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Université Paris Dauphine

Licence de mathématiques appliquées

Analyse complexe

TD 4. Fonctions holomorphes

Exercice 1.Déterminer si les fonctions suivantes sont holomorphes surC: a(x+iy) =x+ 2iy; b(x+iy) = sin(x)cosh(y) +icos(x)sinh(y); c(x+iy) =x33xy2+i(3x2yy3); d(x+iy) = sin(x) +iycos(x): Exercice 2.Déterminer l"ensemble des fonctionsfholomorphes surCdont la partie réelle est : P(x+iy) = 2xy; P(x+iy) =x2y2+eysin(x)eycos(x); P(x+iy) = (xy)2:

Exercice 3.Soit

un ouvert connexe deCetfune fonction analytique (donc holomorphe) sur . On notePetQles parties réelle et imaginaire de la fonctionfet on suppose qu"il existe des nombres réelsaetbtels que 8z2 ; P(z) +aQ(z) +b= 0:

1.aMontrer que

8z2 ; @xP(z) =@xQ(z) =@yP(z) =@yQ(z) = 0:

1.bEn déduire que

8z2 ; f0(z) = 0:

2.aSoitn2N. Montrer que

8z2 ; f(n)(z) = 0:

2.bSoitz02

. En déduire qu"il existe un réelR >0tel que

8z2D(z0;R); f(z) =f(z0):

2.cConclure que la fonctionfest constante sur l"ouvert

Exercice 4.Soitu2C2(R2;R)harmonique. Montrer qu"il existe une fonction entière dont uest la partie réelle. Exercice 5.SoitU:=Cn[0;1]etf(z) =1z(z1)pour toutz2Umontrer que pour tout chemin fermé etC1par morceaux dansU,R f(z)dz= 0. 1

Exercice 6.SoitU:=D(1;1)n f1get

f(z) :=1z(z1);8z2U montrer quefn"admet pas de primitive (globalement) surU.

Exercice 7.Soit

1et

2:[0;1]!Cdifférentiables et fermés. Montrer queI

2(0) =

1(0) +I

2(0).

Exercice 8.Soit

1et

2:[0;1]!Cdifférentiables et fermés etz2C. On suppose que

j 1(t)

2(t)j
1(t)j 8t2[0;1]:

Montrer queI

1(z)etI

2(z)sont bien définis et qu"ils sont égaux (on pourra penser à se
ramener àz= 0et utiliser l"exercice précédent). Exercice 9(Encore une preuve du théorème de d"Alembert-Gauss).SoitP2C[X]de la formeP(z) =a0+:::+an1zn1+znavecn1.
1.Montrer que pourR >0assez grand on a8z2Ctel quejzj=R:
jznj>ja0+:::+an1zn1j et0=2 fP(Reit);t2[0;2]g. On fixe désormais un telR.
2.Soit
(t) :=P(Reit)et(t) :=Rneint,t2[0;2], montrer queI (0) =I(0)et calculer cette valeur.
3.Montrer quePa une racine dansD(0;R)(raisonner par l"absurde et considérerr7!
I r(0)où r(t) :=P(reit),r0ett2[0;2]). Exercice 10.SoitUun ouvert non vide deC,2Cetfholomorphe surUnfget bornée au voisinage de. Montrer quefs"étend en une fonction holomorphe surU. Exercice 11.SoitPanzn, une série entière de rayon de convergence égal à1, et de somme notéeS. On suppose que
8z2D(0;1);jS(z)j<11 jzj:

1.aSoitn2Net0< r <1. Quelle formule relie la valeur deanà une intégrale qui fait
intervenir la valeur defsur le cercleS(0;r)?
1.bEn déduire que
janj<1r n(1r):
2.aSoitn2N, et8r2]0;1[; n(r) =1r
n(1r). Montrer que la fonctionnadmet un unique minimum sur]0;1[que l"on calculera. 2
2.bEn déduire que(ja0j<1;

8n1;janj<(n+1)n+1n
n:
2.cConclure que

8n2N;janj< e(n+ 1):
Exercice 12.Soita >0, etfune fonction holomorphe surCtelle que
8z2C;jf(z)j a:

1.Soit8z2C; g(z) =1f(z). Montrer que la fonctiongest définie, bornée et holomorphe
surC.
2.En déduire que la fonctionfest constante surC.
Exercice 13.Calcul d"intégrales sur des chemins
1.Soit8z2C; f(z) =z21. On considère les chemins paramétrés suivants :
a)8t2[0;1];
1(t) =t+it2;b)8t2[0;2];

2(t) = 2et+it;
c)8t2[0;2];
3(t) = cos(t) +isin(2t):
Montrer que l"intégrale de la fonctionfsur chacun des chemins considérés est bien définie, et calculer sa valeur.
2.Soit8t2[0;2];
(t) =eit. On considère les fonctions suivantes : a)8z2Cn0;a(z) =1z ;b)8z2C; b(z) =jz2j;c)8z2C; c(z) =z2: Montrer que l"intégrale sur le chemin paramétré de chacune des fonctions considérées est bien définie, et calculer sa valeur.quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11

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Analyse complexe

TD 4. Fonctions holomorphes

Exercice 3.Soit

1.aMontrer que

1.bEn déduire que

2.aSoitn2N. Montrer que

2.bSoitz02

8z2D(z0;R); f(z) =f(z0):

2.cConclure que la fonctionfest constante sur l"ouvert

Exercice 6.SoitU:=D(1;1)n f1get

Exercice 7.Soit

2:[0;1]!Cdifférentiables et fermés. Montrer queI

2(0) =

1(0) +I

Exercice 8.Soit

2:[0;1]!Cdifférentiables et fermés etz2C. On suppose que

1(t)j 8t2[0;1]:

Montrer queI

1(z)etI

2(z)sont bien définis et qu"ils sont égaux (on pourra penser à se

1.Montrer que pourR >0assez grand on a8z2Ctel quejzj=R:

2.Soit

3.Montrer quePa une racine dansD(0;R)(raisonner par l"absurde et considérerr7!

8z2D(0;1);jS(z)j<11 jzj:

1.aSoitn2Net0< r <1. Quelle formule relie la valeur deanà une intégrale qui fait

1.bEn déduire que

2.aSoitn2N, et8r2]0;1[; n(r) =1r

2.bEn déduire que(ja0j<1;

8n1;janj<(n+1)n+1n

2.cConclure que

8n2N;janj< e(n+ 1):

8z2C;jf(z)j a:

1.Soit8z2C; g(z) =1f(z). Montrer que la fonctiongest définie, bornée et holomorphe

2.En déduire que la fonctionfest constante surC.

1.Soit8z2C; f(z) =z21. On considère les chemins paramétrés suivants :

1(t) =t+it2;b)8t2[0;2];

2(t) = 2et+it;

3(t) = cos(t) +isin(2t):

2.Soit8t2[0;2];