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25 sept 2018 · 3) Montrer que R est une relation d'équivalence 4) Préciser, pour x ∈ R, le nombre d'éléments dans x, classe de x modulo R Exercice 9

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Déterminer la classe d'équivalence de z ∈ C Exercice 4 Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive Que penser du raisonnement  

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Relations d'équivalence Denis Vekemans ∗ Exercice 1 Soit E un ensemble et R une relation de E dans E Dans chacun des exemples ci-dessous, donner les 

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UNIVERSITÉ D"ARTOISANNÉE UNIVERSITAIRE2021-2022

FACULTÉ DESSCIENCESJEANPERRINLICENCE2 MATH

Arithmétique

FICHE I: Relations d"équivalenceExercice 1.Trouver toutes les relations d"équivalence possibles sur l"ensemble

f1;2;3g. Exercice 2.SoitE=f1;2;3;4;5getRla relation binaire donnée par (1) Vérifier que Rest une relation d"équivalence. (2) Lister les c lassesd"équivalence et donner l"ensemble quotient E=R. Exercice 3.On considère la relation d"équivalence surR2définie par (x1;y1)R(x2;y2),x21+y21=x22+y22: (1)

Montrer que Rest une relation d"équivalence.

(2) Décrire la c lassed"équivalence d"un point quelconque (x;y). (3)

Montrer que l"appl ication

R

2=R!R+

(x;y)7!x2+y2 est bien définie et que c"est une bijection. Exercice 4.SoitEl"ensemble des nombres premiers strictements supérieurs à2. On considère la relationRsurEdéfinie par : pRq()p+q2 2E: Cette relation est-elle une relation d"équivalence? Exercice 5.Les relationsRdéfinies ci-dessous sont-elles des relations d"équi- valence surC? (1)zRz0() jzj=jz0j (2)zRz0()ez=ez0 (3)zRz0() jzz0j= 1 (4)zRz0() jzz0j<1 (5)zRz0() jezz0j= 1 Exercice 6.SoitEun ensemble etx2E. Les relationsRdéfinies ci-dessous sont-elles des relations d"équivalence surP(E)? (1)ARB()AB (2)ARB()A\B6=; (3)ARB()x2A[B (4)ARB()(x2A\Boux2A\B) 1 Exercice 7.SoitEun ensemple etAE. On définit surP(E)la relation d"équivalenceRpar

XRY()A\X=A\Y:

(1) Vérifier que Rest une relation d"équivalence. (2)

Expliciter les c lassesde ;,E,AetA.

(3) Montrer que si B=A\X, alorsBest l"unique représentant deXinclus dansA. (4)

Trouver une bijection entre P(E)=RetP(A).

Exercice 8.SoitRla relation binaire définie surRpar xRy()x2y2=xy: (1)

Montrer que Rest une relation d"équivalence.

(2) Déterminer la c lassed "équivalencede xpour tout réelx. (3)

Déterminer l"ensemble quot ient.

Exercice 9.SoitU12l"ensemble des racines 12-èmes de l"unité dansC. On dé- finit dessus la relation binaire

R()4=4:

(1)

Montrer que c"est une relat iond"équivalence .

(2) Décrire l"ensemble des c lassesd"équivalence . Exercice 10.SoitRla relation binaire définie surZNpar (a;b)R(c;d)()ad=bc: (1)

Montrer que c"est une relat iond"équivalence .

(2) Montrer que toute c lasseadmet un uniq uereprésentant (p;q)avecpgcd(p;q) = 1. (Félicitations, vous venez de construire les rationnels à partir des nombres en- tiers.) Exercice 11.Dans la situation de l"exercide 3, montrer que la relation d"équi- valenceRest en fait égale àRfpour une fonctionfbien trouvée (cf. cours). Revoir la dernière question à la lumière de cette nouvelle interprétation. Exercice 12.Faire de même pour l"exercice 5, dans les cas où l"on a bien une relation d"équivalence.

Exercice 13.8 Faire de même pour l"exercice 5.

Exercice 14.SoitEl"ensemble des fonctions continues par morceaux de[0;1] dansR(i.e. continues sauf en un nombre fini de points). Muni de l"addition des fonctions, c"est un groupe abélien. On considère l"application:E!Rqui envoie une fonction vers son intégrale sur[0;1]. SoitFle sous-ensemble deE constitué des fonctions qui sont nulle sauf en un nombre fini de points. (1)

Montrer que Fest un sous-groupe deE.

(2) Quand deux fonctions sont-ell eséquivalentes par la relation associée à F? (3)

Montrer que passe au quotientE=F.

2 Exercice 15.Soitn2N. On considère la fonctionpgcd(;n) :Z!Zqui à un entiermassociepgcd(m;n). (Rappelons que sin2N,pgcd(0;n)est bien défini et vautn.) (1) Montrer que cette fonction pas seaux c lassesd"équivalence modulo n. (2) En déduire une a pplicationpgcd(() modn;n) :Z=nZ!Z=nZtelle que pgcd(mmodn;n) = pgcd(m;n) modn. (3) P ourq uelsentiers k2Nla fonctionpgcd(;k)passe-t-elle aux classes mo- dulon? Exercice 16.Dans le contexte de l"exercice 10, on définit la loi + suivante sur ZN: (a;b) + (c;d) = (ad+bc;bd) (où le + du membre de droite est l"addition usuelle des entiers). (1) Montrer que cette loi est associative ,commutative ,qu"elle a un élément neutre, mais que la plupart des éléments n"ont pas d"opposé. (2) Montrer que cette loi passe au quotient par l arelation d"équivalence de l"exercice 10. (3) Montrer que la l oiinduite sur le quotient est une loi de groupe ,abélien de surcroit. (Félicitations, vous venez de définir l"addition des rationnels.) Exercice 17.Soit?une loi interneEE!Equi passe au quotient par une relation d"équivalenceRsurE. Montrer que si?est associative ou commutative, il en est de même de la loi induite sur le quotientE=R. 3quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43