(yn+1) (yn+1est un point fixe deg) o`u la fonctiong(qui d´epend deyndetnet deh) est donn´ee par g(y) =yn+h2 (f(tn,yn) +f(tn+h,y)).2 Si la fonctiongest contractante, alors l"´equation de point fixe aura une unique solution. Or, puisquefest lipschitzienne dans sa deuxi`eme variable, |g(y)-g(z)|=h2 |y-z|.

Autrement dit, sih <2L

alorsgest contractante et le sch´ema num´erique est bien

d´efini.2.R´e´ecrivez le sch´ema (4) sous la forme g´en´erale d"un m´ethode `a un pas :

y n+1=yn+hΦ(tn,yn,h). On explicitera la fonction Φ.Corrig´e: D´efinissons la fonction?par : (t,z,d)?→y?=?(t,z,d) o`uy?=z+d2 [f(t,z) +f(t+d,y?)]. Comme vu `a la question pr´ec´edente, cette fonction est parfaitement d´efinie d`es que d < 2L . A l"aide de cette fonction, on voit queyn+1=?(tn,yn,h). Il s"en suit que le sch´ema se r´e´ecrit comme une m´ethode `a un pas y n+1=yn+hΦ(tn,yn,h) avec Φ(t,y,h) =12 [f(t,y) +f(t+h,?(t,y,h))].3.On consid`ere un sch´ema perturb´e : ?z n+1=zn+h2 z

0=z0(5)

Montrez que, sous la conditionh <2L

, il existe des constantesA(Lh) etB(Lh) telles que :

En d´eduire une propri´et´e importante du sch´ema.Corrig´e: En soustrayant le sch´ema du sch´ema perturb´e et en utilisant le caract`ere

lipschitzien defon obtient : (|zn-yn|+|zn+1-yn+1|) +|εn| d"o`u 1-Lh2 |zn-yn|+11-Lh2 |εn| et par r´ecurrence en posantA(Lh) =1+Lh2 1-Lh2 etB(Lh) =11-Lh2

Cette in´egalit´e prouve la stabilit´e du sch´ema, en effet :?α >2,?x0(α)<1 tel que

tant et convergent.Corrig´e: On a vu en cours qu"un sch´ema `a un pas est consistant si et seulement si

Φ(t,y,0) =f(t,y),?y, ce qui est le cas ici, de plus on vient de d´emontrer la stabilit´e du sch´ema et le th´eor`eme de Lax et Richtmayer nous dit qu"un sch´ema stable et

consistant est convergent.5.On suppose quef? C∞(R2) et on admet que la solution exacte est tr`es r´eguli`ere

sur [0,T] (par exemple,y? C4([0,T])). D´emontrez que l"erreur locale de troncature r nv´erifie r n=y(tn+1)-y(tn)h -Φ(tn,y(tn),h) =K(tn)h2+o(h2) o`u vous exprimerezK(tn) en fonction de d´eriv´ees de la fonctiony. En d´eduire l"ordre du sch´ema.Corrig´e: A l"aide de d´eveloppements de Taylor autour detn+12 r n=y(tn+1)-y(tn)h -12 (y?(tn) +y?(tn+1)) =y?(tn+12 ) +h224 y(3)(tn+12 ) +o(h2)-? y ?(tn+12 ) +h28 y(3)(tn+12 ) +o(h2)? =-h212 y(3)(tn+12 ) +o(h2)

Le sch´ema est donc d"ordre 2.

Note : Une majoration utilisant des d´eveloppements de Taylor-Lagrange ´evite de garder deso(h2) : r n=y?(tn+12 ) +h224 y(3)(tn+θ1)-? y ?(tn+12 ) +h28 y(3)(tn+θ2)? sup t|y(3)(t)|6.Donnez une majoration de l"erreuren=|y(tn)-yn|explicitant la convergence de

la m´ethode.Corrig´e: En utilisant l"in´egalit´e de stabilit´e et la majoration de l"erreur locale de

sup t|y(3)(t)|?4

Exercice 3 : polynˆome d"interpolation

Soitfune fonction r´eelle, continue et d´erivable sur [-1,1] etx0?]0,1[.

D´emontrez qu"il existe un unique polynˆomeQde degr´e inf´erieur ou ´egal `a 5 v´erifiant :

Q(-x0) =f(-x0)Q(0) =f(0)Q(x0) =f(x0)

Q ?(-x0) =f?(-x0)Q?(0) =f?(0)Q?(x0) =f?(x0)

Attention : on ne demande pas de calculer ce polynˆome!Corrig´e: SoitP5l"espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 5.

Consid´erons l"application Φ deP5dansR6qui `a un polynˆomePassocie le sextuplet (P(-x0),P(0),P(x0),P?(-x0),P?(0),P?(x0)). L"existence et l"unicit´e du polynˆomeQest

´equivalente `a la bijectivit´e de Φ. L"application Φ ´etant une application lin´eaire entre deux

espace vectoriels de mˆeme dimension 6, elle est bijective si et seulement si elle est injective.

Pour v´erifier l"injectivit´e de Φ il faut v´erifier que son noyau est r´eduit au polynˆome nul, or

siP?ker(Φ) alors-x0,0 etx0sont des racines doubles deP,P´etant de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 5 ce n"est possible que siPest le polynˆome nul.5quotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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