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Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type Exercice 5 Soit E et F deux ensembles, et f : E → F une application On définit le relation 

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Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 2 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement  

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25 sept 2018 · 3) Montrer que R est une relation d'équivalence 4) Préciser, pour x ∈ R, le nombre d'éléments dans x, classe de x modulo R Exercice 9

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Exercice 1 Trouver toutes les relations d'équivalence possibles sur l'ensemble { 1,2,3} Exercice 2 Soit E = {1,2,3,4,5} et R la relation binaire donnée par

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Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 4 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement  

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Relations d'équivalence Denis Vekemans ∗ Exercice 1 Soit E un ensemble et R une relation de E dans E Dans chacun des exemples ci-dessous, donner les 

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Exercice n◦3 Soient E un ensemble et A ∈ P(E) ; on définit sur P(E) la relation R par XRY si X ∩ A = Y ∩ A Montrer que c'est une relation d'équivalence

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Université d"Aix-Marseille Portail Descartes

Semestre 12019-2020

Planche 5

Relations d"équivalenceSoitEun ensemble; une relationsurEest diterelation d"équivalencesi elle est :

réflexive :8x2E; xx symétrique :8x2E;8y2E;sixyalorsyx transitive :8x2E;8y2E;8z2E;sixyetyzalorsxz.

1 Exemples simples de relations d"équivalence

Précisez si les relations suivantes sont des relations d"équivalence. Si les relations ne le sont pas, précisez laquelle

(ou lesquelles) des trois propriétés de définition n"est pas remplie.

Exercice 1(Relations surE=R)

1.xyssijxyj<1.

2.xyssixy2Q.

3.xyssix+y2Q.

Exercice 2(Relations surE=Z.)

1.xyssixy2

2Zouxy3

2Z.

2.xyssix+y= 2.

3.xyssi9p2Z;9q2Zxp=yq.

Exercice 3(Relations sur l"ensembleEdes droites du plan )

1.d1d2ssid1jjd2.

2.d1d2ssid1?d2.

Exercice 4(Relations sur l"ensembleEdes applicationsf:R!R)

1.fgssi l"ensembleEf;g:=fx2R:f(x)6=g(x)gest fini.

2.fgssi l"ensembleEf;gest vide ou a un seul élément.

2 Construction de relations d"équivalence à partir des applications

ou d"autres relations

Il est parfois possible de construire une relation d"équivalence utile à partir d"une application ou à partir d"une

autre relation (d"équivalence ou non). Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type.

Exercice 5

SoitEetFdeux ensembles, etf:E!Fune application. On définit le relationfsurEcomme suit : xfyssif(x) =f(y):

Prouvez queest une relation d"équivalence.

Exercice 6

SoitE=fa; b; c; dget la relationsurEdont l"ensemble suivant donne la liste de tous les couples(x;y)tels

quexy: G

1. Laquelle (ou lesquelles) des trois propriétés définissant une relation d"équivalence n"est pas respectée par?

2. Rajouter à l"ensembleGun couple(x;y)2EEde sorte que la nouvelle relation ainsi formée soit une

relation d"équivalence. Langage mathématique - Planche 5- Relations d"équivalenceExercice 7

SoitEun ensemble, et1,2, deux relations d"équivalence surE. On définit la réunion des relations1et2

comme étant la relationUsurE: xUyssi(x1youx2y); et l"intersection des relations1et2comme la relationSsurE: xSyssi(x1yetx2y):

1. Est-ce queUest une relation d"équivalence?

2. Même question pourS.

3 Classe d"équivalence d"un élément

SoitEun ensemble etune relation d"équivalence surE. Pour tout élémentx2E, le sous-ensemble [x] =fy2E:xyg deEs"appelle laclasse d"équivalencedexdansE. On a les propriétés : -8x2E;x2[x]; -8x2E;8y2E; xyssi[x] = [y]; -8x2E;8y2E;non(xy)ssi[x]\[y] =;:

Les exercices suivants (8-12) sont des cas particuliers de la construction d"une relation d"équivalence décrite à

l"exercice 5.

Exercice 8

Soit la relationsurR2définie par :

(x;y)(x0;y0)ssix=x0:

1. Trouvez une applicationf:R2!Rtelle que la relationsoit de la formef.

2. Déterminer[(x0;y0)], la classe d"équivalence d"un élément(x0; y0)deR2.

Exercice 9

Soit la relationsurC(l"ensemble des nombres complexes) définie par : zz0ssijzj=jz0j:

1. Trouvez une applicationf:C!Rtelle que la relationsoit de la formef.

2. Déterminer[z0], la classe d"équivalence d"un élémentz0deC.

Exercice 10

Soit la relationsurRdéfinie par :

xyssix2y2=xy:

1. Trouvez une applicationf:R!Rtelle que la relationsoit de la formef.

2. Déterminer[1], la classe d"équivalence du nombre réel1.

3. Trouvez tous lesa2Rdont la classe d"équivalence[a]est un ensemble qui ne contient qu"un seul élément.

Exercice 11

Soit la relationsurRdéfinie par :

xyssixey=yex:

1. Trouvez une applicationf:R!Rtelle que la relationsoit de la formef.

2. Déterminer[1], la classe d"équivalence de1, et[1], la classe d"équivalence de1.

3. Trouvez tous lesx2Rdont la classe d"équivalence est un ensemble qui ne contient qu"un seul élément.

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