[PDF] [PDF] VARIABLE COMPLEXE EXERCICES et ANNALES
Mme question si f est holomorphe Exercice 1 1 9 Soit U un ouvert connexe de C et soient f et g des fonctions holomorphes sur U telles que f(z) + g(z) ∈ R pour
Vous verrez bientôt en cours que les fonctions holomorphes non constantes sont des fonctions ou- vertes, i e l'image d'un ouvert par une fonction holomorphe non
Mme question si f est holomorphe Exercice 1 1 9 Soit U un ouvert connexe de C et soient f et g des fonctions holomorphes sur U telles que f(z) + g(z) ∈ R pour
Exercice 1 Soit un ouvert connexe non vide ω ⊂ C, soit z0 ∈ ω, et soit une fonction f ∈ O(ω\{z0}) holomorphe en-dehors de z0 On suppose que f est bornée au
c) Trouver toutes les fonctions f holomorphes sur C∗ telles P = e(f) ne dépend pas de θ Exercice 2 11 Soit f : Ω ↦− → C une fonction holomorphe sur Ω ouvert
Exercice 3 Soit Ω un ouvert connexe de C et f une fonction analytique (donc holomorphe) sur Ω On note P et Q les parties réelle et imaginaire de la fonction f et
Chapitre 1 - Travaux Dirigés (Corrigés) Exercice 1 Montrer que la Soient f : U → C une fonction holomorphe, [a, b] un segment réel non réduit à un point
Exercice 1.1.1SoitUun ouvert deCetf:U!C. On noteP=Q==m(f)les parties relle et imaginaire def. a)Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes : (i)fest holomorphe surU. (ii) Pour toutz02U,fest direntiable enz0etDfz0estC-linaire. (iii) Pour toutz0=x0+iy02U,fest direntiable enz0et@f@y (z0) = i @f@x (z0)(par denition,@f@x (z0) =@P@x (x0;y0) +i@Q@x (x0;y0)et@f@y (z0) = @P@y (x0;y0) +i@Q@y (x0;y0)). (iv) Pour toutz0=x0+iy02U,fest direntiable enz0etfvrie les quations de Cauchy-Riemann, c'est dire que @P@x (x0;y0) =@Q@y (x0;y0) et@P@y (x0;y0) =@Q@x (x0;y0): b)Montrer que sifest holomorphe enz0=x0+iy02Ualors pour tout u2C, on aDfz0(u) =f0(z0)u. En dduire que : f
0(z0) =@P@x
(x0;y0) +i@Q@x (x0;y0)etJacfz0=jf0(z0)j2: 5
6CHAPITRE 1. HOLOMORPHIE : PROPRIETESELEMENTAIRES
Exercice 1.1.2Les applications suivantes sont elles holomorphes sur un ouvert
UdeC? Si oui, calculer leur drive.
1.z7!z.
2.z7!zz.
3.z7!
4.z7! =m(z).
5.z7!z
3.
6.z7!zkpourk2Nx.
7.z7!zkpourk2Nx.
8.z7!ez:=ex(cosy+isiny)siz=x+iy.
Exercice 1.1.31. Soitf:C!Cdenie parf(x+iy) =x+ 2ixy. La fonctionfest-elle holomorphe surC?
c)fadmet des drives partielles et ou les quations de Cauchy-Riemann sont satisfaites.
Exercice 1.1.6Soitf:C!Cla fonction dnie par :
f(x+iy) =8 :xy(x+iy)x
2+y2six+iy6= 0,
0six+iy= 0.
Montrer quefn'est pas direntiable en0, mais possde des drives partielles qui satisfont les quations de Cauchy-Riemann en0. Exercice 1.1.7SoitUun ouvert connexe deC. Soitf:U!Cune fonction holomorphe. On noteP=1. Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes :
Exercice 1.1.10SoitUun ouvert connexe deCet soientfetgdes fonctions holomorphes surUtelles quef(z)g(z)2Rpour toutz2U. On suppose aussi queg(z)6= 0pour toutz2U. Montrer qu'il existec2Rtel quef(z) =cg(z) pour toutz2U. Exercice 1.1.11Soitf:U7!Cune fonction holomorphe surUouvert connexe deC. On noteP=Dz6= 0. i)Montrer que s'il existe une constantek2Rtelle que8(x;y)2U, (P(x;y);Q(x;y)) =k, alorsfest constante surU. ii)Quelles sont les fonctions holomorphes surUdont l'image est incluse dans une droite du plan?; un cercle du plan? Exercice 1.1.12Soitf:U7!Cune fonction holomorphe surUouvert connexe deC. On noteP=1. Caractriser les fonctionsQ1:U!Rtelles queP+iQ1est holomorphe surU.
2. Trouver toutes les fonctionsf:C!Cholomorphes telles que
1. Donner une condition necessaire et susante portant sura;b;cpour qu'il
existefholomorphe surCtelle que2. Si cette condition est remplie, determiner toutes les fonctionsfholomorphes surCtelles que0=r0exp(i0),(r0;0)2R+R. a)Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes (i)fest drivable enz0. (ii) @f@ (z0) =ir0@f@r (z0): (iii) @P@r (r0cos(0);r0sin(0)) =1r 0@Q@ (r0cos(0);r0sin(0))et @P@ (r0cos(0);r0sin(0)) =r0@Q@r (r0cos(0);r0sin(0)) Les quations (ii) et (iii) sont appeles les quations de Cauchy-Riemann en coordonnes polaires. b)Application :On noteUle plan complexe priv de la demi-droitefz: Montrer quefest holomorphe surU. Calculerf(z)2. c)Trouver toutes les fonctionsfholomorphes surCtellesP=1.2 Considerations geometriques
Exercice 1.2.1SoitA=a b
c d un endomorphisme deR2. Montrer que les assertions suivantes sont quivalentes :
(i) dtA>0et il existek2R+tel que pour tousu;v2Con a :hAu;Avi= k
2hu;vi;
(ii) il existe2Retk2R+tels que
A=kcosksin
ksin kcos (iii)a=detb=c; (iv) il existew2Ctel que pour toutu2Con a :Au=wu; (v)Aest la compose d'une rotation de centre 0 et d'angleet d'une homothtie de rapportk. (vi)AestC-linaire; (vii)A(i) =iA(1); Si dtA6= 0, ces conditions sont encore quivalentes : (viii)Aprserve les angles orients (dans ces conditions on dit queAest une similitude directe). Rappelons que siz1,z2sont deux lments deC, on appelle angle orient entre les vecteursz1,z2l'unique rel2[;[tel que : z
2jz2j=eiz1jz1j:
Exercice 1.2.21. SoitUun ouvert deCet soitf:U!Cune application dierentiable. Montrer que les assertions suivantes sont equivalentes : (a)fest holomorphe surUetf0(z)6= 0pour toutz2U. (b)fprserve les angles orients entre les courbes etf0(z)6= 0pour tout z2U. (c) Pour toutu2U,Dfuest de la formekuAuouku2]0;+1[etAuest une rotation deR2.
1.2. CONSID
ERATIONS GEOMETRIQUES11
(d) Pour toutu2U,Jacfu>0etDfuconserve l'angle oriente de deux vecteurs deR2. N.B :Une application qui prserve les angles orients entre les courbes qui se coupent en un pointz0est diteconforme en z0.
2.Application 1: soientf:z7!ez,a;b2Ret soit1(resp.2) la droite
d'equationx=a(resp.y=b). (a) Determinerf(1),f(2)etf(1)\f(2). (b) Que signie geometriquement le resultat precedent?
bord. Exercice 2.1.1Calculer le rayon de convergence des sries suivantes : a) X n>0n nn!znb)X n>0n!znc)X n>0(2n)!(n!)2zn d) X n>0n!zn2e)X n>02 nzn!: Montrer que la sriec)converge pour toutztel quez6=14 etjzj=14
Exercice 2.1.2Soit2]0;2[,6=.
a)Montrer que sijzj<1, la srieX n>1cos(n)n znconverge absolument. b)Montrer que, pourz=eiouz=ei, la srie du a) diverge. En dduire le rayon de convergence de cette srie. c)Montrer, sur cet exemple, qu'une srie entire et sa srie drive n'ont pas le mme comportement sur le bord du disque de convergence. Exercice 2.1.3Calculer le rayon de convergence des sries suivantes et tudier la convergence de la srie sur le bord du disque de convergence : a) X n>1z nn pn b)X n>2z nn(lnn)2c)X n>1e in2=2n zn: 13
14CHAPITRE 2. SERIES ENTIERES
Exercice 2.1.4La convergence absolue d'une srie entire en un point du cercle de convergence implique-t-elle la convergence absolue en tout point de ce cercle?
Exercice 2.1.5
a)SoitX n>0a nznune srie entire de rayon de convergenceR >0,z02C, jz0j=R. Montrer que si la srie numrique X n>0a nzn0 converge alors la srie de fonctions z7!X n>0a nzn converge uniformment sur le segment[0;z0]du plan complexe. b)Application :on veut montrer que log2 = X n>0(1)nn+ 1:(2.1) (i)Montrer que la srie entire X n>1(1)n1znn a pour rayon de convergence 1 et que pour toutt2]1;1[, log(1 +t) =X n>0(1)nn+ 1tn+1: (ii)En utilisanta), en dduire la formule (2.1).
2.2 Dveloppement en srie entire
Exercice 2.2.1Dvelopper en srie entire au voisinage de 0 les fonctions suivantes (on prcisera le rayon de convergence) : a)g(z) =2(1 +z)3.
2.3. THORME DE LIOUVILLE ET FORMULE DE PARSEVAL15
b)h(z) =eztan()cos(z), o2RnZest x etcosz:=eiz+eiz2
Rciproquement, on considre la srie entireS(z) :=X
n>1nz n. Calculer le rayon de convergence de cette srie entire et expliciterS(z).
Exercice 2.2.2Soitf:R!Rdnie par
f(x) =( exp1x
2six6= 0
0six= 0:
a)Montrer quefest de classeC1surR. b)Montrer quefn'est pas dveloppable en srie entire au voisinage de 0 et n'est donc pas analytique en 0.