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Université de NantesAnnée 2013-2014
L3 Maths-EcoFeuille 5 : Intervalles de confiance
Exercice 1SoitX1;:::;Xnunn-échantillon suivant une loi normale de moyenneet de variance2. On suppose qu"aucun des deux paramètres n"est connu. 1. En supp osantque 2est connu, proposer une fonction pivotale pour le paramètre . Quelle est sa loi? 2. En déduire un in tervallede co nfianceau ni veau1pour, où2[0;1], dans le cas où2est connu. 3. En supp osantque 2est inconnu, proposer une fonction pivotale pour le paramètre . Quelle est sa loi? 4. En déduire un in tervallede co nfianceau ni veau1pour, où2[0;1], dans le cas où2est inconnu. 5. Prop oserune fonction piv otalep ourle paramètre 2lorsqueest inconnu. Quelle est sa loi? 6. En déduire un in tervallede confiance au n iveau1pour2, où2[0;1]. Exercice 2La durée de vie en heures d"un certain type d"ampoule électrique est une variable aléatoire réelleXsuivant une loi Normale d"écart-type400. Les mesures des durées de vie d"un lot de12ampoules a donné les résultats suivants :2311;1981;3110;1647;2112;2054;2580;2122;1513;2221;2307;2418. Déterminer un intervalle de
confiance pour la durée de vie moyenne d"une ampoule au niveau95%. Exercice 3Une usine fabrique des câbles. La masse maximale en tonnes supportée par un câble est une variable aléatoire réelleXsuivant la loi Normale de moyenneinconnue et d"écart-type0;5. Une étude portant sur un échantillon de50câbles a donné une moyenne des charges maximales supportées égales à12;2tonnes. 1. Déterminer un in tervallede confiance p ourau niveau99%. 2. Déterminer la taille minimale de l"éc hantillonétudié p ourque la longueur de l"in- tervalle de confiance au niveau99%soit inférieure ou égale à0;2. Exercice 4Un biochimiste étudie un type de moisissure qui attaque les cultures de blé. La toxine contenue dans cette moisissure est obtenue sous forme d"une solution organique. La quantité de substance toxique par gramme de solution est une variable aléatoire réelle Xsuivant une loi Normale. L"unité est le milligramme. On mesure la quantité de substance toxique par gramme de solution. Sur9extraits, on a obtenu les mesures suivantes :1;2;0;8;0;6;1;1;1;2;0;9;1;5;0;9;1.
1. Déterminer une estimation p onctuelled ela mo yenneet de l"écart-t ypede la quan tité de substance toxique par gramme de solution. 2. Déterminer un in tervallede confiance p ourla quan titémo yennede substance to xique par gramme de solution au niveau95%. 13.Déterminer un in tervallede confiance p ourl"écart-t ypede la quan titéde substance
toxique par gramme de solution au niveau95%. Exercice 5Une pisciculture élève une certaine espèce de poissons. La masse en grammes d"un poisson de cette pisciculture est une variable aléatoire réelleXsuivant la loi Normale de moyenneet d"écart-typeinconnus. On a mesuré les masses de30poissons de la même espèce. Les résultats sont :7085939910110511012113816674859399102106110125140180
79879499102107114128147180
1.Donner une estimation p onctuellede et2.
2. Déterminer un in tervallede confiance p ourau niveau95%. 3. Déterminer un in tervallede confiance p our2au niveau95%. Exercice 6SoitX1;:::;Xnunn-échantillon de la loi uniformeU([0;]); >0. On pose X (n)=max(X1;:::;Xn). 1.Mon trerque =X(n)est une fonction pivotable.
2. Déterminer la densité de probabilité de =X(n). 3. Soit 0< <1. Montrer que[X(n);1=nX(n)]est un intervalle de confiance pour de niveau1. 4. Mon trerq u"ils"agit du plus étroit in tervallede confiance de ni veau1de la forme [aX(n);bX(n)]aveca;b>1. Exercice 7On considère une population de rongeurs. Afin de déterminer la proportion de mâles dans la population, on analyse un échantillon de400naissances. Sur ces400 naissances,206rongeurs sont des mâles. Déterminer un intervalle de confiance pour la proportion inconnue de mâles dans la population de rongeurs au niveau asymptotique 95%.Exercice 8On modélise la durée de vieXd"un composant électronique par une loi ex- ponentielle de paramètre >0. On appelle demi-vie la valeurTtelle queP(X < T) =