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p, on a ϕ(x+y) = p(x+y) = px+py = ϕ(x)+ϕ(y) Or un homomorphisme bijectif est un isomorphisme (Proposition 1 66) donc ϕ est un automorphisme du groupe (Qp,

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Il n'existe pas et n'existera pas de « corrigé »de tative ? a-t-elle un élément neutre ? est-ce une loi de groupe ? Exercice* 1 9 (Calcul dans les groupes) Dans un [3] J Calais – Eléments de théorie des groupes, Mathématiques, Presses

Les trois conditions précédentes sont équivalentes aux deux conditions suivantes (exercice) :

-Hest non vide;

- pour touth1;h22Hle produith1h122H.Exercice 2.71. Montrer que, sifHi;i2Igest une famille de sous-groupes deG, alors\i2IHi

est un sous-groupe deG. i2IHiest non vide car l"élément neutre deGest dans tous les sous-groupesHi. Soienth;k deux éléments de\i2IHi. Alors pour toutj2I,hk12HjcarHjest un sous-groupe deG, d"oùhk12 \i2IHi. L"ensemble\i2IHiest donc un sous-groupe deG.

2. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l"union de deux sous-groupes deGsoit

un sous-groupe deG. SoientHetKdeux sous-groupes. Montrons qu"il est nécessaire queHKouKHpour queH[Ksoit un sous-groupe deG. Sinon il existeraith2HnKetk2KnH. Mais alors hk =2Hcarh1hk=k =2H. De mêmehk =2K, doncH[Kne serait pas un sous-groupe. Réciproquement la conditionHKouKHest évidemment suffisante.

3. SoitGun ensemble non vide muni d"une loi associative et d"un élément1tels que pour toutg

deG,1g=get il existeh2Gtel quehg= 1. Montrer queGest un groupe. Soitg2G. Par hypothèse il existeh2Gtel quehg= 1. Vérifions quegh= 1. On a hgh= 1h=h. Soitk2Gtel quekh= 1. Alors1 =kh=khgh= 1gh=gh. De plus g1 =ghg= 1g=g.

On a donc montré que1était un élément neutre et que tout élément avait un symétrique.

4. Montrer que, siHest une partie finie non vide d"un groupeGtelle que pour toutx;y2H

xy2H, alorsHest un groupe. Soith2H. Alorsfhm:m >0gest une partie deH. CommeHest fini, il existem1< m2tels quehm1=hm2. Mais alorshm2m11est l"inverse dehet appartient àH.

5. Montrer que, siK;Hsont deux sous-groupes deGalorsHK=fhk;h2H;k2Kgest un

sous-groupe deGsi et seulement siHK=KH. Notons queHKcontient toujours l"élément neutre. Supposons queHKsoit un sous-groupe de G. Soienth2Hetk2K. Alorskh= (h1k1)12HKcarHKest un sous-groupe. Donc KHHK. On a par ailleurs(hk)1=h0k0pour unh02Het unk02Kcar(hk)12HK.

Donchk=k01h012KH. On en déduit queHK=KH.

Réciproquement, supposons queHK=KH. Soientxetydeux éléments deHK. Alorsx=h1k1 ety=h2k2. D"oùxy1=h1k1k12h2. Commek1k12h22KH=HK, il existeh02Hetk02K tel quek1k12h2=h0k0. D"oùxy1=h1h0k02HK.

6. Montrer qu"un groupe dont le carré de chaque élément égale le neutre est abélien.

Soienta;bdeux éléments du groupe. Alors

ba= (ab)2ba=ababba=abab2a=abaa=aba2=ab: Licence L3 - Algèbre et théorie des nombres 2010-2011 Exercice 2.101. Donner un exemple de morphisme de groupe de(R;+)vers(R;:). Est-ce un isomorphisme?

Considérons l"application exponentielle

exp :R!R x7!ex. Cette application est un homomor- phisme de groupes carexp(a+b) = exp(a)exp(b)pour touta;b2R. Cet homomorphisme est injectif car l"application exponentielle est strictement croissante. Ce n"est pas un isomorphisme carIm(exp) =R+.

2. L"ensemble des bijections croissantes deRdansRest-il un groupe?

Montrons que la composée de deux bijections croissantesfetgdeRdansRest encore croissante. Soitx;y2Rtel quexy. Alorsf(x)f(y)et doncg(f(x))g(f(y)), c"est-à-diregf(x) gf(y). Cet ensemble est non vide car il contient l"identité. Montrons que la bijection réciproque d"une bijection croissantefl"est également. Soitx;y2R tel quex6=y. Sif1(x)< f1(y)alorsx < ycarfest strictement croissante en tant que bijection croissante. Par disjonction des cas il suit quef1(x)< f1(y)si et seulement six < y. L"ensemble des bijections croissantes deRdansRforme donc un sous-groupe du groupe des bijections deRdansR.

Et pour les décroissantes?

Considérons la bijectionfdeRdansRdéfinie parf(x) =xpour toutx2R. Cette fonction est

décroissante mais l"applicationffvaut l"identité qui n"est pas décroissante. Donc l"ensemble

des bijections décroissantes deRdansRne forme pas un groupe. (En fait il suffit de remarquer que l"identité n"est pas décroissante pour conclure que cet ensemble n"est pas un groupe car l"élement neutre pour la composition est nécessairement l"identité.)

3. Est-il possible de définir une loisur l"ensemble des entiers positifsNde façon à ce que(N;)

devienne un groupe? Oui, il suffit de considérer une bijection entreZetNet de transporter la loi de groupe additive deZsurNvia cette bijection. Par exemple considérons la bijection f:Z!N n7!2nsin0

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