Exercices et Corrigés en complément du Tribus Mesures 2 1 Rappels tr`es succints surl'intégrale de Riemann 2 2 Pourquoi la tribu borélienne ? 17 20
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Universit´e Pierre et Marie Curie2004-2005
Licence de math
ematiques T el´e-enseignement Int egrationExercices et Corrig
es en compl´ement du Cours de Gilles Pag`esJacques F´ejoz
fejoz@math.jussieu.fr Il est n´ecessaire de chercher longtemps soi-mˆeme les exercices, avant de s"aider du corrig´e. Je vous encourage `a choisir unexercice par chapitre, parmi ceux qui ne sont pas les plus ´el´ementaires, `a r´ediger sa solution et `a m"envoyer votre travail pour que je le cor- rige.Adopter une r´edaction concise et v´erifier scrupuleusement ses d´emonstrations: ceux qui suivront ces deux conseils seront r´ecompens´es.Table des mati`eres
Chapitre 1. Int´egrale de Riemann. Tribus. Mesures 21. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann 2
2. Exemples de limites de sous-ensembles 4
3. Exemples ´el´ementaires de tribus 5
4. Tribus et partitions6
5. Tribus et topologies8
9. Exemples d"applications mesurables 9
10. Tribu image r´eciproque 10
11. Tribu image directe11
13. Partitions, extractions et mesurabilit´e 12
15. Mesure invariante par une application * 12
16. Le th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e 14
17. Entropie d"une partition 16
18. Pourquoi la tribu bor´elienne ? 17
20. Une mesure diffuse purement atomique 18
24. L"ensemble de Cantor * 19
Chapitre 2. L"int´egration par rapport `a une mesure 221. Exemples ´el´ementaires 22
2. Un exemple bˆete23
3. In´egalit´e de Fatou stricte 25
4. Un crit`ere d"int´egrabilit´e 25
5. Une application du th´eor`eme de convergence monotone 27
6. Une application du th´eor`eme de convergence domin´ee 28
7. Int´egration par rapport `a une mesure image 28
8. Centre de masse31
9. Noyaux probabilistes32
Chapitre 3. Interversion de limites et d"int´egrales 361. Int´egrales et primitives 36
2. Passages `a la limite dans une int´egrale 38
3. Interversions d"une somme de s´erie et d"une int´egrale 39
4. D´erivation sous le signe somme 41
5. Calcul d"un ´equivalent par la m´ethode de Laplace 42
2TABLE DES MATI`ERES3
6. Formule de Stirling par la m´ethode de Laplace 43
8. Partie finie de Hadamard 45
9. D´erivation sous le signe somme - un cas pathologique simple 47
11. Des questions de sommabilit´e 48
12. Le th´eor`eme ergodique de Birkhoff (1931) 50
13. In´egalit´e de Jensen et entropie d"une partition 54
Chapitre 4. Produits de mesures 57
1. Questions ´el´ementaires 57
2. Carr´e de la mesure de comptage 57
3. Un contre-exemple au th´eor`eme de Fubini 58
4. Mesure d"un graphe58
5. Applications du th´eor`eme de Fubini 59
6. Calculs de volumes de solides 63
7. Int´egrale curviligne65
8. Int´egrale de surface67
10. Action lagrangienne et g´eod´esiques 69
11. Calcul d"une int´egrale multiple 73
12. Propri´et´es ´el´ementaires des fonctions Γ etBet application `a une formule sommatoire
13. Variables al´eatoires ind´ependantes * 77
14. Exemples de produits de convolution 79
15. Convol´ee de probabilit´es de Poisson * 80
Chapitre 5. Les espaces de fonctions int´egrables 821. Application de l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz 82
2. Convergence simple et convergence dansLp82
3. NormesLp83
4. S´eries de Fourier dansL2* 84
5. Esp´erance conditionnelle et th´eor`eme ergodique de Birkhoff * 88
Chapitre 6. La transform´ee de Fourier 92
1. Calculs et propri´et´es ´el´ementaires 92
2. R´egularit´e de la transform´ee de Fourier 93
4. Non surjectivit´e de la transformation de Fourier 94
5.´Equation de propagation 95
6.´Equation de diffusion de la chaleur 96
8.´Equivalent d"une int´egrale de Fresnel 100
9. Rotations irrationnelles et s´eries de Fourier 102
10. Th´eor`eme central limite 103
CHAPITRE 1
Int´egrale de Riemann. Tribus. Mesures
Sommaire
1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann 2
2. Exemples de limites de sous-ensembles4
3. Exemples ´el´ementaires de tribus5
4. Tribus et partitions6
5. Tribus et topologies8
9. Exemples d"applications mesurables9
10. Tribu image r´eciproque10
11. Tribu image directe11
13. Partitions, extractions et mesurabilit´e 12
15. Mesure invariante par une application * 12
16. Le th´eor`eme de r´ecurrence de Poincar´e 14
17. Entropie d"une partition16
18. Pourquoi la tribu bor´elienne ?17
20. Une mesure diffuse purement atomique 18
24. L"ensemble de Cantor *19
1. Rappels tr`es succints surl"int´egrale de Riemann.Soient
a < bdeux r´eels etEun espace de Banach r´eel. NotonsBl"espace des fonctions born´ees deIdansE, muni de la norme?f?∞= sup t?I?f(t)?. Notons aussiEle sous-espace deBdes fonctions en escalier. a.Montrer que l"ensemble des subdivisions deIest muni d"une re- lation d"ordre naturelle. Siαetβsont deux subdivisions deI, on noteraα?βleur borne inf´erieure pour cette relation d"ordre. b.Rappeler la d´efinition de l"int´egrale de Riemann d"une fonction en escalierf?E. c.Interpr´etercette d´efinition g´eom´etriquementdans le cas o`uE=R. d.Montrer que l"application ainsi d´efinieI= (E,?·?∞)→(E,?·?) est lin´eaire et uniform´ement continue. NotonsRl"espace desfonctions r´egl´eesdeIdansE; par d´efinition, c"est l"adh´erence deEdans (B,??∞). e.Montrer qu"il existe un unique prolongementcontinu de l"application I`aR. 41. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 5
NotonsE(I,R) l"espace des fonctions en escalier deIdansR.Quelle que soitf?B, notons
etN(f) = infI(f),I(f) =?
?b a p(t)dt, p?ˆE(f)? f.Montrer queNd´efinit une semi-norme surB. NotonsAl"espace desfonctions Riemann-int´egrablesdeIdans E; par d´efinition, c"ets l"adh´erence deEdansBpour la topologie deN. g.Montrer qu"il existe un unique prolongementcontinu de l"application I`aA.Correction.
a.Une subdivision deIs"identifie `a une partie finie de l"int´erieur ]a,b[ deI. Alors l"ensembledes subdivisions est muni de la relation d"ordre partiel de l"inclusion, et la borne inf´erieure de
deux subdivisions est simplement leur r´eunion. b.Soitαune subdivision adapt´ee `af. Notonsα={α1< ... < αn},α0=aetαn+1=b. La fonctionfest de la forme f=? j1]αj,αj+1[+? j1{αj}, o`ucj,dj?Eet o`u, pour toute partieAdeI,1A:t?→1 sit?Aet 0 sit /?A, d´enote la fonction indicatrice deA. Par d´efinition, l"int´egrale de Riemann defest le vecteur b a f(t)dt=?En prenant une autre subdivisionβadapt´ee `afet en consid´erant la subdivisionα?βon voit
que cette d´efinition ne d´epend pas de la subdivision choisie.c.Dans le cas o`uE=R, le r´eel (αj+1-αj)cjest l"aire alg´ebrique du rectangle bord´e par l"axe
des abscisses et le graphe de la restriction def`a l"intervalle ]αj,αj+1[ (compt´ee n´egativement si
c j<0). Donc?b af(t)dtest l"aire alg´ebrique de la r´egion du plan d´elimit´ee parl"axe des abscisses et le graphe def.d.Soientf,g?Eetλ,μ?R. Soientαune subdivision adapt´ee `af,βune subdivision adapt´ee
`ag, etγ=α?β. En utilisant la formule pr´ec´edente avec la subdivisionγon voit que l"on a
I(λf+μg) =λI(f) +μI(g).
De plus, avec les notations de la question pr´ec´edente, on a b a f(t)dt????? ce qui montre queI:E→Best lipschizienne, donc uniform´ement continue. e.Supposons que˜Isoit un prolongement continu deI`aR. Soitfune fonction r´egl´ee.Par d´efinition, il existe une suite (φn) deEqui converge versf. En particulier, (φn) est de
Cauchy. CommeIest uniform´ement continue, (I(φn)) aussi est de Cauchy. Comme cette derni`ere est une suite r´eelle et commeRest complet, (I(φn)) converge. Comme˜Iest continu, ˜I(f) = limnI(φn). Ceci montre que le prolongement est unique.1. INT´EGRALE DE RIEMANN. TRIBUS. MESURES 6
En prenant une seconde suite (ψn) de fonctions en escalier tendant versf, on voit que lalimite deI(ψn) co¨ıncide forc´ement avec celle deI(φn), parce queφn-ψnconverge vers 0?E,
dont l"int´egrale au sens deIest nulle. Donc c"est une semi-norme. (Le seul axiome qui manque pour enfaire une norme est l"axiome de s´eparation.) g.L"applicationI: (E,N)→(E,?·?) est uniform´ement continue, et se prolonge donc comme pr´ec´edemment en une fonction continue d´efinie sur l"adh´erenceAdeE.