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L2 parcours spécial - Algèbre 11 mai 2016

Groupes

Examen final + corrigé

Durée: 2 heures

Documents, calculatrice ou téléphone interdits. Le barême est sur 20 + 2 points bonus (partie

III).

I - Exemples (5 points)

Justifier chacun des exemples en une ou deux phrases.

1. Donner un exemple d"élément d"ordre 15 dans le groupe symétriqueS8.

Solution. (1 point)

σ= (12345)(678)convient, car l"ordre d"une permutation est le PPCM des ordres des cycles de sa décomposition canonique.

2. Donner un exemple de deux éléments d"ordre 3 non conjugués dans le groupe symétrique

S 6.

Solution. (1 point)

(123)et(123)(456)sont deux éléments d"ordre 3 dansS6, qui sont non conjugués car de types différents.

3. Donner un exemple de groupeGet de deux élémentsa,b?Gd"ordre 2 tel queabsoit

d"ordre 3.

Solution. (1 point)

On peut prendreG=S3,a= (12)etb= (23), on a bienab= (123)d"ordre 3.

4. Donner un exemple d"élément d"ordre 4 dans le groupeGL2(R)des matrices2×2in-

versibles à coefficients réels.

Solution. (1 point)

La matrice?0-1

1 0? convient, elle correspond à la rotation d"angleπ/2dans le planR2.

5. Donner un exemple d"élément d"ordre infini dans le groupeSO2(R)des rotations du plan.

Solution. (1 point)

Toute matrice de la forme?cosθ-sinθ

sinθcosθ? avecθ= 2παetα??Qconvient, en effet les rotations d"ordre fini du plan sont exactement les rotations d"angle un multiple rationnel de2π. NB: c"est bienαqui doit être irrationnel, et pasθlui-même. Par exempleθ=πest irrationnel mais correspond à une rotation d"ordre 2...

II - Groupes abéliens (6 points)

Les questions de cet exercice sont indépendantes. On attend une rédaction concise et précise.

1. SoitGun groupe abélien,a?Gd"ordrem, etb?Gd"ordren, avecmetnpremiers entre

eux. Montrer queabest d"ordremn.

Solution. (2 points)

Notonsdl"ordre deab: par définition,dest le plus petit entier≥1tel que(ab)d= 1.

D"une part, commeab=ba, on a

(ab)mn=amnbmn= (am)n(bn)m= 1n1m= 1.

On en déduit qued≤mn.

D"autre part (très peu ont su faire cette deuxième partie de l"argument...)

1 = (ab)d=adbd

impliquead=b-dappartient à?a?∩?b?. Comme?a?est d"ordrem, et?b?est d"ordren, avecm,npremiers entre eux, on en déduit par le théorème de Lagrange que?a?∩?b?={1}, doncad=bd=1, et finalementdest un multiple commun demetn, en particulierd≥mn.

Conclusion :d=mn.

2. SoitGun groupe dont tous les éléments (à part le neutre) sont d"ordre 2. Montrer queG

est abélien.

Solution. (2 points)

Soita,b?G. Par hypothèse l"élémentabest d"ordre 2 (ou 1), on a donc

1 = (ab)2=abab,

et doncab=b-1a-1. De plusa-1=aetb-1=b(à nouveau cara2=b2= 1) donc ab=b-1a-1=ba, autrement ditaetbcommutent.

3. SoitRle groupe additif des nombres réels, etU?C?le sous-groupe multiplicatif des

complexes de module 1. Expliciter un morphisme surjectif deRversU, et en déduire que Uest isomorphe à un quotient deRque l"on précisera.

Solution. (2 points)

On considère l"application suivante

?:R→U x?→eix D"une part?est un morphisme car?(x+y)=ei(x+y)=eixeiy=?(x)?(y), et?est surjectif car tout complexe de module 1 s"écrit sous la formeeix. Le noyau de?est égal à ker?={x?R;eix= 1}= 2πZ

où2πZdésigne le sous-groupe des multiples entiers de2π. Par le théorème d"isomorphisme,

on en déduit queU?R/2πZ.

III - Centre d"unp-groupe (3 points)

Il y avait une erreur d"énoncé dans les deux dernières questions de cette partie (errare humanum

est...). Ci-dessous pour info les énoncés corrects, et concernant le barême j"ai neutralisé ces

deux questions (avec 0.5 ou 1 point bonus pour ceux qui m"ont dit des choses correctes en dépit

de l"énoncé incorrect, et 2 points bonus pour l"unique personne qui a repéré qu"il y avait un

problème avec l"énoncé...)

1. Rappeler la définition générale du centreZ(G)d"un groupeG.

Solution. (1 point)

Z(G) ={x?G;gx=xgpour toutg?G}

={x?G;gxg-1=xpour toutg?G}. Soitpun nombre premier, etGunp-groupe non trivial, c"est-à-dire un groupe d"ordre|G|=pa aveca≥1.

2. Écrire une action deGsur lui-même de façon à ce que les orbites singleton soit précisément

les éléments du centreZ(G).

Solution. (1 point)

On considère l"action

G×G→G

(g,x)?→gxg-1 On voit queOrb(x) ={x}équivaut àgxg-1=xpour toutg?G, autrement dit équivaut à x? Z(G).

3. Montrer que|Z(G)|est congru à 0 modulop. Que cela implique-t-il surZ(G)?

Solution. (1 point)

Par la formule|G|=|Stab(x)|·|Orb(x)|, les orbites de l"action sont de cardinal ou bien 1 ou bienpaaveca≥1. En écrivantGsomme une union d"orbites, on écrit|G|comme la somme des cardinaux des orbites. En considérant cette égalité modulop, on obtient |G| ≡ |Z(G)|modp CommeGest un p-groupe non trivial,|G| ≡0 modp, on obtient donc|Z(G)| ≡0 modp, ce qui implique queZ(G)?={1}. Dans les deux dernières questions on suppose queGest un groupe d"ordrep2non cyclique.

4. Montrer queZ(G)contient un sous-groupeKisomorphe àZ/pZ.

Solution. (0 point)

Soitg? Z(G)\{1}, un telgexiste par la question précédente. PosonsK=?g?. Par le théorème de Lagrange,gest d"ordrepoup2. Mais ordre(g)=p2impliquerait queG=Kest cyclique de générateurg, contrairement à l"hypothèse. Doncgest d"ordrep, etK?Z/pZ.

5. Soith?Gun élément non contenu dansK. Donner l"ordre deh, et montrer qu"on a une

structure de produit directG=K×?h?.

Solution. (0 point)

hest d"ordrep:h?= 1car sinon on auraith?K, ethn"est pas d"ordrep2sinonGseraitquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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L2 parcours spécial - Algèbre 11 mai 2016

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Examen final + corrigé

Durée: 2 heures

I - Exemples (5 points)

1. Donner un exemple d"élément d"ordre 15 dans le groupe symétriqueS8.

Solution. (1 point)

2. Donner un exemple de deux éléments d"ordre 3 non conjugués dans le groupe symétrique

Solution. (1 point)

3. Donner un exemple de groupeGet de deux élémentsa,b?Gd"ordre 2 tel queabsoit

Solution. (1 point)

4. Donner un exemple d"élément d"ordre 4 dans le groupeGL2(R)des matrices2×2in-

Solution. (1 point)

La matrice?0-1

5. Donner un exemple d"élément d"ordre infini dans le groupeSO2(R)des rotations du plan.

Solution. (1 point)

Toute matrice de la forme?cosθ-sinθ

II - Groupes abéliens (6 points)

1. SoitGun groupe abélien,a?Gd"ordrem, etb?Gd"ordren, avecmetnpremiers entre

Solution. (2 points)

D"une part, commeab=ba, on a

On en déduit qued≤mn.

1 = (ab)d=adbd

Conclusion :d=mn.

2. SoitGun groupe dont tous les éléments (à part le neutre) sont d"ordre 2. Montrer queG

Solution. (2 points)

1 = (ab)2=abab,

3. SoitRle groupe additif des nombres réels, etU?C?le sous-groupe multiplicatif des

Solution. (2 points)

On considère l"application suivante

III - Centre d"unp-groupe (3 points)

1. Rappeler la définition générale du centreZ(G)d"un groupeG.

Solution. (1 point)

Z(G) ={x?G;gx=xgpour toutg?G}

2. Écrire une action deGsur lui-même de façon à ce que les orbites singleton soit précisément

Solution. (1 point)

On considère l"action

G×G→G

3. Montrer que|Z(G)|est congru à 0 modulop. Que cela implique-t-il surZ(G)?

Solution. (1 point)

4. Montrer queZ(G)contient un sous-groupeKisomorphe àZ/pZ.

Solution. (0 point)

5. Soith?Gun élément non contenu dansK. Donner l"ordre deh, et montrer qu"on a une

Solution. (0 point)