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Bn appartiennent aussi `a cette tribu ) Exercice 0 2 [Application immédiate et résultat utile ] Soient Ω et E deux ensembles et f : Ω −→ E une application

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Tribus et fonctions mesurables 1 Exercices 1 Ensembles dénombrables (I) a Soit n ≥ 1 entier Montrer que Nn est dénombrable b En déduire que le produit 

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Montrer que M est la tribu engendrée par une partition dénombrable En déduire en utilisant l'exercice précédent que M est finie Corrigé a A(x) est une 

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Exercices et Corrigés en complément du Tribus Mesures 2 1 Rappels tr`es succints surl'intégrale de Riemann 2 2 Pourquoi la tribu borélienne ? 17 20

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Décrire la tribu engendrée par les parties finies de X Exercice 5 a) Soit A = {A1, ,An} une partition finie d'un ensemble E

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Si F et G sont deux tribus, e-ce que F ∪G e toujours une tribu ? Corrigé : On fera cet exercice lors du TD □ 4 – Divers Exercice 5 Montrer que pour 

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Exercice 3 ⋆ Soit E un ensemble a) Décrire la tribu engendrée par la classe S des singletons de E b 

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Montrer que si µ est σ-finie, on peut choisir les An deux à deux disjoints Exercice 4 Soit (X, T ) un espace mesurable tel que la tribu T contient les singletons Soit µ  

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Université Claude Bernard Mathématiques

L3 Calcul intégral

Feuille d"exercices numéro 1

Tribus.

Exercice 1 Vrai ou Faux?

(1)SoitEun ensemble. AlorsAE()A2P(E). (2)Soit(E;T)un espace mesurable. AlorsE2T. (3)Test une tribu surEsi et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées : -; 2T. -A2T)Ac2T. -(8n2N;An2T))TAn2T. (4)SiEest dénombrable etTest une tribu surE, alorsTest dénombrable. (5)La tribu borélienneBRest la tribu engendrée par les fermés deR. (6)Un borélien est soit un ouvert, soit son complémentaire (c"est-à-dire un fermé). Exercice 2SoitX=f1;2;3g. Montrer queT=f;;X;f1g;f2;3ggest une tribu. Exercice 3Soit(X;T)un espace mesurable etA;Bdes éléments deT. Montrer queA\B2Tet AB2T. Exercice 4Les classes suivantes sont-elles des tribus? (a)F1=fA2P(R)t.q.Aest finieg. (b)F2=fA2P(R)t.q.Aest finie ouAcest finieg. (c)F3=fA2P(R)t.q.Aest au plus dénombrable ouAcest au plus dénombrableg. Exercice 5SoitAP(X). Déterminer la tribu engendrée(A)dans les cas suivants : (a)A=fAg, oùAest une partie fixe deX.

(b)A=ffxg;x2Xg. On séparara le cas oùXest fini ou dénombrable et le cas oùXn"est pas au plus

dénombrable. (c)A=fA2P(X)t.q.A0Ag, oùA0est une partie fixe deX.

Exercice 6Combien y a-t-il de tribus différentes sur un ensemble à 3 éléments? Sur un ensemble à 4

éléments?

Exercice 7Montrer que siAetBsont deux classes de parties deXtelles queAB, alors(A) (B). Montrer ensuite que((A)) =(A). Exercice 8Soitf:X!Yune fonction entre deux ensembles. (a) SoitBune tribu surY. Monter que l"ensemblef1[B] :=ff1(B);B2Bgest une tribu surX.

Montrer que siB=(E)alorsf1[B] =(ff1(B);B2Eg).

(b) SoitAune tribu surX. Donner un exemple montrant queff(A);A2Agn"est pas nécessairement une tribu surY. Montrer qu"en revanchefB2P(Y)t.q.f1(B)2Agest une tribu surY. Exercice 9 Tribu engendrée par une partition.Soit=fAigi2Iune partition deX. Déterminer (a) LorsqueIest au plus dénombrable. (b) LorsqueIn"est pas au plus dénombrable.

Exercice 10 (Partiel avril 2007)On rappelle que la tribu borélienneBRest la tribu engendrée par

la famille des intervalles ouverts]a;b[,a < b. En déduire queBRest aussi la tribu engendrée par la

familleCsuivante :

C=f] 1;t];t2Rg:

Exercice 11 La tribu borélienne deR. On munitRde la métrique usuelle et on noteBRla tribu borélienne deR. (1) Montrer que tout ouvert, tout fermé et tout intervalle deRsont des boréliens. (2) Montrer queBRest engendrée par une classe dénombrable. 1 (3) Montrer queBRn"est pas engendrée par une partition deR. (4) Soita2RetFa=fB2BRt.q.B+a2BRg. Montrer queFaest une tribu. En déduire que

8B2BR;B+a2BR. On dit que la tribu borélienne est invariante par translation.

(5) SoitBsR=fB2BRt.q.B=Bg. Montrer queBsRest une tribu, que l"on appelle tribu des boréliens symétriques.

Exercice 12On travaille sur l"ensembleX=N.

(1) Pourn2N, on noteAn=f[[0;n]];fn+ 1g;fn+ 2g;getTn=(An). Montrer que la suite(Tn) est une suite décroissante. On note ensuiteT=T n2NTn. Montrer queT=f;;Ng. (2) Pourn2N, on noteA0n=ff0g;f1g;;fn1g;[[n;+1[getT0n=(A0n). Montrer que la suite (T0n)est croissante. Montrer queS n2NT0nn"est pas une tribu. Exercice 13(*) On travaille sur l"ensembleX=N. Pourn>1, on notenNl"ensemble des multiples non nuls den. Soit les classesA=fnN;n>1getA0=fpN;p>1;ppremierg. Montrer que (A) =P(X), mais que(A0)6=P(X). Exercice 14SoitXun ensemble etAP(X)une classe de parties deX. Montrer que pour chaque ensembleC2(A), il existe une sous-classe au plus dénombrableACAtelle queC2(AC). Exercice 15SoientXetYdeux ensembles au plus dénombrables. Montrer que le produit des tribus complètes est la tribu complète du prosuit cartésien, c"est-à-dire queP(X)

P(Y) =P(XY).

2

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Feuille d"exercices numéro 2

Mesures

Sauf mention contraire,dénote une mesure sur un espace mesurable(X;T).

Exercice 1 Vrai ou Faux?

(1)SiA2T, alors(X) =(A) +(Ac). (2)Si(An)est une suite décroissante d"éléments deTet(A2)<+1, alors(T n2NAn) = limn!1(An). (3)Une réunion de parties de mesure nulle est de mesure nulle. (4)SiA;B2Tet(A[B) =(A) +(B), alorsAetBsont disjoints. (5)Il existe un espace mesuré(X;T;)tel quef(A);AparcourantTg=f0;1;2g. (6)Il existe un espace mesuré(X;T;)tel quef(A);AparcourantTg=f0;1;3g. (7)La mesure de comptage surNest-finie. Exercice 2Soitla mesure de comptage sur(N;P(N)). Trouver une suite décroissante d"ensembles (An)telle que(An)6!(T n2NAn). Exercice 3On rappelle queest-finie s"il existe une suite(An)d"éléments deTtelle queS nAn=X et(An)<+1pour toutn. Montrer que siest-finie, on peut choisir lesAndeux à deux disjoints. Exercice 4Soit(X;T)un espace mesurable tel que la tribuTcontient les singletons. Soitune mesure finie sur(X;T). On noteD=fx2Xt.q.(fxg)>0g. Montrer queDest au plus dénombrable.

Cela reste-t-il vrai si on ne suppose plus que la mesure est finie? Et si on suppose que la mesure est

-finie?

Exercice 5

(a) SoientAetBdeux parties mesurables telles que l"une d"elles soit de mesure finie. Montrer que j(A)(B)j6(AB): (b) SoientAetBdeux parties mesurables telles que(A) +(B)> (X):Montrer queA\B6=;: (c) Soit(Ai)16i6nune suite finie de parties mesurables telle quenS i=1A i=X. Montrer qu"il existe un indicejtel que(Aj)>(X)n Exercice 6 (Partiel automne 2006)Soit(X;T;)un espace mesuré tel que(X) = 1. SoitT0T l"ensemble défini par T

0=fA2Tt.q.(A) = 0ou(A) = 1g:

Montrer queT0est une tribu dansX.

Exercice 7Soit(An)n>1une suitequelconquede parties mesurables. (a) Établir les encadrements suivants : (a1) sup n>1(An)6(S n>1A n)6+1P n=1(An): (a2) 06(T n>1A n)6infn>1(An): (b) Montrer les implications suivantes : (b1)8n;(An) = 0 =)(S n>1A n) = 0: (b2)(X) = 1et8n;(An) = 1 =)(T n>1A n) = 1: Exercice 8Soit(E;T;)un espace mesuré, tel que pour toutx2E;fxg 2 Tet(fxg)<+1. On dit queestdiffuse(oucontinue) si, pour toutx2E; (fxg) = 0:On dit queestdiscrètes"il existe un ensembleDau plus dénombrable tel que(Dc) = 0: (a) Montrer queest diffuse si et seulement si toute partieAau plus dénombrable estnégligeable. 1

(b) Montrer queest discrète si et seulement s"il existe une suite(an)n>1d"éléments deEet une suite

(cn)n>1de réels positifs telles que=+1P n=1c nan: (c) On suppose maintenant que lamesureestfinie:Montrer ques"écrit de façon unique=c+ doùcest une mesure diffuse etdest une mesure discrète. Exercice 9 Mesure image.Soient(X;T)et(Y;T0)des espaces mesurables, et:X!Yune fonction mesurable. Soitune mesure surT. On définit:T0![0;+1]par(A) =(1(A)). (a) Montrer queest une mesure surT0. On dit que c"est la mesure image depar, et on la note. (b) On choisit=a, oùa2X. Déterminera. (c) On suppose queest une mesure surTvérifiant(X) = 1. On fixeB2Tet on choisit(Y;T0) = (R;BR). Déterminer(1B). Exercice 10 Applications préservant une mesure. On fixe un espace mesuré(X;T;), avec(X)<+1. On dit qu"une applicationf:X!Xpréserve si pour toutA2T,f1(A)2Tet(A) =(f1(A)). Soitfune application qui préserve. On pose f

1=f, etfn+1=fnf, pourn>1.

(1) Monter quefnpréservepour toutn>1. (2) On fixeA2T. SoitF=fx2At.q.8n>1;fn(x)62Ag. (2a) Montrer queF2T. (2b) Pourp>1, soitFp= (fp)1(F). Montrer que les ensembles(Fp)sont deux à deux disjoints. (2c) En déduire que(F) = 0. Exercice 11 Fonction de répartition.Soitune mesure sur(R;BR)telle que(R) = 1.

Pour toutt2R, on poseF(t) =(] 1;t[).

(a) Montrer queFest à valeurs dans[0;1]. (b) Montrer queFest croissante. (c) Déterminer les limites deF(t)quandttend vers+1ou1.

(d) Montrer queFest continue à gauche et admet une limite à droite en tout point. Donner une condition

nécessaire et susante portant surpour queFsoit continue surR.

On suppose désormais queFest continue surR.

(e) Soitx2]0;1[. Montrer queF1(fxg)est un intervalle compact non vide deR. On note cet intervalle [sx;tx]. (f) Montrer quet < sxsi et seulement siF(t)< x. (g) Soit=Fla mesure image depar l"applicationF. Que vaut(] 1;x[)pourx2R? (h) Soientaetbdeux réels tels quea < b. Montrer qu"il existe un segmentI[a;b], de longueur12 (ba) et tel que(I) =12 ([a;b]). 2

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L3 Calcul intégral

Feuille d"exercices numéro 3

Fonctions mesurables.

Fonctions mesurables.

Sauf mention contraire, on travaille dans un espace mesurable(X;T).

Exercice 1 Vrai ou Faux?

(1)L"ensemble[2;3[\Qest un borélien deR. (2)Une fonctionf: (X1;T1)!(X2;T2)qui ne prend qu"un nombre fini de valeurs est étagée. (3)Sif: (X1;T1)!(X2;T2)est mesurable etg: (X2;T2)!(X3;T3)est étagée, alorsgof: (X1;T1)! (X3;T3)est étagée. (4)Sif: (X;T)!Rvérifie que pour tout ferméFR,f1(F)2T, alorsfest mesurable. (5)Sif:R!Rest borélienne et ne s"annule pas, alors1=fest borélienne. (6)L"ensembleA=fx2Rt.q.cos(x) = sin(sinx)gest un borélien deR. Exercice 2SoitAX. Montrer que la fonction1Aest mesurable si et seulement siA2T.

Exercice 3(Examen juin 2007 2ème session).

Soitf:R!Rl"application définie par

f(x) =( x+ 1six>0 xsix <0:

Montrer quefest borélienne.

Exercice 4Soitf:X!Rmesurable etg:X!Rdéfinie parg(x) = 1sif(x)2Qetg(x) = 0sinon.

Montrer quegest mesurable.

Exercice 5Soitf:X!R. On définit pour toutM >0la fonctionfMpar f

M(x) =8

:f(x)sijf(x)j< M

Msif(x)>M

Msif(x)6M:

Montrer l"équivalence entre (A) et (B) :

(A)fest mesurable. (B)8M >0;fMest mesurable. Exercice 6Décrire les fonctions mesurables de(X;T)dansRdans les cas suivants : (1)T=f;;Xg. (2)T=P(X). Exercice 7Soitf:R!Rune fonction dérivable. Montrer que la dérivéef0est borélienne. Exercice 8Soitf:R!Rune fonction monotone. Montrer quefest borélienne. Exercice 9Soit(fn)une suite de fonctions mesurables deXdansR. (a) SoitA=fx2Xt.q. la suite(fn(x))n2NconvergegetB=fx2Xt.q. la suite(fn(x))n2Nest bornéeg. Montrer queAetBsont dansT. (b) Soita2R. On définitg:X!Rparg(x) = inffn2Nt.q.fn(x)>ag, avec la conventioninf;= 0.

Montrer quegest mesurable.

Exercice 10On noteL0(X;T)l"ensemble des fonctions mesurables deXdansR. (a) Montrer que toute fonction constante appartient àL0(X;T). (b) Montrer quef2 L0(X;T)) jfj 2 L0(X;T)mais que la réciproque est fausse. 1 (c) SoitX=RetTsla tribu dansXengendrée par les singletons. Montrer quef2 L0(X;Ts)si et seulement si il existe un ensembleDRau plus dénombrable tel quefjDcsoit constante. Exercice 11SoitXun ensemble (on ne se donne pas de tribu surX). Soitfune fonction deXdans R. (a) Montrer qu"il existe surXune plus petite tribu, notéeTftelle quef: (X;Tf)!Rsoit mesurable. (b) DécrireTfdans le cas oùX=Retf(x) =x2. (c) DécrireTfdans le cas oùX=Retf:R!Rest la fonction "partie entière". (d) On revient au cas général. Soitg:X!Rune autre fonction. Montrer quegest mesurable (pour la tribuTf) si et seulement si il existe une fonctionh:R!Rmesurable telle queg=hf. Exercice 12SoitXun ensemble (on ne se donne pas de tribu surX). On noteB(X)l"ensemble des fonctions bornées deXdansR. Sif2B(X), on posekfk= supx2Xjf(x)j. On remarquera queB(X) est un espace vectoriel. SoitEun sous-espace vectoriel deB(X). On dit queEest régulier s"il vérifie (i)1X2E (ii) Sifetgappartiennent dansE, alorsmax(f;g)appartient àE. (iii) Si(fn)est une suite d"éléments deEtelle quesupn2Nkfnk<1et qui converge simplement vers une fonctionf, alorsfappartient à E.

1. SoitTune tribu surXetBM(X;T)l"ensemble des fonctions deXdansRqui sont bornées et

mesurables (pourT). Montrer queBM(X;T)est un sous-espace vectoriel régulier deB(X).

2. Réciproquement, soitEun sous-espace vectoriel régulier deB(X). On va construire une tribuT

dansXtelle queE=BM(X;T). (a) SoitT=fA2P(X)t.q.1A2Eg. Montrer queTest une tribu dansX. (b) Montrer queBM(X;T)E. (c) On fixef2Eet2R. On poseA=fx2Xt.q.f(x)6getg= max(f;). Montrer queg(x) = 0()x2A. On pose ensuite pourn>1,gn=ninf(g;1=n). Quelle est la limite simple de la suite(gn)? En déduire queA2T, puis quef2BM(X;T). Conclure. Exercice 13(Théorème d"Egoroff,Partiel avril 2007) Soit(X;T;)un espace mesuré tel que(X)<+1et(fn)une suite de fonctions mesurables deX dansR, convergeant simplement vers une fonctionf.

1. La fonctionfest-elle nécessairement mesurable?

2. On pose pourk2Netn2N,

E kn=\ p>nfx2Xt.q.jfp(x)f(x)j61=kg: Montrer queEkn2TQuelle relation y a-t-il entreEknetEkn+1? entreEknetEk+1n?

3. Montrer que8k2N;X=S

n2NEkn. En déduire que

8" >0;8k2N;9nk2Nt.q.(XnEkn

k)6"2 k:

4. En déduire que8" >0;9A2Ttel que(A)6"et(fn)converge uniformément versfsurXnA.

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L3 Calcul intégral

Feuille d"exercices numéro 4

Mesure de Lebesgue. Intégration.

Soit(E;T;)un espace mesuré. On rappelle qu"une propriétéP(x)est vraie-presque partout (-p.p.) si(fxt.q.P(x)est fausseg) = 0. On désigne parla mesure de Lebesgue surR.

Exercice 1(Partiel avril 2007)

Dans cet exercice,est une mesure sur(R;BR)qui vérifie les conditions suivantes : (C1)8x2R;(fxg) = 0. (C2)Pour tous réelsa < b:([a;b])<+1.

1. La mesure de LebesguesurRvérifie-t-elle ces conditions? Et la mesure de Dirac0?

2. Calculerlimn!1(]1n

;1n [). Montrer que(Q) = 0

3. SoitA2BR. On définit la fonctionfAcomme suit :

f A:(

R![0;+1[

x7!fA(x) =(A\[jxj;jxj]) Pourquoi la fonctionfAest-elle bien définie? CalculerfA(x)pourA=Q.

4. On suppose dans cette question que=. Représenter graphiquement l"allure defApourA=R.

Même question pourA= [0;1](il est inutile de justifier le tracé des graphes). Exercice 2 Invariance par translation de la mesure de Lebesgue.

1) On a vu précédemment que six2RetA2BR, alorsx+A2BR.

(a) On fixex2R. Soit:BR![0;+1]définie par(A) =(x+A)pourA2BR. Montrer queest une mesure surBR. (b) En déduire que(x+A) =(A)pour toutx2RetA2BR. On dit que la mesure de Lebesgue est invariante par translation.

2) Soitune mesure surBRvérifiant([0;1]) = 1et(x+I) =(I)pour toutx2Ret pour tout

intervalleIR. (a) SoitBun borélien borné deR; montrer que(B)<+1. En déduire queest-finie. (b) Montrer que(fxg) = 0pour toutx2R. Ainsi la mesureest diffuse.

Pourt2R, on pose

F(t) =(

([0;t[)sit>0 ([t;0[)sit60: (c) Montrer que si06s6t, alorsF(t)F(s) =F(ts). (d) En déduire queF(nt) =nF(t);8n2N;8t>0. (e) Montrer que cette égalité est encore vraie pourn2Zett2R. (f) En déduire que pour toutr2Qett2R, on aF(rt) =rF(t). CalculerF(r), d"abord pourr2Q puis pour toutr2R. (g) Déduire de tout cela que=. Quelles sont les mesures surBRqui sont invariantes par translation?

Exercice 3

1. SoitUun ouvert deR. Montrer que(U) = 0si et seulement siU=;.

2. Soientfetgdeux applications continues deRdansR. Montrer quef=g p.p.()f=g.

3. Soitf:R!R. On considère les deux propritétés suivantes :

(P1) :fest continue-p.p. (P2) : Il existe une fonctiong:R!Rcontinue telle quef=g -p.p.

Donner l"exemple d"une fonctionf1qui vérifie (P1) mais qui ne vérifie pas (P2), et d"une fonction

f

2qui vérifie (P2) mais qui ne vérifie pas (P1).

1

4. Soit" >0. Montrer qu"il existe un ouvertUdense dansRtel que(U)6".

5. SoitAun borélien deR. On définit l"applicationf:R+!Rparf(x) =(A\[x;x]). Montrer

que pour tousx;y>0, on ajf(x)f(y)j62jxyj. En déduire quefest continue, puis que pour toutt2[0;(A)], il existe un borélienBtel queBAet(B) =t.

Exercice 4 Vrai ou Faux?

(1)Sif=1AavecA2T, alorsRfd=(A). (2)Sif:E![0;+1]est mesurable et vérifie(f1(f+1g)) = 0, alorsfest intégrable. (3)Le produit de deux fonctions intégrables est intégrable. Exercice 5Ecrire de manière plus simple la quantitéRfdlorsque : (a)est une mesure de Dirac. (b)est la mesure de comptage surN. Exercice 6Soit(X;T;)un espace mesuré etf:X![0;+1]une application mesurable. Montrer que : (a)Z X fd <+1=)f <+1-p.p. (b) Z X fd= 0 =)f= 0-p.p. 2

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L3 Calcul intégral

Feuille d"exercices numéro 5

Théorème de convergence monotone.

Exercice 1Soitune mesure sur(X;T)etf:X!R

+une application mesurable. (a) SoitA=fx2Xt.q.f(x)>1g. Déterminerlimn!1Z A fnd. (b) On suppose R

Xfd <+1. Déterminerlimn!1Z

A cfnd. Exercice 2(Partiel automne 2006) Soitune mesure sur(R;BR)telle que(R) = 1.

1)Soit(fn)une suite décroissante de fonctions boréliennes et positives qui converge simplement versf.

On suppose quef0est intégrable (c"est-à-dire queRf0d <1). Montrer que lim n!+1Z f nd=Z fd:

Pourn2N, on poseIn=Z

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