[PDF] Intégration et probabilités TD — Tribus, mesures

Si F et G sont deux tribus, e-ce que F ∪G e toujours une tribu ? Corrigé : On fera cet exercice lors du TD □ 4 – Divers Exercice 5 Montrer que pour

Bn appartiennent aussi `a cette tribu ) Exercice 0 2 [Application immédiate et résultat utile ] Soient Ω et E deux ensembles et f : Ω −→ E une application

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Tribus et fonctions mesurables 1 Exercices 1 Ensembles dénombrables (I) a Soit n ≥ 1 entier Montrer que Nn est dénombrable b En déduire que le produit

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Montrer que M est la tribu engendrée par une partition dénombrable En déduire en utilisant l'exercice précédent que M est finie Corrigé a A(x) est une

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Exercices et Corrigés en complément du Tribus Mesures 2 1 Rappels tr`es succints surl'intégrale de Riemann 2 2 Pourquoi la tribu borélienne ? 17 20

[PDF] Tribus et mesures

Décrire la tribu engendrée par les parties finies de X Exercice 5 a) Soit A = {A1, ,An} une partition finie d'un ensemble E

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Si F et G sont deux tribus, e-ce que F ∪G e toujours une tribu ? Corrigé : On fera cet exercice lors du TD □ 4 – Divers Exercice 5 Montrer que pour

[PDF] TD4 Tribus Échauffements Tribus engendrées Tribus et fonctions

Exercice 3 ⋆ Soit E un ensemble a) Décrire la tribu engendrée par la classe S des singletons de E b

[PDF] µ

Montrer que si µ est σ-finie, on peut choisir les An deux à deux disjoints Exercice 4 Soit (X, T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons Soit µ

Corrig

´e :

La suitefn(x) tend en croissant versf(x). En effet, six2Bn;i, on v´erifie que f n+1(x) =8 >><>>:f n(x) si2i2 n+1f(x)<2i+12 n+1 f n(x)+12 n+1si2i+12 n+1f(x)<2(i+1)2 n+1; et que six2Analors f n+1(x) =8 >><>>:n+1sif(x)n+1 n2n+1+l2 n+1sin2n+1+l2 n+1f(x)Il en d

´ecoule que la suitfn(x) e?croissante.

D"autre part, par con?ru?ion, six2 ff < n0galors0f(x)fn(x)2npournn0. On en d´eduit quefn(x)!f(x) lorsquex2 ff <+1g=[k1ff < kg. D"autre part, six2 ff= +1g=\k1ffkg, alorsfn(x) =n!+1. Remarque.SifM, alors0f(x)fn(x)2npournMet la convergence e?uniforme.

1 - Petites questions1) E?-ce que l"ensemble des ouverts deRe?une tribu?

2) Si on notela mesure de Lebesgue, rappeler pourquoi(fxg)=0pour toutx2R. Alors :

(R)=0BBBBB@[ x2Rfxg1CCCCCA=X x2R (fxg)=X

x2R0=0:Pour des que?ions, demande de pr´ecisions ou explications,n"h´esitez pas`a m"envoyer un mail`a

igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4. 1 O `u e?le probl`eme?

3) SiFetGsont deux tribus, e?-ce queF [Ge?toujours une tribu?

4) Si (an)n1et (bn)n1sont deux suites de nombres r´eels, a-t-on toujours

limsup n!1(an+bn) = limsup n!1an+limsup n!1bn?

Et si les deux suites sont born

´ees? Et sibnconverge?

Corrig

´e :

1) Non, car le compl´ementaire de]1;0[n"e?pas ouvert.

2) Non, pas toujours. Par exemple si, en notant

=f1;2;3g, on prendF=f;;f1g;f2;3g; getG= f;;f2g;f1;3g; g? En effet, on a alorsF [ G=f;;f1g;f2g;f2;3g;f1;3g; g, qui n"e?pas?able par union ( f1g[f2g3) On a(fx)g) = limn!1([x1=n;x+1=n]) =0. Par ailleurs l"´egalit´e(S x2Rfxg)=P x2R(fxg)n"e? pas v

´erifi´ee carRn"e?pas d´enombrable.

4) Ce n"e?pas toujours vrai (prendre par exemplean=bn=n). En revanche, le terme de gauche e?

inf

´erieur ou´egal au terme de droite lorsque les deux suites sont born´ees, et l"´egalit´e e?v´erifi´ee lorsque

b nconverge.

2 - MesuresExercice 1.(Lemme de Borel-Cantelli) (E;A; ) e?un espace mesur´e (e?une mesure positive) et que

(An)n1e?une suite d"´el´ements deA. On rappelle que l"on note liminf n!1An=[ n1\ knA k;limsup n!1An=\ n1[ knA k:

1.Mon trerque

liminfn!1An liminfn!1(An); et que si([n1An)<1, alors limsup n!1An! limsup n!1(An): ?u"e?-ce qui se passe si([n1An) =1?

2.(Lemme de Borel-Cantelli.)On suppose queP

n1(An)<1. Montrer que limsup n!1An! =0:

3.(Une application du lemme de Borel-Cantelli.)Soit" >0. Montrer que pour presque-toutx2[0;1]

(pour la mesure de Lebesgue), il n"exi?e qu"un nombre fini de rationnelsp=qavecpetqpremiers entre eux tels quexpq <1q 2+"; i:e:presque toutxe?"mal approchable par des rationnels`a l"ordre2+"".

Corrig

´e :

1.On remarque que, pour tout n0et pour toutkn,

BBBBBB@\

pnA p1

CCCCCCA(Ak):

Ainsi,

0BBBBB@\

knA k1

CCCCCAinfkn(Ak):(1)

Or la suite (\knAk)n0e?croissante. Le r´esultat s"obtient donc en passant`a la limite quand n!+1dans (1). De mˆeme, on a

0BBBBB@[

knA k1

CCCCCAsup

kn(Ak):(2) Or la suite ([knAk)n0e?d´ecroissante et([n0An)<+1. Le r´esultat s"obtient donc en passant

a la limite quandn!+1dans (2). On peut aussi utiliser le r´esultat pr´ec´edent et raisonner en

passant au compl ´ementaire. En effet, posonsF=[n0An. On a alors

Fnlimsup

n!1An= liminfn!1(FnAn): Donc,

Fnlimsup

n!1An! liminfn!1(FnAn); c"e?-`a-dire, (F) limsup n!1An! (F)limsup n!1(An):

Comme(F)<1, cela implique le r´esultat.

2.On a, pour tout n0,

0BBBBB@[

knA k1

CCCCCAX

kn(Ak):

Or(limsupk!1Ak)([knAk)pour toutn0etP

kn(Ak) e?le re?e d"une s´erie conver- gente et donc tend vers0quandn!+1. On obtient ainsi le r´esultat.

3.P ourtout q1, on note

A q= [0;1]\q p=0" pq 1q

2+";pq

+1q 2+"#

Ainsi,(Aq)2=q1+". Par cons´equent,

X q1(Aq)<+1: D"apr `es le lemme de Borel-Cantelli,(limsupq!1Aq) =0, or l"ensemble limsupq!1Aqcontient l"ensemble des r ´eels bien approchables par des rationnels`a l"ordre2+". Voir 3

Exercice2.(Mesure surZ) Exi?e-t-il une mesure de masse finie sur (Z;P(Z)) invariante par translation?

Corrig

´e :

Oui, mais seulement la mesure nulle. En effet, soitune mesure non nulle de masse finie sur (Z;P(Z)) invariante par translation. Commee?non nulle, il exi?en2Ztel quec:=(fng)>0. Par invariance par translation, il vient(fkg)=cpour toutk2Z. Mais alors, commeZe?d´enombrable : (Z)=([k2Zfkg)=X k2Z (fkg)=X k2Zc=1; ce qui contredit le fait quee?de masse finie.

3 - TribusExercice 3.(Op´erations sur les tribus)

1.Soit Fune tribu de

etBun´el´ement deF. Montrer que l"ensembleFB:=fA\B;A2 F ge?une tribu deB.

2.Soit ( XY;F) un espace-produit mesur´e et:XY!Xla proje?ion canonique. L"ensemble

X:=f(F);F2 F ge?-il une tribu?

3.On consid `ere surN, pour chaquen0, la tribuFn=(f0g;f1g;:::;fng). Montrer que la suite de

tribus (Fn;n0) e?croissante mais queS n0Fnn"e?pas une tribu. Indication :On pourra raisonner par l"absurde et utiliser le sous-ensemble2N.

4.( Partiel2010) Soit (E;A) un espace mesurable. SoitCune famille de parties deE, et soitB2(C).

Alexandra dit : alors n

´ecessairement, il exi?e une famille d´enombrableD Ctelle queB2(D).

A-t-elle raison?

5.Soien tX;Ydeux ensembles etf:X!Yune application. SoitA P(Y). Alexandra dit : alors

n ´ecessairement,(f1(A)) =f1((A)). A-t-elle raison?

Corrig

´e :

1.- B=

\B2 FB, Soit C=B\D2 FBavecD2 F. AlorsDc2 FetCcB=B\Dcappartient`aFB:

Soit Cn=B\Dn2 FBavecDn2 F. AlorsS

nDn2 FetS nBn=B\S nDnappartient`aFB.

L"ensembleFBe?donc bien une tribu surB.

2.On consid `ere pourX=Y=f0;1gla tribuFengendr´e par l"´el´ement (0;0)2XY. Il e?clair que

F=f?;XY;f(0;0)g;XYnf(0;0)gg:

On v ´erifie queFX=f?;f0g;Xg, ce qui n"e?pas une tribu.

3.P osons

F=[ n2NF n; et supposons queFsoit une tribu. On a f2ng 2 F2n Fet2N=[ n0f2ng: Ainsi,2N2 Fi:e:il exi?en02Ntel que2N2 Fn0. Or, les seuls´el´ements de cardinal infini de F n0sont de la formeNnA, o`uAe?une partie def0;1;:::;n0g. On obtient donc une contradi?ion. 4

4.Alexandr aa r aison.En e ffet, soitG=fB2(C);9D Cd´enombrable tel queB2(D)g. Montrons

queGe?une tribu.

Il e?clair queE2 G.

SiA2 G, alors il exi?eD Cd´enombrable tel queA2(D), et doncAc2(D): on aAc2 G. Si (An) G, alors pour toutnil exi?eDn Cd´enombrable tel queAn2(Dn), et donc nAn2(D), o`uD:=[nDn Ce?d´enombrable (´etant une union d´enombrable d"ensembles d

´enombrables) : on a[nAn2 G.

En conclusion,Ge?une tribu.

OrC G, ce qui implique que(C)(G) =G (C), d"o`u le r´esultat.

5.C eciser arevu l orsd uTD 3.

Exercice 4.Prouver queB(R2) =B(R)

B(R).

Corrig

´e :

On fera cet exercice lors du TD3.

4 - DiversExercice 5.

1.Mon trerque pour tout >0, il exi?eOun ouvert dense deRde mesure (de Lebesgue)

(O):

2.En d ´eduire que pour tout >0, il exi?eFun ferm´e d"int´erieur vide tel que pour toutA2 B(R) :

(A\F)(A):

Corrig

´e :

1.Soit >0. NotonsQ=fqn;n1gles rationnels et posons :

O n1] qn2n1;qn+2n1[: AlorsOe?un ouvert deR, dense (car il contientQ). De plus, (O)X n1 (]qn2n1;qn+2n1[)=X n12 n < :

2.P osonsF=Oc. AlorsFe?un ferm´e deRd"int´erieur vide. De plus, pour toutA2 B(R), on a

(A)=(A\F)+(A\O)(A\F)(A\F)+:

Exercice 6.(Ensembles de Cantor)

Soit (dn;n0) une suite d"´el´ements de ]0;1[, et soitK0= [0;1]. On d´efinit une suite (Kn;n0) de la

fac¸on suivante : connaissantKn, qui e?une r´eunion d"intervalles ferm´es disjoints, on d´efinitKn+1en

retirant dans chacun des intervalles deKnun intervalle ouvert centr´e au centre de chaque intervalle, de

longueurdnfois celle de l"intervalle. On poseK=T n0Kn. 5

1.Mon trerque Ke?un compa?non d´enombrable d"int´erieur vide dont tous les points sont d"ac-

cumulation.

2.C alculerla mesure de Lebesgue de K.

3.On note K3l"ensemble de Cantor obtenu en posantdn=13

pour toutn. V´erifier que K 3=8 >><>>:X n1a n3 n; (an)2 f0;2gN9>>=>>; et qu"il e?mesure de Lebesgue nulle.

Corrig

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Corrig

´e :

´ecoule que la suitfn(x) e?croissante.

1 - Petites questions1) E?-ce que l"ensemble des ouverts deRe?une tribu?

2) Si on notela mesure de Lebesgue, rappeler pourquoi(fxg)=0pour toutx2R. Alors :

3) SiFetGsont deux tribus, e?-ce queF [Ge?toujours une tribu?

4) Si (an)n1et (bn)n1sont deux suites de nombres r´eels, a-t-on toujours

Et si les deux suites sont born

´ees? Et sibnconverge?

Corrig

´e :

1) Non, car le compl´ementaire de]1;0[n"e?pas ouvert.

2) Non, pas toujours. Par exemple si, en notant

´erifi´ee carRn"e?pas d´enombrable.

4) Ce n"e?pas toujours vrai (prendre par exemplean=bn=n). En revanche, le terme de gauche e?

2 - MesuresExercice 1.(Lemme de Borel-Cantelli) (E;A; ) e?un espace mesur´e (e?une mesure positive) et que

1.Mon trerque

2.(Lemme de Borel-Cantelli.)On suppose queP

3.(Une application du lemme de Borel-Cantelli.)Soit" >0. Montrer que pour presque-toutx2[0;1]

Corrig

´e :

1.On remarque que, pour tout n0et pour toutkn,

BBBBBB@\

CCCCCCA(Ak):

Ainsi,

0BBBBB@\

CCCCCAinfkn(Ak):(1)

0BBBBB@[

CCCCCAsup

Fnlimsup

Fnlimsup

Comme(F)<1, cela implique le r´esultat.

2.On a, pour tout n0,

0BBBBB@[

CCCCCAX

Or(limsupk!1Ak)([knAk)pour toutn0etP

3.P ourtout q1, on note

2+";pq

Ainsi,(Aq)2=q1+". Par cons´equent,

Corrig

´e :

3 - TribusExercice 3.(Op´erations sur les tribus)

1.Soit Fune tribu de

2.Soit ( XY;F) un espace-produit mesur´e et:XY!Xla proje?ion canonique. L"ensemble

X:=f(F);F2 F ge?-il une tribu?

3.On consid `ere surN, pour chaquen0, la tribuFn=(f0g;f1g;:::;fng). Montrer que la suite de

4.( Partiel2010) Soit (E;A) un espace mesurable. SoitCune famille de parties deE, et soitB2(C).

Alexandra dit : alors n

A-t-elle raison?

5.Soien tX;Ydeux ensembles etf:X!Yune application. SoitA P(Y). Alexandra dit : alors

Corrig

´e :

1.- B=

Soit Cn=B\Dn2 FBavecDn2 F. AlorsS

L"ensembleFBe?donc bien une tribu surB.

2.On consid `ere pourX=Y=f0;1gla tribuFengendr´e par l"´el´ement (0;0)2XY. Il e?clair que

F=f?;XY;f(0;0)g;XYnf(0;0)gg:

3.P osons

4.Alexandr aa r aison.En e ffet, soitG=fB2(C);9D Cd´enombrable tel queB2(D)g. Montrons

Il e?clair queE2 G.

´enombrables) : on a[nAn2 G.

En conclusion,Ge?une tribu.

5.C eciser arevu l orsd uTD 3.

Exercice 4.Prouver queB(R2) =B(R)

Corrig

´e :

On fera cet exercice lors du TD3.

4 - DiversExercice 5.

1.Mon trerque pour tout >0, il exi?eOun ouvert dense deRde mesure (de Lebesgue)

2.En d ´eduire que pour tout >0, il exi?eFun ferm´e d"int´erieur vide tel que pour toutA2 B(R) :

Corrig

´e :

1.Soit >0. NotonsQ=fqn;n1gles rationnels et posons :

2.P osonsF=Oc. AlorsFe?un ferm´e deRd"int´erieur vide. De plus, pour toutA2 B(R), on a

Exercice 6.(Ensembles de Cantor)

1.Mon trerque Ke?un compa?non d´enombrable d"int´erieur vide dont tous les points sont d"ac-

2.C alculerla mesure de Lebesgue de K.

3.On note K3l"ensemble de Cantor obtenu en posantdn=13

Corrig