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Théor`eme 1 La méthode itérative (M) converge ssi le rayon spectral ρ(M−1N) < 1 Exercice 1 : Démonstration du théor`eme Si x = A−1b, montrer que xk − x 

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Corrigé du TD 8 EXERCICE 1 Convergence de méthodes itératives linéaires 1 1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles Soit A une matrice  

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Corrig´es des exercices du chapitre 3 : M´ethodes it´eratives der´esolution de syst`emes lin´eaires

Exercice 1 :D´emonstration du th´eor`eme 10. L"objectif de cet exercice est de montrer que, pour toutp?[1,+∞[,?v? p n i=1 |v i p ?1 p est une norme.

1) Montrer que??

1 est une norme.

2) En utilisant la convexit´e de la fonction exponentielle, montrer que :

p p+β q q, o`uqest tel que1 p+1q=1.

3) En d´eduire que

n i=1 |u i v i p ?v? q , toujours avec1 p+1q=1.

4) Montrer alors que?u+v?

p p +?v? p

On utilisera la relation :(|u

i |+|v i p =|u i |(|u i |+|v i p-1 +|v i |(|u i |+|v i p-1 •?v? p n i=1 |v i p 1/p = 0 ´equivaut `a|v i p =0 pour touti, c"est-`a-dire `av i = 0 pour touti ouv=0. •Pour toutλ? K, ?λv? p n i=1 |λv i p 1/p pn i=1 |v i p 1/p n i=1 |v i p 1/p =|λ|?v? p

1) Pour tousu,v?V,?u+v?

1 n i=1 |u i +v i n i=1 (|u i |+|v i )=?u? 1 +?v? 1

2)?:x?→e

x est convexe car? (x)=e x ≥0 pour toutx?IR. Pourα=0ouβ= 0, l"in´egalit´e est v´erifi´ee de fa¸con ´evidente. Pourα>0etβ>0, posonsx=plnαety=qlnβ. On a alors e 1 p x+? 1- 1 p y pe x 1-1 p? e y Ore 1 p x+? 1- 1 p y =e 1 p x e 1- 1 p y =αβ,e x p ete y q i =|u i ?u? p etβ i =|v i ?v? q 1

Par 2),α

i i p i p+β q i qet n i=1 i i p n i=1 p i +1 q n i=1 q i =1 p?u? ppn i=1 |u i p +1 q?v? qqn i=1 |v i q =1 p+1q=1 donc n i=1 |u i v i p ?v? q

3) PosonsA=

n i=1 (|u i |+|v i p A= n i=1 (|u i |+|v i |)(|u i |+|v i p-1 n i=1 [|u i |(|u i |+|v i p-1 +|v i |(|u i |+|v i p-1 n i=1 |u i |(|u i |+|v i p-1 n i=1 |v i |(|u i |+|v i p-1 p n i=1 (|u i |+|v i pq-q ?1 q +?v? p n i=1 (|u i |+|v i pq-q ?1 q Or1 p+1q= 1 doncpq-q=pet p n i=1 (|u i |+|v i p ?1 q +?v? p n i=1 (|u i |+|v i p ?1 q 1 q (?u? p +?v? p ) doncA 1- 1 q =A 1 p p +?v? p

Enfin,?u+v?

p n i=1 (|u i |+|v i p ?1 p 1 p p +?v? p Exercice 2 :D´emonstration du th´eor`eme 12-i)

SoitA?M

n

Soitu?= 0 tel queA=λuavec|λ|=ρ(A).

Soitvtel queu

t v?M n (K)\{0}. On a, d"une part, •?A(u t t v?(1 •ρ(A)?u t v?=|λ|?u t v?=?λu t v?=?(Au) t v?(2

En combinant (1et (2 onaalors ρ(A)?u

t t v?et comme?u t Exercice 3 :Un exemple de norme matricielle non subordonn´ee

Soit l"application??

E ??M n →IR

A?→ ?A?

E |a ij 2 1/2 =?tr(A A). 2

1) Montrer que??

E est une norme matricielle et non subordonn´ee pourn≥2.

2) Montrer que??

E est invariante par transformation unitaire et qu"elle v´erifie : ?A? 2 E 2 pour toutA?M n

1)•?A?

E = 0 si et seulement si? |a ij 2 = 0, c"est-`a-direa ij = 0 pour tousi,j. •?λA? E |λa ij 2 1/2 2 |a ij 2 1/2 |a ij 2quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15