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Vous verrez bientôt en cours que les fonctions holomorphes non constantes sont des fonctions ou- vertes, i e l'image d'un ouvert par une fonction holomorphe non  

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Mme question si f est holomorphe Exercice 1 1 9 Soit U un ouvert connexe de C et soient f et g des fonctions holomorphes sur U telles que f(z) + g(z) ∈ R pour  

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TD n°2 : Fonctions Holomorphes CORRECTION Exercice 1 Calculer la −1 donc la fonction ne vérifie pas les conditions de Cauchy-Riemann, elle n'est de 

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Exercice 1 Soit un ouvert connexe non vide ω ⊂ C, soit z0 ∈ ω, et soit une fonction f ∈ O(ω\{z0}) holomorphe en-dehors de z0 On suppose que f est bornée au 

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c) Trouver toutes les fonctions f holomorphes sur C∗ telles P = e(f) ne dépend pas de θ Exercice 2 11 Soit f : Ω ↦− → C une fonction holomorphe sur Ω ouvert  

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INTERROGATION (CORRIGÉ) Exercice 1 (Questions de cours, 4 points) 1 Démontrer que la partie imaginaire d'une fonction holomorphe est harmonique 2

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Exercice 3 Soit Ω un ouvert connexe de C et f une fonction analytique (donc holomorphe) sur Ω On note P et Q les parties réelle et imaginaire de la fonction f et 

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En quels points la fonction z ↦→ ¯z est-elle dérivable au sens complexe ? Même question pour z ↦→ z2 Exercice 3 Soit f une fonction holomorphe sur un 

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Chapitre 1 - Travaux Dirigés (Corrigés) Exercice 1 Montrer que la Soient f : U → C une fonction holomorphe, [a, b] un segment réel non réduit à un point

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Cours et exercices corrigés André Giroux 5 Propriétés analytiques des fonctions holomorphes 61 9 7 Propriétés géométriques des fonctions holomorphes

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Licence 3 - Mathématiques2016-2017Fonctions holomorphes (HOLO)

INTERROGATION(CORRIGÉ)

Exercice 1(Questions de cours, 4 points).

1. Démontrer que la partie imaginai red"une fonction holomorphe est harmonique. 3.

Soient

long de tout chemin fermé contenu dans est-elle nulle?

Exercice 2(Deux équations, 4 points).

Exercice 3(Logarithmes, 3 points).

1. Dans le cas affirmatif, donner une définition de cette détermination. On définit une détermination du logarithme en posant +:C-[0,+∞[-→C

2.Même question sur le plan complexe privé de l"ensemble

On définit une détermination du logarithme en posant

Exercice 4(Intégrales, 4 points).

1.Paramétrer le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique.

L"application

est un paramétrage du cercle unité du plan complexe euclidien parcouru dans le sens trigonométrique.

2.Calculer à l"aide du paramétrage précédent︀∬︀

Comme le rayon de convergent de la série qui définitcoshest infini, la série de fonctions︀-+∞ . Par conséquent, 0 admet-elle une primitive surC×? Si oui, l"expliciter. n"admet pas de primitive surC×.

Exercice 5(Intégrales, 5 points).

1.Enoncer la formule de Cauchy pour les disques, en précisant les hypothèses.

question de cours.

L"applicationsinest holomorphe surC, donc

1=︁∬︁

de rayon de convergence infini donc holomorphe surC. Donc

2=︁∬︁

holomorphe surC. Donc︀∬︀

3=︁∬︁

5.

3surC×, lesquelles ont une primitive

holomorphe surC×? Elle admet donc surCet donc surC×la primitive︀- n"admet donc pas de primitive surC×.

3=︀-+∞

3admet comme primitive

surC×quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11