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Corrigé du TD 8 EXERCICE 1 Convergence de méthodes itératives linéaires 1 1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles Soit A une matrice

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Corrigé du TD 8 EXERCICE 1 Convergence de méthodes itératives linéaires 1 1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles Soit A une matrice

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28 jan 2010 · L1) la matrice d'itération de la méthode itérative de Jacobi (resp Gauss-Seidel) de résolution des systèmes linéaires Ax = b Le but de cet

Analyse Num´eriqueCorrig´e du TD 8

EXERCICE 1

Convergence de m´ethodes it´eratives lin´eaires

1.1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles

SoitAune matrice carr´ee d"ordren >0,A= (aij)i,j=1,...,n. Pour1≤p≤+∞, on note par? ?pla norme matricielle calcul´ee `a partir de la norme vectorielle? ?pi.e. ?A?p= sup ?x?p=1?Ax?p= sup ?x?p≤1?Ax?p= sup x ?=0?Ax?p ?x?p. a. Montrer que son rayon spectralρ(A)v´erifie

ρ(A)≤ ?A?p,?1≤p≤+∞.

Pour le corpsK=CouR, on noteMn(K) l"ensemble des matrices carr´ees d"ordren >0 `a valeurs dansK. Pour montrer queρ(A)≤ ?A?p, on s´epare le casA? Mn(C) qui est ´evident, du cas

A? Mn(R) qui est plus subtil.

CasA? Mn(C)

CommeA? Mn(C) est diagonalisable, il existe un vecteur proprex0?Cnassoci´e `a la plus grande valeur propre en module|λ|=ρ(A) :Ax0=ρ(A)x0. On en d´eduit

ρ(A)?x0?p=?λx0?p=?Ax0?p≤ ?A?p?x0?p,

d"o`u

ρ(A)≤ ?A?p,(1.1)

puisquex0?= 0.

CasA? Mn(R)

Le probl`eme est que la matriceAn"a pas forc´ement ses valeurs propres dansRet donc ses vecteurs propres sont en toute g´en´eralit´e dansCn. Comme pourA? Mn(R), la norme matricielle? ?putilis´ee pour ´evaluer?A?pest calcul´ee `a partir de la norme vectorielle pi.e.du type?x?ppourx?Rn. De ce fait commex0, vecteur propre associ´e `a la plus grande valeur propre en module|λ|=ρ(A), peut ˆetre dansCn, la quantit´e?x0?ppeut ne pas avoir de sens. Pour contourner cette difficult´e, on peut proc´eder comme suit. 1 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 On choisit une norme vectorielleNsurCn. On noteNla norme matricielle calcul´ee sur M n(C) `a partir de la norme vectorielle. On note encoreNsa restriction surMn(R), qui est bien sˆur une norme. CommeMn(R) est de dimension finie, deux quelconques normes sont ´equivalentes : il existeC >0 tel queN(B)≤C?B?ppour toute matriceB? Mn(R). Par r´ecurrence surm?N, on a?

ρ(A)?

m =ρ(Am) et?Am?p≤? ?A?p? m , et l"on obtient grˆace au r´esultat (1.1) la majoration suivante :

ρ(A)?

m =ρ(Am)≤N(Am)≤C?Am?p≤C? ?A?p? m

Ce qui implique

ρ(A)≤C1/m?A?p.(1.2)

En faisantm→+∞dans (1.2), et avec limm→+∞C1/m= 1, on obtient

ρ(A)≤ ?A?p.(1.3)

D"o`u le r´esultat.

b. Soitε >0. Montrer qu"il existe une norme matricielle? ?d´ependant deεet

A, tel que

?A? ≤ρ(A) +ε.(1.4) Il existe une matriceUinversible tel queT=U-1AUsoit une matrice triangulaire,

T=((((((((((((((λ

1t12···t1jt1n-1t1n

2t2n-1t2n......

itijtin 0 n-1tn-1n n)))))))))))))) 2 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009 Pour toutδ, on d´efinit une matrice diagonaleDδ=diag(1,δ ,δ2,...,δn-1)i.e. D δ=(((((((((((((((1 0 0··· ··· ···0

0δ0......

0 ....0δi-1...... .............0 0 ...0δn-2

0··· ··· ···0 0δn-1)))))))))))))))

La matriceTδd´efinie par

δ= (UDδ)-1A(UDδ) =Dδ-1TDδ

v´erifie T

2δn-3t2n-1δn-2t2n......

iδj-itijδn-itin 0 n-1δtn-1n n)))))))))))))) Etant donn´eε >0, on peut choisirδsuffisamment petit pour que les ´el´ements extra- diagonaux deTδsoient tr`es petits aussi, par exemple pour que, pour tout 1≤i≤n-1, n j=i+1δ j-itij≤ε.

Alors l"applicationB?→ ?(UDδ)-1B(UDδ)?∞est une norme matricielle, qui d´epend deε

etA, v´erifie ?A? ≤ρ(A) +ε.

On v´erifieB?→ ?(UDδ)-1B(UDδ)?∞est la norme matricielle calcul´ee `a partir de la norme

vectoriellev?Kn?→ ?(UDδ)-1v?∞. c. Montrer que lim m→+∞?Am?1 m=ρ(A). 3 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

A la questiona.de 1.1, on a montr´e que

ρ(A)≤ ?A?.

En appliquant la relation ci-dessus `a la matriceAm, on obtient

ρ(Am)≤ ?Am?.

Par r´ecurrence surm?Non obtient

ρ(Am) =?

ρ(A)?

Ce qui entraˆıne

ρ(A)?

m ≤ ?Am?p, ou bien encore

ρ(A)≤ ?Am?1/m

p.(1.5) Pour la seconde partie in´egalit´e, on proc`ede comme suit.

Soitε >0, on poseAε=A

ρ(A) +ε.

On a

ρ(Aε) =ρ(A)

ρ(A) +ε

<1. Commeρ(Aε)<1, la suite puissance de matrices (Amε)m≥0converge vers la matrice nulle (la d´emonstration est faite dans l"exercice 1.2a.). Ce qui signifie que la suite des normes (?Amε?p)m≥0est de limite nulle. Donc ?m0?N,?m≥m0,?Amε?p≤1, c"est-`a-dire ?m0?N,?m≥m0,?Am?1/mp≤ρ(A) +ε,(1.6)

En regroupant (1.5) et (1.6), on obtient

?m0?N,?m≥m0,ρ(A)≤ ?Am?1/mp≤ρ(A) +ε.(1.7)

On faitε→0 dans (1.7), et on a

lim m→+∞?Am?1/mp=ρ(A).(1.8) 4 Universit´e de Nice Sophia-AntipolisLicence L3 Math´ematiques Ann´ee 2008/2009

1.2 Suite et s´erie de matrices

D´efinition 1.1.Convergence d"une suite de matrices On dit qu"une suite de matrices(Am)m≥0converge vers la matriceAsi limm→+∞?Am-A?p= 0. a. Montrer que limm→+∞Am= 0??ρ(A)<1.

Montrons quelimm→+∞Am= 0 =?ρ(A)<1.

Supposons que lim

m→+∞Am= 0. Siρ(A)≥1 alors comme?Am?p≥?

ρ(A)?

m , on aurait ?Am?p≥1. Par suite la suite de nombres positifs (?Am?p)m≥0ne converge pas, et donc la suite de matrices (Am)m≥0ne converge pas. N´ecessairement on aρ(A)<1.

Montrons queρ(A)<1 =?limm→+∞Am= 0.

Commeρ(A)<1, il existeε >0 tel queρ(A)+ε <1 (il suffit de prendreε= (1-ρ(A))/2). La questionb.de l"exercice 1.1 dit qu"il existe une norme matricielle? ?(d´ependant de

εetA) telle que

?A? ≤ρ(A) +ε <1. Comme?A?<1, la suite de nombres positives (?A?m)m≥0converge vers le nombre r´eel 0.

Puisque?Am? ≤ ?A?m(par r´ecurrence surm), la suite de nombres positives (?Am?)m≥0converge vers le nombre r´eel 0, ce qui signifie que la suite dematrices (Am)m≥0converge

vers la matrice nulle : limm→+∞Am= 0. b. Monter que la s´erie m=0A mconverge??ρ(A)<1.

Montrer dans ce cas quelimm→+∞+∞?

m=0A m= (I-A)-1.

Montrons que la s´erie

m=0A mconverge=?ρ(A)<1.

Si la s´erie

m=0A mconverge alors la s´erie de nombres positifs+∞? m=0?Am?pconverge, donc la suite de nombres positifs (?Am?)m≥0tend vers 0. D"apr`es la questionb.ci-dessus,

ρ(A)<1.

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Analyse Num´eriqueCorrig´e du TD 8

EXERCICE 1

1.1 Relation entre le rayon spectral et les normes matricielles

ρ(A)≤ ?A?p,?1≤p≤+∞.

A? Mn(R) qui est plus subtil.

CasA? Mn(C)

ρ(A)?x0?p=?λx0?p=?Ax0?p≤ ?A?p?x0?p,

ρ(A)≤ ?A?p,(1.1)

CasA? Mn(R)

ρ(A)?

ρ(A)?

Ce qui implique

ρ(A)≤C1/m?A?p.(1.2)

ρ(A)≤ ?A?p.(1.3)

D"o`u le r´esultat.

A, tel que

T=((((((((((((((λ

1t12···t1jt1n-1t1n

2t2n-1t2n......

0δ0......

0··· ··· ···0 0δn-1)))))))))))))))

La matriceTδd´efinie par

δ= (UDδ)-1A(UDδ) =Dδ-1TDδ

2δn-3t2n-1δn-2t2n......

A la questiona.de 1.1, on a montr´e que

ρ(A)≤ ?A?.

ρ(Am)≤ ?Am?.

Par r´ecurrence surm?Non obtient

ρ(Am) =?

ρ(A)?

Ce qui entraˆıne

ρ(A)?

ρ(A)≤ ?Am?1/m

Soitε >0, on poseAε=A

ρ(A) +ε.

ρ(Aε) =ρ(A)

ρ(A) +ε

ρ(A) +ε

ρ(A) +ε

En regroupant (1.5) et (1.6), on obtient

On faitε→0 dans (1.7), et on a

1.2 Suite et s´erie de matrices

Montrons quelimm→+∞Am= 0 =?ρ(A)<1.

Supposons que lim

ρ(A)?

Montrons queρ(A)<1 =?limm→+∞Am= 0.

εetA) telle que

Montrer dans ce cas quelimm→+∞+∞?

Montrons que la s´erie

Si la s´erie

ρ(A)<1.

CasA? Mn(C)

CasA? Mn(R)