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Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2010/2011T. D. n o5
Intervalles de confiance
Corrigé
Exercice 1.Les billes métalliques
1. On calcule la moyennebde l"échantillon :
b= 20: Calculons la variance corrigée puis l"écart-type corrigé de l"échantillon à partir de la moyenne de l"échantillon : s2c=109
19;62+ 202++ 19;8210
202= 0;04; puis s c=p0;04 = 0;2: Dans la table de la loi de Student, pour9ddl, on trouve
P[jTj>2;26] = 0;05ouP[jTj<2;26] = 0;95:
L"intervalle de confiance pour le poids moyen est donc :202;260;2p10
;20 + 2;260;2p10 '[19;86;20;14]:2. Si l"écart-type de la population est connu, on utilise la loi normale :
P[jUj>1;96] = 0;05ouP[jUj<1;96] = 0;95:
L"intervalle de confiance pour le poids moyen est donc :201;960;2p10
;20 + 1;960;2p10 '[19;88;20;12]:Exercice 2.La moyenne des notes
1. L"intervalle de confiance de la moyenne des200copies est :
111;962p7
;11 + 1;962p7 '[9;52;12;48]: 1Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2010/20112. Si l"amplitude de l"intervalle de confiance est égale à2, on doit avoir :
1;962pn
= 1; ce qui donne n'15;4: En corrigeant16copies, l"enseignant peut situer la moyenne de ses étudiants.3. Il faut que l"intervalle de confiance à99%soit égal à[10;12]. On doit donc
avoir :2;5752pn
= 1; ce qui donne n'26;5: Si l"enseignant corrige27copies et qu"il trouve une moyenne égale à11, il peut dire que la moyenne de ses étudiants est supérieure à10, avec un risque d"erreur de1%.Exercice 3.Les composants électroniques
1. La moyennede la population est estimée par la moyenne de l"échantillon
b=6000050 = 1200:2. L"écart-typede la population est estimé à partir de l"écart-typescde
l"échantillon : s2=7410650
12002= 40000:
s2c=s25049
= 40816:D"où
s c'202:3. La variance de la population étant estimée, on utilise la loi de Student.
On trouve dans la table pour49ddl :
P[jTj>2;01] = 0;05ouP[jTj<2;01] = 0;95:
L"intervalle de confiance à95%de la moyenne est :12002;01202p50
;1200 + 2;01202p50 '[1143;1257]:On trouve dans la table pour49ddl :
P[jTj>2;68] = 0;01ouP[jTj<2;68] = 0;99:
L"intervalle de confiance à99%de la moyenne est :12002;68202p50
;1200 + 2;68202p50 '[1123;1277]: 2Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2010/20114. Puisque l"on souhaite avoir une amplitude de60heures, la taille de l"échantil-
lon est nécessairement supérieure à50et nous sommes dans les conditions d"utilisation de la loi normale.On doit avoir :
1;96202pn
= 30 ce qui donne n'175:Exercice 4.Un sondages politique
1. Avec1000personnes, on peut déterminer un intervalle de confiance.
L"intervalle de confiance à95%de la proportion de personnes ayant l"intention de voter pour Monsieur Dupont est :"0;51;96r0;50;51000
;0;5 + 1;96r0;50;51000 '[0;469;0;531]: L"intervalle de confiance à95%de la proportion de personnes ayant l"intention de voter pour Monsieur Durand est :"0;251;96r0;250;751000
;0;25 + 1;96r0;250;751000 '[0;223;0;277]: L"intervalle de confiance à95%de la proportion de personnes ayant l"intention de voter pour Monsieur Duroc est :"0;051;96r0;050;951000
;0;05 + 1;96r0;050;951000 '[0;036;0;064]: L"intervalle de confiance à99%de la proportion de personnes ayant l"intention de voter pour Monsieur Dupont est :"0;52;575r0;50;51000
;0;5 + 2;575r0;50;51000 '[0;459;0;541]: L"intervalle de confiance à99%de la proportion de personnes ayant l"intention de voter pour Monsieur Durand est :"0;252;575r0;250;751000
;0;25 + 2;575r0;250;751000 '[0;215;0;285]:3Myriam Maumy-Bertrand4ème année - ESIEA - 2010/2011L"intervalle de confiance à99%de la proportion de personnes ayant l"intention
de voter pour Monsieur Duroc est :"