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11 mai 2016 · Les questions de cet exercice sont indépendantes On attend une rédaction concise et précise 1 Soit G un groupe abélien, a ∈ G d'ordre m, et b 

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20 nov 2017 · Algèbre linéaire Tout espace vectoriel est un groupe abélien pour l'addition de vecteurs (voir Exercice 1 6) De plus, pour n P N on constate 

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4 Table de Cayley et isomorphisme de groupes 33 5 Sous- Exercice 1 2: Parmi les lois de composition interne découvertes ci-dessus, les- quelles sont Groupes, http://www math ens fr/culturemath/maths/ pdf /algebre/groupesFirst pdf 3

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p, on a ϕ(x+y) = p(x+y) = px+py = ϕ(x)+ϕ(y) Or un homomorphisme bijectif est un isomorphisme (Proposition 1 66) donc ϕ est un automorphisme du groupe (Qp, 

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Par conséquent, G × H ne peut être cyclique Exercice 1 Puisque S3 = 6, S3 ne peut être que le produit direct interne de deux groupes d'ordre 2 

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Groupes, anneaux, corps Exercice 1 1 On munit de la loi de composition interne définie par : ( )( ) Montrer que est commutative, non associative, et que est 

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Licence L3 – Algèbre et théorie des nombres 2010-2011 Corrigé exercices 7 et 10 feuille 2 Sous-groupes Une partie H d'un groupe G est un sous-groupe de 

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Exercice 3 Soit p un nombre premier, n ≥ 1 un entier, G un groupe d'ordre pn, Z (G) son centre et H un sous-groupe distingué de G non réduit `a l'élément 

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THÉORIE DES GROUPES CORRIGÉ DE L'EXAMEN DE SECONDE SESSION 01 JUILLET 2020 PAUL LESCOT Exercice I (1) en G = eG, donc eG ∈ En(G) 

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Il n'existe pas et n'existera pas de « corrigé »de tative ? a-t-elle un élément neutre ? est-ce une loi de groupe ? Exercice* 1 9 (Calcul dans les groupes) Dans un [3] J Calais – Eléments de théorie des groupes, Mathématiques, Presses 

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éléments de théorie des groupes

1 reOption spécifique

Jean-Philippe Javet

Mon cher Auguste, [...]Je me suis souvent hasardé dans ma vieà avancer des propositions dont je n"étais pas sûr. Mais tout ce que j"ai écrit là est depuis bientôt un an dans ma tête, et il est trop de mon intérêt de ne pas me tromper pour qu"on me soupçonne d"avoir énoncé des théorèmes dont jen"aurais pas la démonstration complète. Tu prieras publiquement Jacobi etGauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l"importance des théorèmes. Je t"embrasse avec effusion

Évariste Galois

29 mai 1832

Table des matières

1 Mise en place 1

1.1 Préambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 1

1.2 Opération interne ou loi de composition interne . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 2

1.2.2 Propriétés d"une loi de composition interne . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 2

1.3 Composition de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 5

1.3.1 Fonctions bijectives et fonctions réciproques . . . . .. . . . . . . . . . . . . 9

2 Notion de groupe 13

2.1 Exemples introductifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 13

2.1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 14

3 Quelques groupes célèbres 19

3.1 Groupe fini de permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 19

3.1.1 Exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 19

3.1.2 Permutations finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 19

3.2 Classes de restes modulon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.3 Matrices carrées de type de 2×2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 29

3.3.1 Groupe additif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29

3.3.2 Groupe multiplicatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 31

4 Table de Cayley et isomorphisme de groupes 35

5 Sous-groupe 43

A Bibliographie et ressources Internet 49

B Quelques éléments de solutions I

B.1 Mise en place . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . I B.2 Notion de groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . III B.3 Quelques groupes célèbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . V B.4 Tables de Cayley et isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . VIII I II B.5 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . XI

Malgré le soin apporté lors de sa conception et surtout parcequ"il a été utilisé en classe qu"à une reprise, le

polycopié que vous avez entre les mains contient certainement quelques erreurs et coquilles. Merci de participer à

son amélioration en m"envoyant un mail : javmath.ch@gmail.com

Merci;-)

;-) Votre prof de math vous a souvent reproché votre manque derigueur dans la rédaction de vos exercices de mathématiques... Que pensez-vous de ceci? 1

Mise en place

1.1 Préambule

Évariste Galois

mathématicien français (1811-1832)Évariste Galois a tout juste vingt ans lorsqu"il meurt dans un duel. Il restera pourtant comme l"un des plus grands mathématiciens de son temps pour avoir introduit la notion de groupe, alors qu"il avait

à peine dix-sept ans.

"Vous savez résoudre les équations du deuxième degré : ax

2`bx`c"0.

Les solutions s"expriment en fonction dea,b,cet de la fonc- tion racine carrée?. "Pour les équations du troisième degré :ax3`bx2`cx`d"0, il existe aussi des formules.

Par exemple une solution dex3`3x`1"0 est :

x 1"3d ?5´1

2´3d

?5`1 2. "De telles formules existent aussi pour les équations du qua-trième degré.

Niels Abel

mathématicien norvégien (1802-1829)Une préoccupation majeure au début du XIX esiècle était de savoir s"il existait des formules similaires pour les équations dedegré 5 ou plus. La réponse fut apportée par Galois et Abel : Non il n"existe pas en général une telle formule. Galois parvient même à dire pour quels polynômes c"est possible et pour lesquels ça ne l"est pas. Il définit pour sa démonstration la notion de groupe. Les groupes sont à la base d"autres notions mathématiques comme lesanneaux, lescorps, lesmatrices, lesespaces vectoriels, ... Mais vous les retrouvez aussi enarithmétique, engéométrie, en cryptographie! Avant d"introduire la définition d"un groupe, nous commencerons par définir les notions de loi de composition interne et composition de fonctions. 1

2 CHAPITRE 1. MISE EN PLACE

1.2 Opération interne ou loi de composition interne

1.2.1 Exemples introductifs

Considérons la soustraction dans

N. Au couplep3;2qpeut être

associé le nombre 3´2"1; par contre, au couplep2;3qle nombre

2´3" ´1 ne peut pas l"être, car´1 ne se trouve pas dans

N. La soustraction dans

Nn"apparaît donc pas comme une relation de

N2"NˆNdansN. Elle ne s"applique pas à tous les couples de nombres naturelspa;bq. On constate en fait que les couples pour lesquels cette relation n"est pas possible sont ceux dont ledeuxième terme est plus grand que le premier.

Considérons maintenant l"addition dans

N. Au couplep3;2qpeut-

être associé le nombre 3`2"5. Dans le cas de l"addition, à chaque couplepa;bq P N2est associé le nombrea`b. Nous avons donc une application`de

N2dansNdonnée par :

N2ÑN

pa;bq ÞÑa`b Définition:On appelleopération interneouloi de composition interne dans un ensembleEtoute application deEˆEdansE. Exemple 1:L"addition et la multiplication sont des opérations internes dansN, au contraire de la soustraction et de la division.

1.2.2 Propriétés d"une loi de composition interne

Dans tout ce qui va suivre, le symbole‹désignera une loi de com- position décrivant, en général, la procédure de calcul sur l"ensemble considéré. Définition:On dit que‹définie dans un ensembleEestcommutativesi et seulement sia‹b"b‹apour touta,bPE. Exemple 2:DansR`, définissonspx;yq ÞÑx‹ypar : a)x‹y"x`y

2(moyenne arithmétique)

b)x‹y"? x¨y(moyenne géométrique) Montrer, dans les deux cas, quex‹yest commutative.

CHAPITRE 1. MISE EN PLACE 3

Exercice 1.1:Parmi les lois suivantes, lesquelles sont des opérations internes sur les ensembles considérés? Justifier. a)Zavec‹la moyenne arithmétique; b)Ravec‹la moyenne géométrique; c)E"!x

3|xPZ)

avec l"addition; d)F" txPR|xą3uavec l"addition; e)G" txPR|xě5uavec la multiplication; f)Qavec la moyenne arithmétique; g)Ravecx‹y"x¨y`y´x; h)Zavecx‹y"x¨y`x y. Exercice 1.2:Parmi les lois de composition interne découvertes ci-dessus, les- quelles sont commutatives? Définition:On dit que‹définie dans un ensembleEestassociativesi et seulement sipa‹bq ‹c"a‹ pb‹cqpour touta,b,cPE. Exemple 3:La multiplication et l"addition dansRsont associatives. Remarque:Si une opération interne‹est associative dansE, on peut suppri- mer ou ajouter une ou des paires de parenthèses dans toutes les expressions contenant des éléments deEreliées par‹, mais sans changer l"ordre des éléments : pa‹bq ‹c"a‹ pb‹cq "a‹b‹c Exemple 4:La loi‹définie dansRˆRparpx;yq ‹ pa;bq " pxa;ybq, est-elle associative?

4 CHAPITRE 1. MISE EN PLACE

Exercice 1.3:Montrer que la loix‹y"x`y1`xyest associative surR'`. Définition:SoitaetbPR, on définit le minimum deaetbpar : minpa,bq "# Exercice 1.4:DansE" t1;2;3;4uon posea‹b"minpa,bq. Étudier cette loi,c"est-à-dire montrer si, oui ou non, elle est in- terne, commutative et associative. Exercice 1.5:DansR2, étudier la loi`définie par : px;yq ` pa;bq " px`a;y`bq Exercice 1.6:DansR2étudier la loi‹définie par : px;yq ‹ pa;bq " pxa´yb;xb`yaq. Exercice 1.7:DansRon envisage l"opération internex‹y"mxy`1.

DéterminermPRde sorte que‹soit associative.

Exercice 1.8:DansRon envisage l"opération internex‹y"2x`2y´4xy´12.

Étudier‹.

Conventions:Rappelons ici quelques conventions d"écriture : ""Quelque soitxappartenant à..." ou "Pour toutxapparte- nant à ..." : @xP... ""Il existeyappartenant à..." :

DyP...

""Il existe un uniqueyappartenant à..." :

D!yP...

Exemple 5:Décoder la propriété suivante : @petqPQ,D!rPQtel quep"q`r

CHAPITRE 1. MISE EN PLACE 5

1.3 Composition de fonctions

Considérons les fonctions suivantes définies sur toutR fpxq "2x`1 gpxq "3x´1 Considérons alorsx"1. En calculantfp1q, on obtient 3. On peut alors calculergp3q "8. On a donc calculé d"abord l"image de 1 par f, puis l"image de 3 parg. On obtient donc : gpfp1qq "gp3q "8.quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8