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28 jan 2010 · L1) la matrice d'itération de la méthode itérative de Jacobi (resp Gauss-Seidel) de résolution des systèmes linéaires Ax = b Le but de cet

Tous les exercices sont indépendants.

Exercice 1

SoitAetBdeux matrices carrées de même ordren,αetβdes scalaires quelconques. On rappelle les relations

suivantes du cours : det(I) = 1,(1) det(AB) = det(A)det(B),(2) det(AT) = det(A),(3) det(A?) = det(A),(4) det(A-1) =1 det(A),évidemment siA-1existe, (5) tr(AB) = tr(BA),(6) tr(AT) = tr(A),(7) det(αA) =αndet(A),(8) tr(αA+βB) =αtr(A) +βtr(B).(9) On suppose maintenant queAetBsont quelconques et non nulles.

1) SoitIla matrice unité d"ordren. Peut-on avoirAB-BA=λI,λétant un scalaire non nul?

2) Peut-on avoirAB+BA= 0?

Exercice 2

SoitB(resp.L1) la matrice d"itération de la méthode itérative de Jacobi (resp. Gauss-Seidel) de résolution des

systèmes linéairesAx=b. Le but de cet exercice est de montrer (sur des exemples) qu"en général on ne sait

rien dire de la comparaison de deux méthodes itératives.

1) Soit

A=((( 1 2-2 1 1 1

2 2 1)))

,(10) montrer queρ(B)<1< ρ(L1).

2) Soit

A=((( 2-1 1 2 2 2 -1-1 2))) ,(11) montrer queρ(L1)<1< ρ(B).

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École Normale Supérieure24, rue Lhomond - 75231 PARIS CEDEX 05 LICENCE- MASTER DESSCIENCES DE LAPLANÈTETERRE- L318 février 2010 MATHÉMATIQUES- Correction de l"examen de rattrapage du 28 janvier 2010. Durée : 1 h. Exercice 3. Résolution d"équations différentielles linéaires

Résoudre le systèmex=Axavec

A=((( 0 1 1 -1 0 1 -1-1 0))) ,(12) sous la condition initialex(0) = (1,-1,1)T.

CORRECTION :

Exercice 1 :

1) Le seul cas intéressant est évidemment celui où le produitmatriciel n"est pas commutatif. La fonction déter-

minant n"étant pas linéaire est inutilisable. Essayons la fonction trace. Par la relation (9) on atr(AB-BA) =

tr(AB)-tr(BA). La relation (6) implique alors quetr(AB-BA) = 0. Commetr(λI) =nλ, la relation AB-BA=λIest impossible siλest un scalaire non nul.

2) SiAB+BA= 0, on aAB=-BAet la relation (8) implique alors quedet(AB) = (-1)ndet(BA). La relation

(2) implique que cette relation est possible seulement sinest pair.

Exercice 2 :

Soit la matrice du 1). SoitBla matrice itérative de Jacobi associée. Avec les notationsdu chapitre, on a

B=D-1(E+F) =(((

0-2 2 -1 0-1 -2-2 0))) .(13)

On calcule les valeurs propres par les racines du polynômedet(B-λI)enλ. Il est facile de vérifier que

det(B-λI) =-λ3.λ= 0est racine triple, doncρ(B) = 0et Jacobi converge.

Soit maintenantL1la matrice itérative de Gauss-Seidel. Par définition on aL1= (D-E)-1F. Tous calculs

faits on a : (D-E)-1=((( 1-0 0 -1 1 0

0-2 1)))

,(14) et donc L 1=((( 0-2 2 0 2-3

0 0 2)))

.(15)

Il est facile de vérifier quedet(L1-λI) =-λ(2-λ)2. Le polynôme caractéristique de la matriceL1a pour

racinesλ1= 0et la racine doubleλ2=λ3= 2, doncρ(L1) = 2et Gauss-Seidel diverge.

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On a bienρ(B)<1< ρ(L1).

Soit la matrice du 2). SoitBla matrice itérative de Jacobi associée. On a

B=D-1(E+F) =(((

0 1/2-1/2

-1 0-1

1/2 1/2 0)))

.(16)

Le polynôme caractéristique de la matriceBestdet(B-λI) =-λ(λ2+5/4) = 0. Les racines sontλ1= 0et les

deux nombres complexes conjuguéesλ±=±i⎷

5/2. On a doncρ(B) =⎷5/2. La méthode de Jacobi diverge.

Soit maintenant la méthode de Gauss-Seidel. Tous calculs faits on a : (D-E)-1=(((

1/2 0 0

-1/2 1/2 0

0 1/4 1/2)))

,(17) et donc L

1=(((0-1/2-1/2

0 1/2 1/2

0 0 1/2)))

.(18)

Le polynôme caractéristique de la matriceL1estdet(L1-λI) =-λ(1/2-λ)2. Les racines sontλ1= 0et la

racine doubleλ2,3= 1/2. On aρ(L1) = 1/2et par conséquent la méthode de Gauss-Seidel converge. On a bien

ρ(L1)<1< ρ(B).

Exercice 3 :

Soit la matrice

A=((( 0 1 1 -1 0 1 -1-1 0))) ,(19) Calculons le polynôme caractéristique de la matriceAet ses racines. On a

A-λI=(((

-λ1 1 -1-λ1 -1-1-λ))) ,(20)

doncdet(A-λI) =-λ(λ2+ 3). Les racines sont zéro et le couple de valeurs complexes conjuguées±i⎷

3. Pourλ1= 0le vecteur propre associév1satisfait au système(A-λ1I)v1= 0, avec

A-λ1I=(((0 1 1

-1 0 1 -1-1 0))) .(21)

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École Normale Supérieure24, rue Lhomond - 75231 PARIS CEDEX 05 LICENCE- MASTER DESSCIENCES DE LAPLANÈTETERRE- L318 février 2010 MATHÉMATIQUES- Correction de l"examen de rattrapage du 28 janvier 2010. Durée : 1 h. Par la méthode des co-facteurs du cours, on voit que v

1=(((1

-1 1))) .(22) Par conséquent, puisqueeλ1t= 1, le vecteurX1donné par X 1=((( 1 -1 1))) (23) est une solution.

Pourλ2=i⎷

3le vecteur propre associév2satisfait au système(A-λ2I)v2= 0, avec

A-λ2I=((((-i⎷

3 1 1 -1-i⎷ 3 1 -1-1-i⎷ 3)))) .(24) Toujours par la méthode des co-facteurs du cours, on voit que v

2=((((-2

-1-i⎷ 3

1-i⎷

3)))) .(25)

Par conséquent

Z=ei⎷

3t((((-2

-1-i⎷3

1-i⎷

3)))) (26) est une solution complexe du système. Elle s"écrit

Z= (cos(⎷

3t)+isin(⎷3t))((((-2

-1-i⎷3

1-i⎷

3)))) =((((-2cos(⎷ 3t) -cos(⎷

3t) +⎷3sin(⎷3t)

cos(⎷

3t) +⎷3sin(⎷3t)))))

+i((((-2sin(⎷ 3t) -sin(⎷

3t)-⎷3cos(⎷3t)

sin(⎷

3t)-⎷3cos(⎷3t)))))

(27) de la formeZ=X2+iX3.

On sait par un théorème du cours que les parties réelle et imaginaire deZsont des solutions indépendantes

du système. C"est-à-dire que X

2=((((-2cos(⎷

3t) -cos(⎷

3t) +⎷3sin(⎷3t)

cos(⎷

3t) +⎷3sin(⎷3t)))))

etX3=((((-2sin(⎷ 3t) -sin(⎷

3t)-⎷3cos(⎷3t)

sin(⎷

3t)-⎷3cos(⎷3t)))))

(28) sont solutions.

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Finalement la solution du système est

x(t) =((((C

1-2C2cos(⎷

3t)-2C3sin(⎷3t)

-C1+C2(-cos(⎷

3t) +⎷3sin(⎷3t)) +C3(-sin(⎷3t)-⎷3cos(⎷3t)

1+C2(cos(⎷

3t) +⎷3sin(⎷3t)) +C3(sin(⎷3t)-⎷3cos(⎷3t))))))

.(29)

où les constantesC1,C2etC3sont déterminées par la condition initiale. Pourt= 0la solution s"écrit :

x(0) =((((C 1-2C2 -C1-C2-⎷ 3C3 C

1+C2-⎷

3C3))))

1 -1 1))) .(30)

Un calcul élémentaire montre queC1= 1,C2=C3= 0. La solution du système qui vérifie cette condition

initiale est la solution constante x(t) =((( 1 -1 1))) .(31)

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quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

[PDF] [PDF] Exercice 1 Exercice 2

Tous les exercices sont indépendants.

Exercice 1

1) SoitIla matrice unité d"ordren. Peut-on avoirAB-BA=λI,λétant un scalaire non nul?

2) Peut-on avoirAB+BA= 0?

Exercice 2

1) Soit

2 2 1)))

2) Soit

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Résoudre le systèmex=Axavec

CORRECTION :

Exercice 1 :

1) Le seul cas intéressant est évidemment celui où le produitmatriciel n"est pas commutatif. La fonction déter-

2) SiAB+BA= 0, on aAB=-BAet la relation (8) implique alors quedet(AB) = (-1)ndet(BA). La relation

Exercice 2 :

B=D-1(E+F) =(((

0-2 1)))

0 0 2)))

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On a bienρ(B)<1< ρ(L1).

B=D-1(E+F) =(((

0 1/2-1/2

1/2 1/2 0)))

5/2. On a doncρ(B) =⎷5/2. La méthode de Jacobi diverge.

1/2 0 0

0 1/4 1/2)))

1=(((0-1/2-1/2

0 1/2 1/2

0 0 1/2)))

ρ(L1)<1< ρ(B).

Exercice 3 :

Soit la matrice

A-λI=(((

A-λ1I=(((0 1 1

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1=(((1

Pourλ2=i⎷

3le vecteur propre associév2satisfait au système(A-λ2I)v2= 0, avec

A-λ2I=((((-i⎷

2=((((-2

1-i⎷

Par conséquent

Z=ei⎷

3t((((-2

1-i⎷

Z= (cos(⎷

3t)+isin(⎷3t))((((-2

1-i⎷

3t) +⎷3sin(⎷3t)

3t) +⎷3sin(⎷3t)))))

3t)-⎷3cos(⎷3t)

3t)-⎷3cos(⎷3t)))))

2=((((-2cos(⎷

3t) +⎷3sin(⎷3t)

3t) +⎷3sin(⎷3t)))))

3t)-⎷3cos(⎷3t)

3t)-⎷3cos(⎷3t)))))

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Finalement la solution du système est

1-2C2cos(⎷

3t)-2C3sin(⎷3t)

3t) +⎷3sin(⎷3t)) +C3(-sin(⎷3t)-⎷3cos(⎷3t)

1+C2(cos(⎷

3t) +⎷3sin(⎷3t)) +C3(sin(⎷3t)-⎷3cos(⎷3t))))))

1+C2-⎷

3C3))))

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