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THÉORIE DES GROUPES CORRIGÉ DE L'EXAMEN DE SECONDE SESSION 01 JUILLET 2020 PAUL LESCOT Exercice I (1) en G = eG, donc eG ∈ En(G) 

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Il n'existe pas et n'existera pas de « corrigé »de tative ? a-t-elle un élément neutre ? est-ce une loi de groupe ? Exercice* 1 9 (Calcul dans les groupes) Dans un [3] J Calais – Eléments de théorie des groupes, Mathématiques, Presses 

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L3 MATH

EMATIQUES, 2019{2020

TH

EORIE DES GROUPES

CORRIG

E DE L'EXAMEN DE SECONDE SESSION

01 JUILLET 2020

PAUL LESCOT

Exercice I

(1)enG=eG, donceG2En(G) :En(G)6=;.

Soit (x;y)2En(G)2; alorsxn=eGetyn=eG, d'ou

(xy1)n=xn(y1)n (carGest abelien) =xn(yn)1 =eG(eG)1 =eG; etxy12En(G). E n(G) est donc bien un sous{groupe deG. (2) PrenonsG= 3(le groupe symetrique de degre 3) etn= 2. On voit facilement que E

2(3) =fId;(12);(13);(23)g:

Ce n'est pas un sous{groupe deGcar

(12)(13) = (132)=2 fId;(12);(13);(23)g: On peut egalement invoquer le Theoreme de Lagrange :E2(3), de cardinal 4, ne peut pas ^etre un sous{groupe de

3, d'ordre 6, car 4 ne

divise pas 6.

Exercice II

(1) Pour chaquex2Gon axx=x2=eG, doncx=x1. Il en resulte que, pour tout (x;y)2G2 xy= (xy)1=y1x1=yx:

DoncGest abelien.

(2) D'apres le resultat de la question (1), chaque element deGest d'ordre 1 ou 2. Soitpun nombre premier divisant l'ordre deG; alorsGcontient un element d'ordrep, doncp= 2. Il en resulte que 2 est le seul diviseur premier possible de l'ordre deG; ce dernier est donc une puissance de 2. 1

2 PAUL LESCOT

(3)Getant un groupe ni abelien, on sait qu'il existe un entiernet des entiers a

1;:::;antels quea12,

a

1ja2j:::jan

et G'Za

1Z:::Za

nZ: Chaqueaiest l'ordre d'un element deG, doncai2 f1;2g; mais a ia12; d'ouai= 2 pour chaquei. Il appara^t queG'(Z2Z)n. Remarque.On peut proceder autrement : pourm2Z, notons msa classe dansZ2Z, et, pourg2G, posons m:g:=gm: Cette action est bien denie (il faut le verier ...) et fait deGunZ2Z- espace vectoriel. Etant ni, cet espace est de dimension nien, doncGest isomorphe, en tant queZ2Z-espace vecoriel, a (Z2Z)n. A plus forte raison lui est-il isomorphe comme groupe abelien, d'ou (3). Mais alorsjGj= 2n, d'ou (2).

Exercice III

Pourr2R, rdesignera la classe dermoduloZ, et pourg2G, ~gdesignera la classe degmoduloH. (1) Soith2H; alorsh= q=q+Zpour unq2Q; mais alorsq2R, d'ou h=q+Z2RZ =G. L'addition surHetant la restriction de celle deG, on a le resultat. (2) Soitg2H; alorsg= q=q+Zpour unq2Q. On peut ecrireq=ab avec a2Zetb1. Alors bg=bq =bq = a =a+Z =Z (cara2Z) = 0 G; gest donc d'ordre ni (diviseur deb). Reciproquement, supposonsg2Gd'ordre nin, et soitg= q=q+Z pour unq2R.

Alorsbq=bq=bg= 0G=0, soitbq2Z; il s'ensuit que

q=bqb 2Q

L3 MATH

EMATIQUES, 2019{2020THEORIE DES GROUPESCORRIGE DE L'EXAMEN DE SECONDE SESSION01 JUILLET 20203 et g= q2QZ =H:

On note maintenantTle groupe quotientRQ

(3) On a GH =RZQ Z RQ =T en vertu du Troisieme Theoreme d'Isomorphisme. (4) Soitx= ~g2GH d'ordre nin1; alorsng=n~g=nx= 0GH doncng2H; en vertu de (2),ngest d'ordre ni, donc il existe un entier m1 tel quem(ng) = 0G. Mais alors (mn)g= 0G, doncgest d'ordre ni ; d'apres (2), on a alors g2Hd'oux= ~g= 0GH

Dans le groupe

GH , l'element neutre est ainsi le seul element d'ordre ni; il en est donc de m^eme dans le groupe isomorpheT.

Exercice 4

Dans

4, soientx:= (1234) ety= (13) ; alorsxest d'ordre 4,yest d'ordre 2 et

yxy

1=yxy= (13)(1234)(13) = (1432) =x1:

Le sous{groupe< x;y >de 4est donc isomorphe aD8.

On pouvait aussi raisonner geometriquement :D8est isomorphe qu groupe des isometries du plan laissant invariant un carre. Chaque element deD8denit ainsi une permutation des quatre sommets du carre ; on obtient de cette maniere un morphisme injectif (a verier) deD8dans le groupe des permutations de l'ensemble des sommets, lequel est isomorphea 4.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3