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Exercice 9 : Dans , on définit une relation en posant pour tout ( ) : 1 Montrer que est une relation d'ordre partiel 

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Exercice 1 Dire si chacune des relations ci-dessous est réflexive, symétrique, Soit x ∈ R Par définition, la classe d'équivalence de x, notée Cl(x), est l' 

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Les exercices de cette section proposent plusieurs situations de ce type Exercice 5 Soit E et F deux ensembles, et f : E → F une application On définit le relation 

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Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 2 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement  

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25 sept 2018 · 3) Montrer que R est une relation d'équivalence 4) Préciser, pour x ∈ R, le nombre d'éléments dans x, classe de x modulo R Exercice 9

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Exercice 1 Trouver toutes les relations d'équivalence possibles sur l'ensemble { 1,2,3} Exercice 2 Soit E = {1,2,3,4,5} et R la relation binaire donnée par

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Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 4 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement  

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Relations d'équivalence Denis Vekemans ∗ Exercice 1 Soit E un ensemble et R une relation de E dans E Dans chacun des exemples ci-dessous, donner les 

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Exercice n◦3 Soient E un ensemble et A ∈ P(E) ; on définit sur P(E) la relation R par XRY si X ∩ A = Y ∩ A Montrer que c'est une relation d'équivalence

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1 Exercice corrigé en amphi 고 est une relation binaire sur un ensemble E Ecrire ce que signifie : (a) 고 n'est 

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Licence informatique

Elements d'algebre

2015-2016M. DuprezTD 2 : Relations d'ordre et d'equivalence

RelationR:Rest re

exive sixRx;

Rest symetrique sixRy=)yRx;

Rest antisymetrique sixRyetyRx=)x=y;

Rest transitive sixRyetyRz=)xRz.

Exercice 1 :Completer le tableau suivant en indiquant OUI ou NON dans les cases qui conviennent.ensemblerelationre exivesymetriqueantisymetriquetransitive R= R R R< R6=RxRy()x2+y2= 1NdivisionpjqCzRz0() jzj=jz0jNpRq()p+q= 0fdroites du plangk fdroites du plang? R

2(x;y)R(x0;y0)()xx0

yy0Exercice 2 :

1. Quelles relations du tableau precedent peut-on appeler des relations d'ordre?

2. Quelles relations du tableau precedent peut-on appeler des relations d'equivalence?

Exercice 3 :On poseI= [0;2[ et on munitIde la relation d'ordre.

1. Est-ce queIadmet un majorant? une borne superieure? un plus grand element?

2. Montrer queIa un plus petit element.

1

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Elements d'algebre

2015-2016M. DuprezExercice 4 :Pour toutp2Net toutq2N, on pose

pRq()2jpq:

1. La relationRest-elle re

exive? symetrique? antisymetrique? transitive?

2. La relationRest-elle une relation d'ordre ou relation d'equivalence?

Exercice 5 :On denit la relationjsurNpar : pour toutp2Net toutq2N: pjq()(9k2N;q=pk):

1. Montrer quejest une relation d'ordre surN. Est-ce un ordre total?

2. Montrer queNmuni de cet ordre admet un plus petit element et un plus grand

element. Comparer ces resultats a ce que l'on a dansNmuni de l'ordre naturel.

Exercice 6 :Pour toutx2Ret touty2R, on pose

xRy()x2y2=xy:

1. Montrer queRest une relation d'equivalence.

2. Donner la classe d'equivalence dex2Rquelconque.

Exercice 7 :SoitERun ensemble non vide. On noteREl'ensemble des fonctions denies surEa valeurs dansR. Pour toutf;g2REon pose fg()f(x)g(x);8x2E:

1. Montrer queest une relation d'ordre surRE. Est-ce un ordre total?

2. On prend deux elementsf;g2REet on noteA=ff;gg. Montrer quejfj+jgjest

un majorant deA. Proposer un minorant deA. 2quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12